空间中的平行关系教案.docx
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空间中的平行关系教案
适用学科高中数学
适用区域人教版区域
i
知识点线面平行的判定，面面平行的判定，线面平行的性质，面面平行的性质，
I
i
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\平行关系的综合问题.
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教学目标探究线、面与平面平行的性质定理.
体会线、面与平面平行的性质定理的应用.
i通过线线平行与线面平行的转化，培养学生的学习兴趣.
I
iI
教学重点通过直观感知，提出猜想进而错做确认，获得直线、平面与平面平行的性
II
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ii、
质定理.
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教学难点综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相
互转化.
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【教学建议】
空间的平行关系是立体几何学习中的基础内容，也直接影响到后续的学习，因此是一块
既基础又重要的内容.关于本节，教科书中是以“直观感知一操作确认一思辨论证一度量计算”的认识过程展开的，先通过直观感知与操作确认的方法，结合适当的空间想象概括出直
线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.在此基础上，再对直线与平面平行的性质、平
面与平面平行的性质作出论证.通过对图形的观察、实验和说理，帮助学生进一步了解空间
的平行关系中的性质与判定.过程中，也因培养学生准确地使用数学语言表述与证明的能力，在此基础上解决一些简单的证明与计算.
对于空间的平行关系，学生的学习困难主要在两个方面：
（8）对于图形的认识不足，缺乏足够的想象能力，对图中的平行、垂直关系无法很好
地理解，所以在教学过程中，教师务必要有足够的耐心，去帮助学生充分理解图形，此处务
必强调“立体图形，不是你看到什么样就是什么样的，需结合想象”.
（9）平行关系的证明过程不严谨，主要体现在证明的格式与证明的思路上，所以在教
学过程中，务必强调证明过程的书写与格式，为后续学习奠定良好的基础.
【知识导图】
教学过程
、导入
【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
态.
导入的方法很多，仅举两种方法：
3情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
4温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学
生建立知识网络.
提供一个教学设计供讲师参考：
1观察引入
从线线平行的复习入手，线线平行的概念：
同一平面内，不想交的两条直线平行.
那么，直线与平面平行如何去定义？
平面与平面的平行呢？
设计意图：
由初中知识自然过度到今天要学的知识，对初中知识进行深化，激起学生新的认
知冲突，从而调动学生积极性•
2、步步深化
借助正方体对线面平行、面面平行的性质和判定进行初步到深入的了解
如图，在正方体ABCD-ABC’D'中，易知直线AB'与平面ABCD平行，那么，由此可得直线AB'与直线AB平行，由此可进一步探究线面平行的性质与判定，同时提供给学生们线面平行关系的证明和应用的规范书写过程•随后，以类似的思路讲解面面平行的性质与
判定即可•此处，应更学生充分强调书写格式的规范性
设计意图：
逐步深入，有个递进的过程，帮助学生们去形成一个关于知识的整体框架，这也利于在实际应用中快速地得到解题的思路•
二、知识讲解
线面平行的判定定理
面面平行的判定定理
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一条直
线平行，则该直线与此平面平行
一个平面内的两条相交直线与另一个
平面平行，则则两个平面平行
考点建议】
符号语言
aa]
bua，二a/a
a/b
auabaaaP]b=Aa/Pb/P,
」0（/目
图形语言
a
//
/,/
/X/
作用
线线平行二线面平行
线线平行二面面平行
J考点2
线面平行与面面平行的性质■
…线面平行的性质八■
面面平行的性质
文字语言
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面
相交，那么它们的交线平行
符号语言
a/a1
auB>=a/b
anB=b“
a/P1
丫门0（二aa/b
丫["1B=b”
图形语言
4/
—
作用
线面平行二线线平行
面面平行二线线平行
类型一直线精平面平行的判定与性质
例题1
正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE,BD上各有一点P,
Q，且AP=DQ.求证：
PQ//平面BCE.
【解析】方法一：
如图所示
作PM//AB交BE于M，作QN//AB交BC于N，连接MN.
t正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,.AE=BD.
又AP=DQ,.PE=QB.
.PM/QN，即四边形PMNQ为平行四边形，.PQ//MN.
又MN平面BCE,PQ二PC?
平面BCE,PQ//平面BCE.
方法二：
如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K,连接EK.
.PQ//平面BCE.
.PM//平面BCE.
又；平面ABEFp|平面BCE二BE,
又AE=BD,AP=DQ,PE=BQ.
.MQ/AD.又AD//BC,
.MQ/BC,MQ//平面BCE.又PM门MQ二M,
.平面PMQ//平面BCE.又PQ平面PMQ,
■PQ//平面BCE.
类型二面面平行的判定与性质
例题1
如图所示，正方体ABCD-ABC.D,中，M、N、E、F分别是棱A,Bi、A,D,、QG、
GD,的中点.求证：
平面AMN//平面EFDB.
【解析】连接MF,；M、F是AB、GD,的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，
.MF£AU.又AD』AD,MF£AD.
四边形AMFD是平行四边形.
7DF平面EFDB,AM二平面EFDB,
AM//平面EFDB，同理AN//平面EFDB.
又AM平面ANM,AN平面ANM,AM"AN=A,.平面AMN//平面EFDB.
四、课堂运用
1.如基果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（）
A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内的两相交直线不相交
C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交
2.如果a、b是异面直线，且a//平面〉，那么b与〉的位置关系是（）
4.b//〉B.b与〉相交C.b二二D.不确定
3.已知：
•、1是两个不同的平面，下列四个条件中能推出=■/■的是（）
①存在一条直线a,a_:
-,a_；②存在一个平面，_：
•,_［；③存在两条平
行直线a、b,a二：
a,b=.,a/:
b//：
•；④存在两条异面直线a、b,a二：
丄，b二：
，a//一：
，b//：
•.
A.①③B.②④C.①④D.②③
4.下图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形
状为.
答案与解析
1.【答案】D
【解析】因为直线和平面平行，则直线和平面就没有交点，直线和平面内的直线就平行或异
面.
0.【答案】D
【解析】b与〉相交或b二：
丄两种情况.
1.【答案】C
【解析】对于①，垂直于同一直线的两个平面平行，故当a」二,a_一：
，：
•//一：
，故①正
确；对于②，若"'.I-：
＞,〉与：
可能平行，也可能相交（此时〉，：
的交线与垂
直），故②不正确；对于③，若a二：
―b1,a//1,b//〉，则〉与一：
可能平行，也可能相交（此时a,b均与交线平行），故③不正确；对于④，存在两条异面直线a,b,a二b:
a//：
b//〉.可将■■内的直线平移到：
内的直线c,则有相交直线b,c都与平面〉平行，根据面面平行的判定定理，可得④正确.故选C.
2.【答案】平行四边形
【解析】：
平面ABFE//平面CDHG,
又平面EFGH门平面ABFE=FE,
平面EFGH门平面CDHG=HG,
同理EH//FG,
.四边形EFGH的形状是平行四边形.
|巩固
1考查下列三个命题，在“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题
（其中I、m为直线，ot、B为平面），则此条件为.
4.P是△ABC所在平面外一点，平面:
-//平面ABC,:
-交线段PA、PB、PC于A'、
B'、C',若PA'：
AA'=2：
3，则S^A-b，C:
abc=（）
A.2:
25B.4:
25C.2:
5D.4:
5
5.已知直线a,b，平面爲，且a/b,a//-：
：
a,b都在平面鳥外，求证：
b//二答案与解析
1【答案】I二:
-
【解析】①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“I为平面〉外的直线”，即“丨二:
•”,它也同样适合②③，故填丨二：
-.
3.【答案】B
【解析】易知平面ABC//平面AB'C,
则厶ABCA'B'C',二Saa'b'c'：
Saabc=4:
25.
4.【解析】过〉作平面1,使它与平面:
-相交，交线为C,
又：
*c-,b二：
-,b//：
.
拔高
4.关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（）
A.若a//M,b//M，贝Ua//bB.若a//M,b_a，贝Ub_M
C.若a字M,b^M，且l丄a,l丄b,则丨丄Md.若a丄M,a//N，则MIN
5.如图，在长方体ABCD—ABC1D中，E,P分别是BC,AD的中点，M,N分别是
AE,CD1的中点，AD=AA=a,AB=2a，求证：
MN//面ADD1A.
答案与解析
1.【答案】D
【解析】A选项中，若a//M,b//M，则有a//b或a与b相交或a与b异面.b选项中，
b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则
l-M.D选项证明如下：
：
a//N，过a作平面：
•与N交于c,则c//a,-c_M.故
M_N•答案D.
2.【解析】证明：
取CD的中点K,连结MK,NK；
:
M,N,K分别为AK,CDi,CD的中点
.MK//面ADD1A1,NK//面ADD1A1
.面MNK//面ADDiA
.MN//面ADD1A1.
在掌握课堂平结的位置关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关
系）的基础上，研究有关平行的判定依据（定义、公理和定理）、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几
何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力
及化归和转化的数学思想的应用.
1•用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系.
4.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化.
5.注意下面的转化关系：
6.直线和平面相互平行
证明方法：
①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这
个平面内的一个向量相互平行；（③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.
7.证明两平面平行的方法：
（2）利用定义证明.利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾.
（3）判定定理：
一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这
个定理可简记为线面平行则面面平行.用符号表示是：
aClb,a二卅，b二：
-,a//一：
，b//一：
，
则:
-/■.
（4）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：
a—-,a—-,则、；//-.
（5）平行于同一个平面的两个平面平行.:
-/:
：
•//=-//.
两个平面平行的性质有五条：
（3）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：
"面面平行，则线面平行".用符号表示是：
、；//『■,a二：
；，贝Ua//
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：
“面面平行，则线线平行”•用符号表示是：
：
•//[,「・=a=，=b，贝ya/b.
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证
线面垂直.用符号表示是：
//「■,aI亠，则a_I-'
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等.
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行.
六、课后作业
基础
1.以下说法（其中a,b表示直线，'丄表示平面）
①若a/b,b二：
；，则a//：
•；②若a//〉，b//〉，则a/b；③若a/b,b//，贝ya//「；④若a//：
•,b二：
:
^,则a//b.其中正确说法的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
2.下列说法正确的是（）
A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
5.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
6.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
3.设平面:
//平面1，直线a二：
J点B'■，则在一：
内过点B的所有直线中（）
A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线D.存在惟条与a平行的直线
4.过平行六面体ABCD-ABC1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的
直线共有（）
A.4条B.6条C.8条D.12条
答案与解析
1.【答案】A
【解析】①a也可能成立；②a,b还有可能相交或异面；③a也可能成立；④a,b
还有可能异面.
2.【答案】C
【解析】由两平面平行的定义知：
一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C.
3.【答案】D
【解析】直线a与B可确定一个平面，
・TI，「与有一「条公共直线b.由线面平行的性质定理知b//a，所以存在性成立.因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，
所以b惟一.
4.【答案】D
【解析】如图所示，与BD平行的有4条，与BBi平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BBQiD平行，同等位置有4条，总共12条，故选D.
1•巩固所示，在正方体ABCD-ABC^!
^中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点.求证：
EF//平面BDD1B1.
2•如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且
PE:
EA=BF:
FD•求证：
EF//平面PBC.
10.如图所示，已知正方体ABCD-ABCQ中，面对角线AB1、BG上分别有两点E、F,且BE=GF•求证：
EF//平面ABCD.
11.如图，在三棱柱ABC—AB1C1中，M是A]C1的中点，平面AB1M//平面BC1N,AC「|平面BGN二N•求证：
N为AC的中点.
答案与解析
4.【解析】取D1B1的中点0，连接OF、OB.
.四边形OFEB是平行四边形，
:
EF二平面BDDB1,B0二平面BDDB1,
.EF//平面BDDB1.
5.【解析】连接AF延长交BC于G，连接PG.在平行四边形ABCD中，易证△BFGDFA.而EF二平面PBC,PG二PG?
平面PBC,
■EF//平面PBC.
6.【解析】过E作EG//AB交BB1于G，连接GF,
又rEGriFG=G,AB「|BC=B,
.平面EFG//平面ABCD.
又EF平面EFG,
EF//平面ABCD.
4.【解析】：
平面AB1M//平面BC1N,平面AGGAn平面AB^jM=AM,平面BGNn平面ACGA=GN,
.C1N//AM，又AC/A6,
.四边形ANC1M为平行四边形，
-N为AC的中点.
1拔高所示，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCC中，点E在PD上，且PE:
ED=2:
1在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC?
并证明你的结论.
2.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABC1D1中，AB1的中点是P，过点A作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？
如果能，求出截面的面积.
答案与解析
1.【解析】当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下：
取PE的中点M，连接FM,
则FM//CE,①
1
由EMPE=ED，知E是MD的中点，设BD「IAC=O，则0为BD的中点，连接
2
OE，则BM//OE,②
由①②可知，平面BFM//平面AEC，又BF二平面BFM,
.BF//平面AEC.
2.【解析】能•取AB,GDi的中点M,N，连接AM,MC,CN,NA,
Tan//PC1且AN二P°,PC1/MC,PC^MC,
.四边形A,MCN是平行四边形，
又Tan//PC1,AM//BP,ANgMf,cMpb^p,
.平面A,MCN//平面PBC1,
因此，过点A与截面PBCi平行的截面是平行四边形.
连接MN，作AH丄MN于点H,
故S平行四边形AMCN
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