知能整合机械能及其守恒定律.docx

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知能整合机械能及其守恒定律

知能整合——机械能及其守恒定律

本章梳理

1.网络结构

2.要点提示

（1）对能量概念的理解

能量的概念是在人类追寻“运动中的守恒量是什么”的过程中发展起来的。

能是描述物质（或系统）运动状态的一个物理量，是物质运动的一种量度。

任何物质都离不开运动，在自然界中物质的运动是多种多样的，相对于各种不同的运动形式，就有各种不同形式的能量。

自然界中主要有机械能、热能、光能、电磁能和原子能等。

各种不同形式的能可以相互转化，而在转化过程中，能的总量是不变的，这是能的最基本的性质。

（2）  对功的公式的理解

功的公式W=Flcosα只适用于大小和方向均不变的恒力做功，公式中的l是指力的作用点的位移，α指力的方向和位移方向的夹角。

W是可正可负的（当然也可能为0），从公式容易看出，W的正负完全取决于的cosα正负，也就是α的大小。

对公式W=Flcosα，可以理解为功W等于力在位移方向上的分量Fcosα与位移l的乘积，也可以理解为功W等于力F和位移在力的方向上的分量lcosα的乘积。

 由公式可以看出，某个力对物体所做的功只跟这个力、力的作用点的位移以及力与位移间的夹角有关，而跟物体是否还受到其他力的作用无关，跟物体的运动状态也无关。

（3）  关于正功与负功

功是标量，只有大小，没有方向，但功有正负。

功的正值与负值不是代表不同的方向，也不表示功的大小，而是表示所做功的性质，反映力对物体产生位移所起的作用，反映不同的做功效果。

在物体发生位移的过程中，各个力的作用不同。

对这个物体发生位移起推动作用的力（即动力）做正功；反之，在对物体产生位移起阻碍作用的力（即阻力）做负功，也就是这个物体克服阻力做功。

 （4） 几个力的总功的计算

计算几个力的总功，通常有以下两种不同的处理方法：

① 几个力的总功等于各个力所做功的代数和。

② 几个力的总功等于这几个力的合力的功。

需要指出的是，方法②仅适用于几个力同时作用于物体的情况，因为只有当这几个力同时作用于物体上时，才能求出它们的合力；方法①则不管几个力同时作用，还是作用时间有先后，均是适用的。

（5）  如何计算变力的功？

计算变力的功常见的有以下几种方法：

1转换研究对象求解通过转换研究对象的方法，将变力所做的功转化为恒力做功问题处理。

2运用累积思想求解把物体通过各个小段所做的功累加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功。

  ③  应用动能定理求解把求变力的功转换为求物体动能的变化处理。

（6）  正确理解功率概念

做功有快慢之分。

我们用“功率”来描述力对物体做功的快慢。

功率P是力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值，即

。

在日常生活中，我们经常说某台机械的功率，或某物体做功的功率。

实际上功率是指某一个力对物体做功的功率。

（7）  区分额定功率与实际功率、平均功率与瞬时功率

额定功率是指机器正常工作时的最大输出功率，实际功率是指机器实际工作时的输出功率。

实际功率一般总小于或等于额定功率。

如果机器长时间在大于额定功率下工作，机器就会损坏。

 平均功率对应的是一段时间或一个过程，并且同一物体在不同的时间段的平均功率一般不等，讲平均功率必须讲清是做功的物体在哪一段时间内或哪一个过程中的平均功率；瞬时功率对应的是某一时刻或某一位置，讲瞬时功率必须讲清是做功的物体在哪个时刻或哪个位置的瞬时功率。

根据

计算出的功率是物体在时间t内的平均功率。

对于公式P=Fvcosα，当v表示平均速度时，P为相应时间段内的平均功率；当v表示瞬时速度时，P为相应时刻的瞬时功率。

平均功率只能粗略地描述做功的快慢，要精确地描述做功的快慢，必须用瞬时功率。

（8）  汽车牵引力与速度的关系

当汽车在某一恒定的输出功率下行驶时，由P=Fv知，

，即速度越大，牵引力越小；反之，要使汽车获得较大的牵引力，就必须减小速度。

我们看到汽车上坡时，常改用慢速档（改变齿轮传速的齿轮数比），就是这个原因。

（8）  重力势能

物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置（高度）有关，而跟物体运动的路径无关，因而可定义重力势能。

物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，即Ep=mgh。

重力势能属于物体和地球组成的系统。

重力势能的大小与参考平面的选取有关，在选定的参考平面上的物体的重力势能就为0；物体在这个参考平面以上，重力势能就为某一正值；物体在这个参考平面以下，重力势能就为某一负值。

重力势能具有相对性。

选取不同的参考平面，只影响物体重力势能的数值，而不影响重力势能的差值。

（9）  重力做功与重力势能变化的关系

重力做功与重力势能变化的关系可用如下的公式表示：

WG=Ep1－Ep2。

当物体向下运动时，重力做正功，重力势能减少，重力势能减少的数量等于重力所做的功；当物体向上运动时，重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加，重力势能增加的数量等于克服重力所做的功。

（10）  对弹性势能表达式的探究

在探究弹性势能表达式的探究活动中，多次采用了类比的研究方法：

① 研究弹性势能的出发点，将重力势能与弹性势能类比。

讨论重力势能从分析重力做功入手，讨论弹性势能则从分析弹力做功入手。

② 弹性势能表达式中相关物理量的猜测，将重力势能与弹性势能、重力与弹力类比。

重力势能与物体被举起的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸的长度有关。

讨弹力与重力的变化规律不一样，弹性势能与重力势能的表达式很可能也不一样。

③ 计算拉力所做的功，与计算匀变速直线运动的位移类比。

计算匀变速直线运动的位移时，将位移分成很多小段，每一小段的速度可近似认为相等，物体在整个过程中的位移等于各小段位移之和。

计算拉力所做的功，可将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段的拉力可近似认为是不变的，拉力在整个过程中的功等于各小段功之和。

④ 计算各小段功的求和式，将由v— t图象求位移与由F—l图象求功类比。

v— t图象下的相关面积表示位移，F—l图象下的相关面积则表示功。

（11）  对功与物体速度变化关系的探究

本探究实验是按着如下的思路进行的：

1改变功的大小采用教材图5.6-1所示实验装置，用1条、2条、3条……同样的橡皮筋将小车拉到同一位置释放，橡皮筋拉力对小车所做的功依次为W、2W、3W……

2确定速度的大小小车获得的速度v可以由纸带和打点计时器测出，也可以用其他方法测出。

3寻找功与速度变化的关系以橡皮筋拉力所做的功W为纵坐标，小车获得的速度v为横坐标，作出W—v曲线（即功—速度曲线）。

分析这条曲线，得出橡皮筋拉力对小车所做的功与小车获得的速度的定量关系。

（12）  动能

我们定义质量为m的物体，以速度v运动时的动能为

 Ek=

。

动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等。

一般都以地面为参考系描述物体的动能。

动能是状态量，是表征物体运动状态的物理量。

物体的运动状态一旦确定，物体的动能就唯一地被确定了。

物体的动能对应于某一时刻运动的能量，它仅与速度的大小有关，而与速度的方向无关。

动能是标量，且恒为正值。

（13） 对动能定理的理解

力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

这就是动能定理，其数学表达式为　　　　 W=Ek2－Ek1。

通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：

一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。

这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：

1外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。

2合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。

当几个力同时对物体做功时，可以先求出物体所受的合力，再求出合力的功；也可以先求出各个力的功，再求出功的代数和，这两者是相同的。

然而，当几个力对物体做功有先后时，那就只能先求出各个力的功，再求出功的代数和。

动能的变化是末动能减去初动能，有些书上称之为动能的“增量”。

动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；物体的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。

动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。

由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。

当题给条件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。

用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。

（14） 应用动能定理解题的一般步骤

应用动能定理解题的一般步骤是：

1选取研究对象，确定研究过程；

2分析问题受力，明确做功情况；

3根据初、末状态，确定初、末动能；

4应用动能定理，列出方程求解。

（15）对机械能守恒定律的理解

在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

这就是机械能守恒定律。

其数学表达式为

  Ek2+Ep2+Ep2’=Ek1+Ep1+Ep1’.

根据机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程：

1从守恒的角度系统的初、末两状态机械能守恒，即

E2=E1；

2从转化的角度系统动能的增加等于势能的减少，即

   △Ek=－△Ep；

3从转移的角度系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即△EA=－△EB。

机械能守恒定律研究的对象是物体系统，是指系统的总机械能守恒，不是指某一个物体，单个物体无所谓机械能守恒。

我们平时常说某物体的机械能守恒，只是一种习惯的说法，实际上应包括地球在内，因为物体的重力势能是物体与地球所共有的，而不是物体单独拥有的。

系统的机械能是否守恒，选择研究对象很重要。

机械运动中的动能和势能之间的转换和守恒，是更普遍的能量转化和守恒的特殊情况。

当系统除重力和弹力做功外还有其他外力做功时，系统的机械能就不守恒。

这时，必然有机械能和其他形式的能之间的转化，但它们的机械能和其他形式的能的总和仍保持不变。

（16） 判断机械能守恒的方法

判断系统的机械能是否守恒，通常可采用下列三种不同的方法：

1做功条件分析法应用系统机械能守恒的条件进行分析。

若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。

2能量转化分析法从能量转化的角度进行分析。

若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。

3增减情况分析法直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。

若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒。

当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况，对于另一些情况（如系统的动能增加而势能减少）则无法做出定性的判断。

（17） 应用机械能守恒定律解题的一般步骤

应用机械能守恒定律解题的一般步骤是：

1选取系统对象，确定研究过程；

2进行受力分析，考察守恒条件；

3选取零势能平面，确定初、末态机械能；

4运用守恒定律，列出方程求解。

（18） 验证机械能守恒定律

用研究物体自由下落的运动来验证机械能守恒定律的实验原理是：

忽略空气阻力，自由下落的物体在运动过程中机械能守恒，即动能的增加等于重力势能的减少。

具体地说：

① 若以重物下落的起始点O为基准，设重物的质量为m，测出物体自起始点O下落距离h时的速度v，则在误差允许范围内，由计算得出

，

机械能守恒定律即被验证。

② 若以重物下落过程中的某一点A为基准，设重物的质量为m，测出物体对应于A点的速度vA ，再测出物体由A点下落△h后经过B点的速度vB，则在误差允许范围内，由计算得出

，

机械能守恒定律即被验证。

（19） 能量守恒定律

能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。

这就是能量守恒定律。

能量守恒定律告诉我们：

任何一部机器，只能使能量从一种形式转化为另一种形式，而不能无中生有地制造能量，那种不消耗能量的所谓“永动机”是不可能造成的。

（20） 能量耗散

自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向性。

在能量的转化和转移过程中，能量的总量是守恒的，但能量的品质却降低了，可被人类直接利用的能量在逐渐减少，这就是能量耗散现象。

能量耗散现象说明，能量虽然守恒，但我们还要节约能源。

综合链接

基础级

例1竖直上抛一小球，小球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于小球的速度．下列说法正确的是（）

A.上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功

B.上升过程中克服重力做的功小于下降过程中重力做的功

C.上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率

D.上升过程中克服重力做功的平均功率小于下降过程中重力的平均功率

提示从功与功率的概念出发，寻找小球在上升过程与下落过程中的变量与不变量。

解析小球在上升过程克服重力做的功和下降过程重力做的功均为

，

而小球克服重力做功的平均功率或重力做功的平均功率

又

，

由于空气阻力做负功，小球落地时的速度小于抛出时的速度，即

，故

。

正确选项为C。

点悟本题涉及功和功率的基本概念，比较小球在上升和下落阶段通过的位移及时间的大小关系，是判断此题的关键。

例2质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于O点，如图5—70所示，第一次小球在水平力F1的作用下，从平衡位置A点缓慢地移到B点，力F1做的功W1；第二次小球在水平恒力F2的作用下，从平衡位置A点移到B点，力F2做的功为W2。

则（BD）

A.W1一定等于W2B.W1可能等于W2

C.W1可能大于W2D.W1可能小于W2

提示注意分析小球移到B点时的速度是否为0。

解析在水平力F1的作用下，力F1做的功W1在数值上等于小球增加的重力势能；在水平恒力F2的作用下，小球可能一直做加速运动到达B点、也可能先加速再减速到达B点，此时小球速度可能为零亦可能不为0。

这样，力F2做的功W2在数值上有可能等于重力势能的增量、也可能等于重力势能增量与动能增量之和，因而正确选项为B、D。

点悟水平恒力F2的作用下小球的运动性质是本题最大的隐蔽条件，识破小球可能一直加速运动、也可能先加速再减速运动是解答该题的核心，否则，该题容易造成漏选或错选答案。

例3质量m=1 000kg的卡车，发动机的额定功率P=40kw，从静止开始驶上倾角30°的斜坡，若所受阻力Ff为车重的0.2倍，问卡车保持牵引力F=8 000N在坡上能持续行驶多大距离？

卡车最终能达到多大的最大速度？

（设斜坡足够长，g取10m/s2）

提示卡车保持恒定的牵引力在坡上做匀加速运动，持续行驶的最大距离是指做匀加速运动所行驶的距离。

卡车最终达到最大速度是处于匀速运动阶段，而非匀加速运动阶段的最大速度。

解析卡车保持牵引力F=8 000N在坡上持续行驶能达到的最大速度为

m/s=5m/s，

运动的加速度为

m/s2

m/s2=1m/s2,

故卡车保持牵引力F=8 000N在坡上能持续行驶的距离为

m=12.5m。

卡车最终所能达到的最大速度为

m/s≈5.7m/s。

点悟若斜坡足够长，卡车以恒定的加速度起动后，先做匀加速运动，再做加速度逐渐减小的变加速运动，最后做匀速运动。

当卡车达到最大速度时，发动机的功率已达额定功率，且牵引力等于阻力。

需要强调的是，这里的“阻力”，不单是地面及空气对卡车的阻力，还包括卡车重力沿斜坡向下的分力，即是所有阻碍卡车沿斜坡向上运动的力。

粗心的同学常常会遗漏卡车重力沿斜坡向下的分力，造成错解。

例4如图5—71所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长为l的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，l＞h，球刚跨过桌边。

若A球、B球相继着地后均不再反跳，忽略球的大小，则C球离开桌边时的速度有多大？

提示开始时，三球一起运动；A球着地后，B球与C球一起运动；B球着地后，C球单独运动。

由于桌面是光滑的，C球离开桌边时的速度，应与B球着地时B、C两球的共同速度大小相等。

解析设A球着地时的速度为v1，A、B、C三球与地球组成的系统机械能守恒，有

。

设B球着地时的速度为v2，A球着地后，B、C两球与地球组成的系统机械能守恒，有

，

。

所以，C球离开桌边时的速度为

。

点悟在应用机械能守恒定律分析多个物体的运动时，研究对象的选取至关重要。

另外，上述求解过程采用了“系统减小的重力势能等于增加的动能”来列式，当然也可采用“系统末态的机械能等于初态的机械能”来列式。

请同学们试着做一下，并将这两种解法作一比较。

发展级

例5如图5—72所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝l0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h＝2m的高处。

已知工件与传送带间的动摩擦因数

，g取10m/s2。

（1） 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?

（2） 工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?

．

提示注意分析工件在传送带上运动至h＝2m高处时，是否已达到与传送带相同的速度。

解析

（1） 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力

，

工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律

可得 

m/s2=2.5m/s2。

设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律

可得 

m=0.8m＜4m。

故工件先以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。

（2） 在工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf ，由动能定理

可得

J

J=220J。

点悟本题第

（2）问也可直接用功的计算式来求：

设工件在前0.8m内滑动摩擦力做功为Wf 1，此后静摩擦力做功为Wf 2，则有

  Wf 1=μmgcosθ ·x=

J=60J,

 Wf 2=mgsinθ （s－x）=

J=160J。

所以，摩擦力对工件做的功一共是

 Wf =Wf 1+Wf 2=60J+160J=220J。

当然，采用动能定理求解要更为简捷些。

例6电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体。

绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？

（g取10m/s2）

提示将物体吊高分为两个过程处理：

第一个过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升。

第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率。

第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小。

当拉力等于重力时，物体开始匀速上升。

解析起吊最快的方式是：

开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。

在匀加速运动过程中，加速度为

m/s2=5m/s2，

末速度 

m/s=10m/s，

上升时间

s=2s，

上升高度

m=10m。

在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为

m/s=15m/s，

由动能定理有

，

解得上升时间

s=5.75s。

所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为

  t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。

点悟分析用最快的方式将物体吊起的具体过程，是求解本题的基础。

本题与汽车以恒定的加速度起动属于同一题型，请同学们作一对比。

学习物理，要善于比较联想、总结归纳，做到举一反三、触类旁通。

练习巩固（5—11）

基础级 

1.竖直上抛一小球，小球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于小球的速度，下列说法正确的是（）

A.上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功

B.上升过程中克服重力做的功小于下降过程中重力做的功

C.上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率

D.上升过程中克服重力做功的平均功率小于下降过程中重力的平均功率

　2.如图5—73所示，木板质量为M，长度为L，小木块质量为m，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与M和m连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ。

开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的力将m拉至右端，拉力至少做功为（）

A.μmgL　　　　B.2μmgL　　C.μmgL／2　　D.

3.一子弹水平射入置于光滑水平面上的木块中，当子弹进入木块深2cm时，木块恰好移动1cm，在此过程，产生的热能与子弹损失的动能之比为（）

A.1:

1  B.2:

3 C.1:

2  D.1:

3

4.某消防队员从一平台上跳下，下落2m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又降下0.5m，在着地过程中地面对它双脚的平均作用力为（）

A.自身重力的8倍 B.自身重力的10倍

C.自身重力的2倍 D.自身重力的5倍

5.汽车在水平公路上做直线运动，它的功率保持不变，当汽车速度为4m/s时，加速度为0.4m/s2，汽车所受阻力恒为车重的0.01倍。

若g取10m/s2，求汽车行驶的最大速度是多少?

6.跳绳是一种健身运动。

设某运动员的质量是50kg，他一分钟跳绳180次。

假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的

，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是多少瓦？

（g取10m/s2）

7.如图5—74所示，质量为m的滑块与倾角为θ的斜面间的动摩擦因数为μ，μ＜tanθ。

斜面底端有一个和斜面垂直放置的弹性挡板，滑块滑到底端与碰撞时没有机械能损失。

若滑块从斜面上高h处以初速度v0开始沿斜面下滑，设斜面足够长，问：

（1） 滑块最终停在何处？

（2） 滑块在斜面上滑行的总路程为多少？

发展级

8.某司机为确定他的汽车所载货车货物的质量，他采用如下方法：

已知汽车自身的质量为3.2×103kg，当汽车空载时，让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上读出汽车达到的最大速度为150km/h。

当汽车载重时，仍让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上再读出汽车达到的最大速度为80km/h。

设汽车行驶的阻力与总重力成正比，试根据以上提供的己知量求车上所载货物的质量。

图5—75

　　9.如图5—75所示，在水平面上有一个质量为m的物体，在水平拉力作用下由静止开始移动一段距离后，达到一斜面底端。

这时撤去外力，物体冲上斜面，沿斜面上滑的最大距离和在水平面上运动的距离相等。

然后物体又沿斜面下滑，恰好停在平面上的出发点。

已知斜面倾角为30°，物体与斜面和水平面间的动摩擦因数相同，求物体受到的水平拉力的大小。

10.2003年10月16日6时23分，中国第一艘载人飞船“神舟”五号在太空绕地球邀游 14圈 后，按预定计划，飞船返回舱安全降落在内蒙古阿木古郎草原上。

“神舟”五号飞船在返回时先要进行姿态调整，飞船的返回舱与留轨舱分离，假设返回舱以近8km／s的速度进入大气层，当返回舱距地面30km时，返回舱上的回收发动机启动