导数与解析几何大题解题技巧.docx

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导数与解析几何大题解题技巧

导数与解析几何大题解题技巧参考资料一：

不等式恒成立问题中的参数求法

已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离lnx法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法.

一、直接求导法

1xax

题目：

当x（0,1）时，f（x）eax1恒成立，求a的取值范围.

1x

分析：

注意exf（x）型函数不分离最好,这里f（x）是有理函数,它的导数为[exf（x）]exf（x）exf（x）ex[f（x）f（x）]，这里f（x）f（x）是有理函数，容易讨论其性质.

1xax1xax2ax1xax

解：

f（x）（11xx）eax11xx（eax）（12x）2eax11xxeax（a）

2

由ax22a可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂，

于是可以考虑分离参数a，

222222

即ax22aa（x21）2（x21）（a2）（x21）（a2），

x11x

2

注意到当x（0,1）时，2（2,），所以当a2时，f（x）0，f（x）是增函数，

1x2

所以f（x）f（0）1，

f（x）是减函数，所以f（x）f（0）1，不合题意.

综上，a的取值范围（,2].

二、二次求导法

题目：

当x0时，f（x）ex1xax20恒成立，求a的取值范围.

分析：

f（x）kexax2bxc型函数一般用到二次求导法.

解:

f（x）ex12ax，

f（x）xe2，a

因为x0，所以ex1，

1

当2a1即a2时，f（x）0，f（x）是增函数，所以f（x）f（0）0，所以f（x）是增函数，所以f（x）f（0）0；

1

当2a1即a时，则当0xln（2a）时，f（x）0，f（x）是减函数，所以

2

f（x）f（0）0，所以f（x）是减函数，所以f（x）f（0）0.

1

所以a的取值范围（,1].

2

三、特值压缩法

题目：

当x2时，f（x）2kex（x1）x24x20恒成立，求k的取值范围.

分析：

特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.

解：

由f

（2）2ke2（21）

（2）24

（2）20得f（0）2ke0（01）024020

f（x）2k[ex（x1）ex]2x42（x2）（kex1），

2xx121

当1ke2时，由f（x）2（x2）（kex1）0得ex[e2,1]xln[2,0]，

kk

当ke2时，显然当x2时，f（x）0，f（x）为增函数，从而f（x）f

（2）0，

21

当1ke2时，则lnk1（2,0]，所以

1

当x（2,ln）时，f（x）0，f（x）为减函数，k

1

当x（ln,）时，f（x）0，f（x）为增函数，k

1

1ln1111

所以f（x）的最小值为f（ln）2kek（ln1）（ln）24（ln）2kkkk

2（ln11）（ln1）24（ln1）2（ln1）22ln1kkkkk

（ln1）22ln1（lnk）22lnk（2lnk）（lnk）0，kk

所以求k的取值范围是1ke2.

四、分离lnx法

lnx1lnxk

题目：

当x0且x1时，恒成立，求k的取值范围.

x1xx1x

分析：

把lnx分离出来可以使导数非常简单.

lnxlnxk111k12k1解：

（）（）lxn2xln

x1x1xxx1x1xx1x

2[2lnxk1（x21）]21[2lnx（k1）（x1）]

x1xx1x

1

令设g（x）2lnx（k1）（x），于是原题等价于

x

g（x）0,x（1,）g（x）0,x（0,1）

若是通分，分子是一个关于x的二次函数，讨论比较复杂，

21g（x）（k1）（12），

x

不如再次提取

（112），分离参数k，这样会转化为对号函数，可谓一举两得：

x

于是g（x）

x（k1）（1x2）

12

（12）[

x

1

1（k1）]

1x12

x

21

1（k1）]（12）1x

x

x

2

h（x）在（1,）单调递减，

当x1时，

即k0时，

1

x12，从而h（x）（0,1），所以当（k1）1，x

g（x）0恒成立，从而g（x）为增函数，所以g（x）g

（1）0恒成立；

当k0时，（k1）1，所以存在x01，使得当x（1,x0）时，g（x）0，从而g（x）为减函数，所以g（x）g

（1）0，不合题意同理可讨论当0x1时，

当k0时，（k1）1，所以存在x0（0,1），使得当x（x0,1）时，g（x）0，从而g（x）为减函数，所以g（x）g

（1）0，不合题意.

综上，k0

五、重构函数法

题目：

ex（a1）xb0恒成立,求（a1）b的最大值.分析：

构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型.

解:

令f（x）ex（a1）xb,则f（x）ex（a1）

（1）当a10时,f（x）0,f（x）在R上单调递增，当x时，f（x），不合题意.

（2）当a10时，则当xln（a1）时，f（x）0，f（x）是减函数，

当xln（a1）时，f（x）0，f（x）是增函数，

所以当xln（a1）时，f（x）minf（ln（a1））a1（a1）ln（a1）b0，

所以ba1（a1）ln（a1），所以（a1）b（a1）2（a1）2ln（a1），其中a10，

令g（x）x2x2lnx（x0），则g（x）2x（2xlnxx）x（12lnx），

当0xe时，g（x）0，g（x）是增函数，

当xe时，

g（x）0，g（x）是减函数，

所以当xe

时，g（x）maxg（e）ee212e，

所以（a1）b的最大值是e.

2

六、解不等式法

mx2

题目：

设函数f（x）exmx．

（1）证明：

f（x）在（,0）单调递减，在（0,）单调递增；

（2）若对于任意x1,x2[1,1]，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围．分析：

求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式．

解：

（1）f（x）memx2xm，f（x）m2emx2，

因为f（x）m2emx20，所以f（x）memx2xm在R上是增函数，注意到f（0）0，

所以当x0时，f（x）f（0）0，当x0时，f（x）f（0）0，

所以f（x）在（,0）单调递减，在（0,）单调递增.

（2）由

（1）可知，f（x）在[1,1]上的最小值为f（0）1，f（x）的最大值是

f

（1）em1m

和f

（1）e1m，所以|f（x1）f（x2）|的最大值为emm或emm，

所以只要emme1或emme1，

令g（m）emm，则g（m）em1，

当m0时，g（m）0，g（m）是减函数，

当m0时，g（m）0，g（m）是增函数，

1

而g

（1）e1，g

（1）1，且g

（1）g（1，）所以存在m01，使得e

g（m0）g

（1），

所以由emme1即g（m）g

（1）可得

m0m1，其中m01①

而emme1即g（m）g

（1），所以m0m1，

即1mm0，其中m01，②

由①、②得1m1.

七、设而不求法

已知函数f（x）exex2x，

（1）设gxf（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值，

（2）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

分析：

设而不求那些不容易求出的极值点.

解：

（1）g（x）e2xe2x4x4b（exex2x），

gx2（e2xe2x2）4b（exex2），

令exext，则e2xe2xt22，

所以g（x）2（t24）4b（t2）（t2）（t22b）（t2）[t（2b2）]，

注意到texex2exex2（x0），所以当2b22即b2时，g（x）0，g（x）为增函数，所以g（x）g（0）0，

当b2时，存在x00，当x（0,）x0时，g（x）0，g（x）为减函数，所以g（x）g（0）0，不合题意，所以b的最大值2.

（2）考虑g（ln2）e2ln2e2ln24ln24b（eln2eln22ln2）

2122ln24b（222ln2）2322b（4b2）ln2，

由

（1）知道，当b2时，g（ln2）32222（422）ln20，

所以ln2421.541.41421.50.6928，

66

那么，下一步如何再取b的值呢？

这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的

xx0这个分界点满足的条件，可以考虑xln2满足exex（2b2）0，

考虑到满足等号成立的

b的值，eln2eln2（2b2）0，解得b321，4

则由

（1）知，

当b321时，g（ln2）3222（3421）[4（3421）2]ln20，

所以0.6928ln20.6934，所以ln20.693.

参考资料二：

“一定二动斜率定值”问题的高等背景与初等解

以下四个例题，都有类似条件：

A是圆锥曲线C上的定点，E,F是圆锥曲线C上的两个动点，求证直线EF的斜率为定值.我们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题，笔者经过仔细分析发现，这类问题的命题者利用了导数法研究曲线的切线斜率，也就是利用了导数产生的几何背景，本文利用极限与导数这一高等数学的方法先探求这个定值，然后利用初等方法给出证明.

x2y23

例1、如图1，已知E,F是椭圆xy1上的两个动点，A（1,）是椭圆上432

的定点，如果直线AE与AF关于直线x1对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

1

因此，可以确定所求的定值为1

2

初等解法：

因为直线AE与AF关于直线x1对称，所以直线AE的斜率与AF的

3

斜率互为相反数.设直线AE的方程为yk（x1）3，则直线AF的方程为

3x2y2

把yk（x1）3代入xy1得：

243

2232

（34k2）x24k（32k）x4（k）2120

（1），

2

设E（x1,y1）,F（x2,y2），注意到x1是方程

（1）的一个根，由根与系数关系得，

32

4（2k）212

x122，

134k2

32

4（k）212同理可求x222，

234k2

kEFyx1xy2

x1x2

33

k（x11）2[k（x21）2]k（x1x2）2k，

x1x2

x1x2

1

把x1，x2代入上式得kEF12

例2、如图2，已知E,F是椭圆1x2y41上的两个动点，A（3,3）是椭圆上

的定点，如果直线AE与AF关于直线y3对称，证明直线EF的斜率为定值，

并求出这个定值.

高等背景：

当AE与AF的倾斜角一

个趋近于180时，另一个趋近于0时，直

线EF的斜率就趋向于过A1（3,3）的

22

切线斜率.在1x2y41中，两边对x求

图2

A1（-3,3

导有，6xy2y0,把A1（3,3）代入有：

6332y0,解得y13.

因此，

可以确定所求的定值为13

初等解法：

设直线AE的方程为yk（x3）3，

2

代入xy1得：

（13k2）x263k（1k）x9k218k30

（1），

9k218k3设E（x1,y1）,F（x2,y2），注意到x3是方程

（1）的一个根，所以x19k18k23，

2

9k18k3

同理可求x22，

3（13k2）

高等背景：

当AE与AF的倾斜角一个趋近于0时，另一个趋近于180时，直线EF的斜率就趋向于过A1（1,1）的切线斜率.而y2x，所以y|x12，

因此，可以确定所求的定值为2.

初等解法：

设直线AE的方程为yk（x1）1，

代入yx2得：

x2kxk10

（1），

设E（x1,y1）,F（x2,y2），注意到x1是方程

（1）的一个根，所以x1k1，同理可求x2k1，

yyx2x2

所以kEFy1y2x1x2x1x2，把x1，x2代入上式得kEF2.

x1x2x1x2

例4、如图4，已知E,F是抛物线y2x上的两个动点，A（1,1）是抛物线上的定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

代入y2x得：

y2y110

（1），

kk

1

y110

（1），

，把y1，y2代入得kEF

k

得方程有一个根为xA或yA，此时一定要利用根与系数的关系求另一个根

4、注意以k替换k由E点坐标直接求得F点坐标.

5、对于直线与椭圆或者双曲线，kEFy1y2的进一步化简要利用直线方程，x1x2

对于直线与抛物线，kEFy1y2的进一步化简利用抛物线方程比利用直线方程x1x2

更加简单.

把握住以上几点，你也可以轻松地自己改编一些类似的题目，你当然更能准确快速的解答一下练习题：

1、已知E,F是抛物线y24x上的两个动点，A（1,2）是抛物线上的定点，直

线AE与AF关于直线x1对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.（答案：

1）

2、如图5，已知E,F,E1,F1是椭圆

22

x2y21

43

3

上的两个动点，A（1,23）是椭圆上的定点，如直

线AE与AF关于直线x1对称，且直线AE1

与AF1也关于直线x1对称，

求证：

EF∥E1F1.

提示：

由例1知，EF,E1F1的斜率相等）