最新人教版八年级下册初二数学《第十六章二次根式》导学案教学案.docx

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最新人教版八年级下册初二数学《第十六章二次根式》导学案教学案

16.1二次根式

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.

2、理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.

【重点难点】

1、二次根式的性质.

2、能确定二次根式中字母的取值范围.

知识概览图

（）2=a（a≥0）

新课导引

如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高hkm，电视节目信号的传播半径为rkm，则它们之间存在近似关系式，r=，其中R是地球半径，R≈6400km．若某个电视塔高为200km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?

【问题探究】因为R≈6400km，h＝200km，所以求传播半径r，实际上就是求的值，即求的值．怎么求的值呢?

【解析】因为16002＝2560000，所以＝1600．

所以r≈=1600（km）

教材精华

知识点1二次根式的概念

一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”读作“二次根号”．

拓展

（1）二次根式必须含有二次根号“”．如，等都有“”，虽然=4，但是4是二次根式的计算结果，因此，，，等也都是二次根式.

（2）二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：

，因为无论a取什么实数，都有a2≥0，所以是二次根式．而，都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．

（3）“”的根指数为2，即“”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．如就不是二次根式，因为它的根指数是3．

（4）有理数（不是0）与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：

与相乘，要写成的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.

知识点2确定二次根式中字母的取值范围

要使有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如，只有当2x+1≥0，即x≥时，二次根式才有意义.再如，对于式子来说，只有当即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.

拓展对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.

知识点3二次根式的性质

二次根式的双重非负性:

≥0，a≥0，因为（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知≥0，如，等都是非负数.

（）2=a（a≥0）.由于（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（）2=a，例如：

（）2=3，（）2=6，（）2=1.5.

拓展  

（1）（）2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.

（2）把（）2=a（a≥0）逆用，写成a=（）2（a≥0）.即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：

x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（）2，所以x2-2=x2-（）2=（x+）（x-）.

（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用.比如：

（3）2=32×（）2=9×2=18.（）2=（）2×（）2=×6=等，则用到了积的乘方法则（ab）2=a2b2.

知识点4的化简

由于表示a2的算术平方根，所以的化简结果必须是个非负数.而当有意义时a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0.为了保证的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即，然后再根据a的符号化简绝对值.比如：

.也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如.如果中a的符号不确定，那么要讨论.即=

拓展（）2与的区别与联系，如下表所示：

（）2

字母a

的取值

范围

不同

被开方数a的取值范围为a≥0，即a是一个非负数，且（）2=a.例如：

，，无意义

被开方数a2中的a可取一切实数，也就是说，a既可以是正数，也可以是负数，还可以是零.=例如当a=3时，，当a=-3时

意义

不同

（）2=a（a≥0）表示a的算术平方根的平方.例如表示5的算术平方根的平方，结果等于5

表示a的平方的算术平方根.例如：

表示3的平方的算术平方根，结果等于3

形式

不同

（a≥0），其结果只有一种形式，就是非负数a本身

，其结果有两种形式，与a的取值有关，当a≥0时，，当a＜0时，

联系

（a≥0）是一个非负数

≥0是一个非负数

当a≥0时，

知识点5代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式.例如：

5，a，a+b，ab，（t≠0），x3，，等都是代数式.

拓展代数式中不含有“＝”　“＞”　“＜”等符号，只有运算符号.

课堂检测

基本概念题

1、下列式中，哪些是二次根式？

哪些不是？

为什么？

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）；（10）

基础知识应用题

2、当x取何值时，下列各式有意义？

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）.

3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简.

综合应用题

4、

（1）三角形的高是底的，底为xcm，则这个三角形的面积是cm2;

（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是（设第一个圆的半径为r）.

探索创新题

5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：

化简求值

甲同学的做法是：

原式＝

乙同学的做法是：

原式＝

谁的做法是正确的？

说明理由.

体验中考

1、若代数式有意义，则x的取值范围是（）

A.x＞1且x≠2B.x≥1

C.x≠2D.x≥1且x≠2

2、若x，y为实数，且，则（x＋y）2010的值为.

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：

一是看是否含有二次根号“”；二是看被开方数是否是非负数.

解：

（1）∵-3＜0，∴不是二次根式.

（2）∵（-3）2＞0，∴是二次根式.

（3）∵（-3）3=-27＜0，∴不是二次根式.

（4）∵的根指数3，∴不是二次根式.

（5）由于中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.

①当x≤0时，是二次根式；

②当x＞0时，不是二次根式.

∴不一定是二次根式.

（6）∵的根指是4，∴不是二次根式.

（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0，∴不是二次根式.

（8）∵（x+3）2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，

∴当x≠-3时，是二次根式.

∴不一定是二次根式.

（9）∵-（a-4）2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4时，是二次根式；

当a≠4时，-（a-4）2＜0，不是二次根式.

综上，不一定是二次根式.

（10）∵m2+2m+1=（m+1）2≥0，∴是二次根式.

【解题策略】本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，应考虑字母的取值范围，即二次根式中的a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.

2、分析本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.

解：

（1）欲使有意义，则必有.

∴当x=0时，有意义.

（2）欲使有意义，则必有，且x≠-2.

∴当x≤0，且x≠-2时，有意义.

（3）∵（x-1）2≥0，∴无论x取何实数，都有意义.

（4）欲使有意义，则必有2-3x＞0，∴x＜.

∴当x＜时，有意义.

（5）欲使有意义，则必有，且x≠2.

∴当x≥-2，且x≠2时，有意义.

（6）欲使有意义，则必有.

∴当x≥3时，有意义.

（7）欲使有意义，则必有，且x≠-1.

∴当x≤，且x≠-1时，有意义.

（8）欲使有意义，则必有，且a≠-1.

∴当a≤2，且a≠-1时，有意义.

【解题策略】本例中的

（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x-3≥0，得x≥3，由x2-3≠0，得x≠±，而±均不在x≥3的范围内，所以只需满足x≥3即可.（7）小题中，由1-2x≥0，得x≤，由≠0，得x≠±1，只有x=-1在x≤的范围内，而x=1不在x≤的范围内，所以只需满足x≤，且x≠-1即可.

3、分析本题考查二次根式的性质，利用公式将形如的式子化简.

解：

由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，

∴==-==.

【解题策略】解决此题的关键是牢记并理解公式=

4、分析由面积公式或周长公式写出代数式即可.

（1）底为xcm，则高为cm，所以三角形的面积为（cm2）.

（2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为，所以这两个圆的周长之和为.

答案：

（1）

（2）

5、分析本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为，所以，所以

解：

甲同学的做法是正确的，理由如下：

乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了与的大小关系，导致错误.

【解题策略】利用进行化简时，的条件不能忽略，否则

体验中考

1、分析本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知故选D.

2、分析本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由知x＋2＝0，且y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以（x＋y）2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.

16.2二次根式的乘除

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、最简二次根式概念；

2、二次根式的乘除法法则及其逆用；

【重点难点】

1、最简二次根式概念；

2、二次根式的乘除法法则及其逆用；

知识概览图

最简二次根式的概念：

被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式

的二次根式，叫做最简二次根式

二次根式乘法法则：

二次根式除法法则：

二次根式乘法法则的逆用：

二次根式除法法则的逆用：

新课导引

如右图所示，一个直角三角形ABC中，两直角边BC，AC分别是6和10，那么由勾股定理可知其斜边AB为设这个直角三角形斜边上的高CD为x，则利用的是面积“桥”的方法.

【问题探究】是最简的结果吗？

如果不是，如何对进行化简呢？

【点拨】不是最简的结果，可以进行化简，首先将136分解因数，即

136＝22×34，再将写成进一步将分母中的根号化没即可，

教材精华

知识点1二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即

拓展

（1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.

（2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.

，公式中的a，b必须满足a≥0，b≥0，否则，就没有意义.

（3）由，得，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以