小学奥数知识体系组合模块知识汇总.docx

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小学奥数知识体系组合模块知识汇总

1.安排工序问题

2.集合问题（奇点偶段、小往大靠、支往干靠）

3.排队等候（用时短的人排在前面节约总时间）

4.货物调度问题

【例1】小华双休日想帮妈妈做下面的事情：

用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用8分钟；擦家具要用14分钟；晾衣服要用5分钟．经过合理安排，她做完这些事至少要花多少分钟．

【例2】如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个公交站，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应位于何处？

【例3】如图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，现在设立一个公交站，为使六栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应位于何处？

【例4】在一条公路上每隔100千米，有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？

【例5】某乡共有六块甘蔗地，每块地的产量如下图所示．现在准备建设一座糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？

【例6】超市有3个开放的收银台，现在有10名顾客未交费，由于每个人购买的物品不同，因此，每个人需要的时间分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分钟．请你帮忙安排顺序，使得所有顾客的交费时间和最短，这个最短时间总和是

分钟．

【例7】北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台，西安9台，每台机器的运费如表所示，如何调运能使总运费最省？

常用方法：

1.极端+调整：

考虑某些问题时可以从最大或者最小的角度去考虑，适当做调整，即可得解；

2.枚举比较：

根据题意，把可能的情况一一列举出来，筛选出题目的答案；

3.和一定差小积大，积一定差小和小；

4.周长一定，圆的面积最大；表面积一定，球体体积最大；

【例1】将100只杯子分别装入若干个盒子中，每盒的个数互不相同，并且盒盒不空，最多可以装多少个盒子？

【例2】有13个不同自然数，他们的和是100，问：

其中偶数最多多少个？

最少多少个？

【例3】

（1）将100分成若干个非零自然数的和，乘积最大是多少？

（2）将100分成若干个不同的非零自然数的和，乘积最大是多少？

【例4】

表示一个四位数，

是一个三位数，A、B、C、D、E、F、G代表1到9中不同的数字，

，问乘积

的最大值、最小值差是多少？

【例5】用数字1-6各一个组成2个三位数，使得2个三位数乘积最大，最大是多少？

【例6】用1、2、3、4、5、6这6个数字组成一个三位数

，一个两位数

，和一个一位数

，则算式

最大值是_________.

【例7】将1、2、3、4、5、6分别填在正方体6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是__________.

【例8】如图所示，一个边长为120厘米的正方形四个角剪去四个正方形，剩下的部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是_________立方厘米．

1.倒推思想：

从结论入手，倒推还原，找到制胜点．

2.对称思想：

采用对称的思想，如果局面刚开始就是对称的，后走有必胜策略；如果刚开始不对称，先走有必胜策略．

注意：

寻找制胜点，如果情况复杂，从简单情况入手．

【例1】有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多3枚．如果谁取走最后一枚棋子谁就赢，那么谁有必胜策略？

如果谁取走最后一枚棋子谁就输，那么谁有必胜策略？

必胜策略是什么？

【例2】现有2008根火柴，甲、乙轮流，每次最少取出2根，最多取出4根，无法取出火柴谁就赢，如果甲先取，谁一定能赢，策略是什么？

【例3】2010根火柴，甲、乙轮流，每次1、3、4根火柴，如果以先取完火柴的人为胜者，甲先取，谁有必胜策略？

【例4】甲、乙两人玩一个游戏，有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．

（1）如果开始时各有个球，谁有必胜策略？

说明理由？

（2）如果开始时各有2个和3个球，谁有必胜策略？

说明理由？

（3）如果开始时各有5个和8个球，谁有必胜策略？

说明理由？

【例5】把一枚棋子放在右图中左下角方格内，甲、乙两个人玩游戏，双方轮流移动棋子（只能向右、向上、向右上移），一次可以移动任意多格，谁把棋子移到了右上角的方格中即可获胜．如果甲先走，那么谁有必胜策略，他的策略是什么？

竖式谜常用分析方法（六位分析法：

首位、末位、109空位、进位及借位、不变位）

【例1】相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字（注：

弃九法的应用）

【例2】将数字1－9分别填入右边竖式的方格内，使算式成立（每个数字恰好使用一次），那么加数中四位数最小是________．

【例3】下面算式由1－9中的8个数字组成，相同的汉字代表相同数，不同汉字代表不同数字，那么“数学解题”与“能力”的差最小是________．

1.最不利原则（“差一点儿”原则）：

最倒霉（不利）情况下，如何能够达到目标.

例如，一副扑克牌，共54张，问：

至少从中摸出多少张牌才能保证至少有5张花色相同的牌；考虑最不利情况，取出大小王2张、红桃4张、黑桃4张、梅花4张、红桃4张（都差一点），再取1张即可达到要求.2+4+4+4+4+1=19张.

2.抽屉原理（例：

把5个苹果放到4个抽屉里）

形式1：

把5个苹果放到4个抽屉里，至少有一个抽屉的苹果数不少于2个；

形式2：

把5个苹果放到4个抽屉里，苹果最多的抽屉里苹果数不少于2个；

苹果数÷抽屉数=商……余数，若余数=0，至少能保证有一个抽屉的苹果数不少于“商”个；若余数≠0，至少能保证有一个抽屉的苹果数不少于“商+1”个．

【例1】向阳小学有730个学生，问：

至少有几个学生的生日是同一天？

【例2】四个连续的自然数分别被

除后，必有两个余数相同，请说明理由．

【例3】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？

【例4】把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

【例5】班上有

名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？

【例6】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：

基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分.问：

要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

【例7】将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？

【例8】证明：

任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．

【例9】能否在4×4方格表的每个格子中填入1、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的对角线上和互不相同？

【例10】从1至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于100？

最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于5？

【例11】从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：

其中至少有2个数的和是41.

【例12】从1,2,3，…，21这些自然数中，至少取出多少个数，能保证存在两个数的差等于4？

【例13】证明：

在边长为1的等边三角形中，任意放入5个点，其中至少有2个点的距离不大于0.5.

1.真假型：

根据题目中的几种可能情况，逐一假设，如果推出矛盾，假设不成立；如果假设不矛盾，假设成立.当然，我们在解题时可以找到一些比较方便的方法：

比如题目中可以找到对立的条件，则这两个条件必为一真一假；如果题目中可以找到一致的条件，则这两个条件必为同真同假.

注：

真假话的数量十分重要，有时可以帮助我们直接推得结论，无需进行假设．

2.条件型：

在针对某些条件多、层次复杂的题目时，我们可以采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用表格或者图形（胜负图）表示出来．这样可以借助表格或者图形把眼花缭乱的条件变得一目了然.

（1）列表法绘制表格；

（2）根据已知条件在相应的位置做出标记（关系对应打√，不对应打×）；

（3）结合表格与已知条件进一步推理；

（4）不能确定的位置进行合理假设．

3.体育比赛中的数学问题

（1）赛制

常见的赛制一般有单循环赛、双循环赛、淘汰赛（单败淘汰赛）、双败淘汰赛；

单循环赛是指每两支球队都要打一场比赛，如果有n支球队，那么每支球队需要打场

比赛，共需要打

场比赛；

双循环赛是指每两支球队都要打两场比赛，如果有n支球队，那么每支球队需要打场

比赛，共需要打

场比赛；

淘汰赛（单败淘汰赛）是指参赛者输掉一场比赛就丧失争夺冠军的可能，如果有n支球队，则共需要打

场比赛；

双败淘汰赛是指参赛者输掉2场比赛就丧失争夺冠军的可能，如果有n支球队，则共需要打

或者

场比赛；

（2）积分制

3-1-0积分制：

胜一局得3分，平一局双方各得1分，负者得0分.这样，2×总场次≤总分≤3×总场次；

2-1-0积分制：

胜一局得2分，平一局双方各得1分，负者得0分.这样，总分=2×总场次；

注意：

所有队胜的局数=所有队负的局数；所有队得平局数一定为偶数.

【例1】一个人的宝贝丢了，于是他开始四处寻找．有一天，他来到了山上，看到有三个小屋，分别为1号、2号、3号．从这三个小屋里分别走出来一个女子．1号屋的女子说：

“宝贝不在此屋里．”2号屋的女子说：

“宝贝在1号屋里．”3号屋的女子说：

“宝贝不在此屋里．”这三个女子，其中只有一个人说了真话，那么，谁说了真话？

宝贝到底在哪个屋里面？

【例2】四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了．陆老师问：

“是谁打破了玻璃？

”

宝宝说：

“是星星无意打破的．”

星星说：

“是乐乐打破的．”

乐乐说：

“星星说谎．”

强强说：

“反正不是我打破的．”

如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？

是谁打破了玻璃？

【例3】地理老师在黑板上挂了一张世界地图，并给五大洲的每一个洲都标上一个代号，让学生认出五个洲，五个学生分别回答如下：

甲：

3号是欧洲，2号是美洲；

乙：

4号是亚洲，2号是大洋洲；

丙：

1号是亚洲，5号是非洲；

丁：

4号是非洲，3号是大洋洲；

戊：

2号是欧洲，5号是美洲．

结果他们每人只说对了一半，请求出正确的编号和大洲对应的顺序．

【例4】六个不同民族的人，他们的名字分别为甲、乙、丙、丁、戊和己；他们的民族分别是汉族、苗族、满族、回族、维吾尔族和壮族（名字顺序与民族顺序不一定一致）；现已知：

（1）甲和汉族人是医生；

（2）戊和维吾尔族人是教师；

（3）丙和苗族人是技师；

（4）乙和己曾经当过兵，而苗族人从没当过兵；

（5）回族人比甲年龄大，壮族人比丙年龄大；

（6）乙同汉族人下周要到美国去旅行，丙同回族人下周要到瑞士去度假．

已知他们每人都只有一个职业，请判断甲、乙、丙、丁、戊、己分别是哪个民族的人？

【例5】1994年“世界杯”足球赛中，巴西、瑞典、俄罗斯、喀麦隆4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场，根据规定：

每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知：

（1）这4支队三场比赛的总得分为1、3、5、7；

（2）巴西队总得分排在第一；

（3）瑞典队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与喀麦隆踢平的．

根据以上条件可以推断：

总分排在第四的队是_________队．

【例6】5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平双方各得1分.最后5支球队的积分各互不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平.请问：

这5支球队的得分从高到低依次是多少？

1.枚举法

（1）基本枚举：

有序枚举（从小到大）、字典枚举（不重不漏）、分类枚举

（2）树形图（表格法）

（3）标数法

✧基本标数：

“确定方向”、“起点标1”、“水流相加”

✧阶梯标数：

横线段数永远比竖线段数多（画图）

2.加乘原理

（1）加法原理：

“加法分类”、“类类独立”、“一步成功”

（2）乘法原理：

“乘法分步”、“步步配合”、“缺一不可”

3.排列组合

（1）定义：

Amn：

从n个不同的元素中选出m个元素，按照一定顺序排成一排

Cmn：

从n个不同的元素中选出m个元素

（2）步骤：

✧特殊元素，位置优先

✧排列（有序）或组合（无序）

✧列式计算

（3）常用方法

✧捆绑法：

关键词“相邻”

方法：

先打包，再排序

✧插空法：

关键词“不相邻”

方法：

先其它，再插空

✧挡板法：

关键词“n个相同东西分给m个不同的人”（相同的元素分给不同的对象）

要求：

所分东西相同；全部分完；至少分到一个

✧除序法：

关键词“一定顺序”

方法：

先排列，再除序

【例1】将11拆成三个未知自然数之和的方法有多少种？

【例2】有一类大于100的自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459这类自然数共有多少个？

【例3】各位数字均取自1、2、3、4、5（可重复取），并且任意相邻两位数字的差（大减小）都是1的四位数共有多少个？

【例4】甲、乙、丙、丁四人传球，开始时球在甲手中，传3次，在甲手中的情况有多少种？

【例5】状状和新新去看望养老院的李奶奶，如下图

（1）他们从学校经过市中心到养老院的最短路线共有多少条？

（2）若他们不经过市中心到养老院的最短路线共有多少条？

【例6】一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬到右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？

【例7】

（1）一段楼梯有10级台阶，状状每一步只能上一级或两级台阶，要登上第10级台阶，一共有几种不同的走法？

（2）若每一步能上一级、两级或三级台阶，那么登上10级台阶，共有多少种不同的走法？

（3）若每一步能上一级或三级台阶，那么登上10级台阶，共有多少种不同的走法？

【例8】游乐园门票1元1张，每人限购一张，现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元钞票，另外5个小朋友只有两元钞票，售票员没有准备零钱，问有多少种排队方式使售票员总能找开零钱？

【例9】在一次小组长选举中，状状和元元两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票，在将7张选票逐一唱票过程中，元元得票始终没有超过状状，那么这样的唱票过程有几种不同的情况？

【例10】在世界杯一场小组赛中，巴西7:

5击败南非队，如果巴西队比赛中从未落后，那么这场比赛共有几种不同的进球顺序？

【例11】如下图，从A到B，有几种不同路线？

（不能重复经过一个点）

【例12】四种颜色对下面两个图中A、B、C、D、E五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，那么图一、图二分别有几种染法？

【例13】七个同学排成一排

（1）如果A和B必须相邻，共有多少种排法？

（2）如果A、B、C、D四人必须相邻，有多少种排法？

（3）如果A和B不能相邻，有多少种排法？

（4）如果A、B、C、D四人都不能相邻，有多少种排法？

【例14】马老师要将10个苹果分给秀秀，倩倩和文文．

（1）若要求每人至少一个，共有多少种分法？

（2）若要求每人至少两个，共有多少种分法？

（3）若有两人可以分不到苹果，共有多少种方法？

【例15】七个同学A、B、C、D、E、F、G

（1）B一定要在C的左边（可以不相邻）那么共有多少种方法？

（2）如果A、B、C从左至右出现，共有多少种方法？

（3）如果排成一个圈，共有多少种方法？