自控课设MATLAB超前滞后校正.docx
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自控课设MATLAB超前滞后校正
课程设计任务书
学生姓名：
张弛专业班级：
电气1002班
指导教师：
刘志立工作单位：
自动化学院
题目:
用MATLAB进行控制系统的滞后－超前校正设计
初始条件：
已知一单位反馈系统的开环传递函数是
要求系统的静态速度误差系数
，
。
要求完成的主要任务:
（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、MATLAB作出满足初始条件的最小K值的系统伯德图，计算系统的幅值裕量和相位裕量。
2、前向通路中插入一相位滞后－超前校正，确定校正网络的传递函数。
3、用MATLAB画出未校正和已校正系统的根轨迹。
4、用Matlab对校正前后的系统进行仿真分析，画出阶跃响应曲线，计算其时域性能指标。
5、课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB程序和MATLAB输出。
说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排:
任务
时间（天）
审题、查阅相关资料
1
分析、计算
3
编写程序
1
撰写报告
2
论文答辩
0.5
指导教师签名:
年月日
系主任（或责任教师）签名:
年月日
摘要
随着科学技术的不断向前发展，人类社会的不断进步。
自动化技术取得了巨大的进步，自动控制技术广泛应用于制造业、农业、交通、航空及航天等众多产业部门，极大的提高了社会劳动生产率，改善了人们的劳动条件，丰富和提高了人民的生活水平。
当今的社会生活中，自动化装置无所不在，自动控制系统无所不在。
因此我们有必要对一些典型、常见的控制系统进行设计或者是研究分析。
在控制工程中，二阶系统的应用非常普遍，对他的分析我们可以应用特定的公式计算，同时也可以借助于MATLAB软件来分析系统。
本题是一个在频域中对线性定常系统进行校正的问题。
所谓的校正，就是在系统中加入一些其参数可以改变的机构或装置，使系统的整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。
目前工程实践中常用的三种校正方法为串联校正、反馈校正和复合校正。
本篇论文主要采用串联滞后-超前校正的方法，对待校正系统进行校正使其满足给定的静态速度误差系数和相角裕量的要求，并结合所学知识对未校正系统和已校正系统进行对比，分析其稳定性及各项性能指标，在此基础上运用MATLAB的相关工具箱绘制出系统的波特图、根轨迹图、单位阶跃响应曲线，并利用SIMULINK对控制系统进行建模仿真，验证效果。
关键字：
频域串联滞后-超前校正MATLAB/SIMULINK性能指标
用MATLAB进行控制系统的滞后－超前校正设计
1基于频率响应法校正设计概述
所谓的校正，就是在系统中加入一些其参数可以改变的机构或装置，使系统的整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。
如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出时，一般采用时域法校正；如果性能指标以系统的相角裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特征量给出，如本题，一般采用频率法校正。
在频域内进行系统设计，是一种间接而又简单的设计方法，它虽然以伯德图的形式给出非严格意义上的系统动态性能，但却能方便的根据频域指标确定校正装置的参数，特别是对已校正系统的高频特性有要求时，采用频域校正法较其他方法更为方便。
一般来说，开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能；开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能；高频段表征了闭环系统地复杂性和噪声抑制性能。
因此，用频域校正法设计控制系统的实质，就是在系统中加入频率特性形状合适的校正装置，使开环频率特性形状变成所期望的形状：
低频段增益充分大，以保证稳态误差的要求；中频段对数幅频特性斜率一般为-20dB/dec，并占据充分宽的频带，以保证具备适当的相角裕度；高频段增益尽快减小，以削弱噪声影响，若系统原有部分高频段已经符合该种要求，则校正时可保持高频段形状不变，以简化校正装置形式。
常用的校正形式有串联超前校正、串联滞后校正、串联滞后-超前校正。
每种方法都有不同的适用范围，应当根据实际要求恰当的选择，由于本题要求采用串联滞后-超前校正，下面将着重介绍这种方法。
2串联滞后-超前校正原理及步骤
2.1滞后超前校正原理
无源滞后超前校正网络电路图如下图所示：
图2-1无源滞后超前校正网络电路图
其传递函数为:
（2.2-1）
式中
，
，
经适当化简无源滞后-超前网络的传递函数最后可表示为：
（2.2-2）
其中，
，
为网络的滞后部分，
为网络的超前部分。
无源滞后-超前网络的对数幅频特性如图2所示：
图2-2源滞后-超前网络的对数幅频特性曲线
其低频部分和高频部分均起始于和终止于0分贝水平线。
由图可见。
只要确定
，
，
，或者确定
，
，
就可以确定滞后-超前网络的传递函数。
2.2滞后-超前校正的适用范围
有时候单独使用串联超前校正和串联滞后校正都无法达到指标要求，而滞后-超前校正兼有滞后校正和超前校正的优点，即已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能也较好。
当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，以采用串联滞后-超前校正为宜。
其基本原理是利用滞后-超前网络的超前部分增大系统的相角裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能。
2.3串联滞后-超前校正的设计步骤
串联滞后-超前校正的设计步骤如下：
1）根据稳态性能要求确定开环增益K；
2）绘制待校正的对数幅频特性，求出待校正系统的截止频率
，相角裕度
及幅值裕度
；
3）在待校正系统对数幅频特性曲线上，选择斜率从-20dB/dec变为-40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率
。
的这种选法，可以降低已校正系统的阶次，且可保证中频区斜率为期望的-20dB/dec，并占据较宽的频带；
4）根据响应速度的要求，选择系统的截止频率
和校正网络衰减因子
。
要保证已校正系统截止频率为所选的
，下列等式应成立：
式中：
，
为待校正系统的幅频特性曲线在
处的值，
可由带校正系统幅频特性曲线斜率为-40dB/dec的部分在
处的数值确定，因此可以求出
值；
5）根据相角裕度要求，估计校正网络滞后部分交接频率
；
6）校验已校正系统的各项性能指标。
3串联滞后-超前校正的设计
3.1待校正系统相关参数计算及稳定性判别
3.1.1判断待校正系统稳定性
1）首先根据静态速度误差系数的要求求出待校正系统的开环根轨迹增益：
由于系统的开环传递函数为：
（3.1.1-1）
根据静态速度误差系数的定义知：
（3.1.1-2）
题目要求
，所以
。
于是可得出待校正系统的开环传递函数为：
现将其写成最小相位典型环节相乘的形式：
（3.1.1-3）
2）运用劳斯稳定判据判断系统稳定性
因为该系统为单位反馈系统，由此可得系统的闭环传递函数为：
（3.1.1-4）
由此可得系统的闭环特征方程为：
（3.1.1-5）
列出劳斯表，如下表所示：
第一列
第二列
0.5
1
1.5
10
-2.73
0
10
0
表3-1
由于劳斯表第一列中有一个系数为-2.73<0，因此第一列系数变化两次，说明系统闭环特征方程有两个正实部的根，系统不稳定。
3.1.2绘制待校正系统的伯德图
伯德图由两部分组成，分别为幅频特性曲线和相频特性曲线，从伯德图中我们可以得到开环系统的频域特性如穿越频率、截止频率以及对应的幅值裕度、相角裕度，借助MATLAB我们很容易做到这一点，在其命令窗口中输入如下命令：
num2=10
den2=conv（conv（[1,0],[1,1]）,[0.5,1]）
sys2=tf（num2,den2）
margin（sys2）%未校正系统bode图
gridon
title（‘未校正系统bode图’）
[hdb2,r2,wx2,wc2]=margin（sys2）
sys2_step=feedback（sys2,1）%求未校正系统闭环传递函数
sys2_bandwidth=bandwidth（sys2_step）%求未校正闭环系统带宽频率
结果如下图所示：
图3-1待校正系统的伯德图
在命令窗口得到：
hedb2=0.3000；r2=-28.0814；
wx2=1.4142；wc2=2.4253；
sys2_bandwidth=3.1937。
由此可知未校正系统的穿越频率为1.4142rad/s对应的幅值裕度为0.3dB，截止频率为2.4253rad/s对应的相角裕度为-28.0841º。
由于相角裕度小于零，幅值裕度大于零,亦证明系统不稳定。
闭环系统的带宽为3.9137rad/s.
3.1.3绘制待校正系统的根轨迹图
根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程的根的变化轨迹，借助MATLAB可以画出系统的根轨迹图，在命令行中输入如下命令：
rlocus（sys2）%画未校正系统根轨迹图
title（‘未校正系统根轨迹图’）
结果如下图所示：
图3-2待校正系统的根轨迹图
3.1.4绘制待校正系统的单位阶跃响应曲线
为了直观的看出待校正系统的动态性能，可以做出闭环系统在时域中对典型输入信号的响应曲线，一般以单位阶跃信号作为输入。
在MATLAB命令窗口中输入如下命令：
sys2_step=feedback（sys2,1）%求未校正系统闭环传递函数
step（sys2_step）%未校正系统单位阶跃响应H（S）=1
holdon
title（‘未校正系统单位阶跃响应’）
结果如下图所示：
图3-3待校正系统的单位阶跃响应曲线
从图中可以看出系统的单位阶跃响应呈发散震荡形式，系统严重不稳定。
3.1.5利用SIMULINK进行控制系统建模仿真
SIMULINK是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。
在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。
为了完成单位反馈系统的建模需调用如下模块：
MATLAB/SimulinkLibrary/Simulink/Source/Step;
MATLAB/SimulinkLibrary/Simulink/Continuous/TransferFcn;
MATLAB/SimulinkLibrary/Simulink/MathOperations/Subtract;
MATLAB/SimulinkLibrary/Simulink/Sinks/Scope.
将开环传递函数分解为几个最小相位典型环节串联的形式，组合成如下图所示的单位反馈系统模型：
图3-4单位反馈系统模型
仿真后Scope输出波形如下图所示：
图3-5Scope输出波形
与命令行执行结果相同，系统不稳定。
3.2滞后超前-网络相关参数的计算
由前所述串联滞后-超前校正网络的传递函数为：
（3.2-1）
1）已校正系统开环截止频率的选取：
由系统的开环幅频特性曲线可以得出斜率为-20dB/dec的渐近线与斜率为-40dB/dec的渐近线的交接频率为1rad/s,斜率为-40dB/dec的渐进线与斜率为-60dB/dec的渐进线的交接频率为2rad/s，为了使中频区占据一定的宽度并且使系统有较好的动态性能，通常取校正后的开环截止频率
rad/s。
2）校正网络传递函数中参数
、
、
的计算：
根据前述滞后-超前校正的一般步骤，取斜率从-20dB/dec变为-40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率
，即取
=1rad/s，所以
=1（3.2-2）
要保证已校正系统截止频率为所选的
=1.41rad/s，下列等式应成立：
（3.2-3））
由待校正系统的开环幅频特性曲线可知
rad/s，所以上式等同于如下方程：
（3.2-4）
可以解得
7.08，带入到滞后-超前校正网络的传递函数中得：
（3.2-5）
式中只有
一个未知参数，因此校正后系统的开环传递函数为：
（3.2-6）
令
，带入上式得：
（3.2-7）
根据相角裕度的计算公式校正后系统在新的截止频率
处的相角裕度
为：
（3.2-8）
令
，
rad/s可得如下方程：
（3.2-9）
这是一个较为复杂的方程，借助MATLAB我们可以求出上述方程的解，在MATLAB命令窗口中键入如下命令：
solve（'0.0271+atan（1.41*x）-atan（10.0111*x）=0'）
得到
于是串联滞后-超前校正网络的传递函数为：
（3.2-10）
运用MATLAB绘出校正网络的伯德图，命令行如下：
num1=conv（[22.4,1],[1,1]）
den1=conv（[158.5920,1],[0.1412,1]）
sys1=tf（num1,den1）
margin（sys1）%校正装置bode图
title（'校正装置bode图'）
结果如下图所示：
图3-6校正网络的伯德图
3.3对已校正系统的验证及稳定性分析
3.3.1绘制已校正系统的伯德图
将校正网络与待校正系统的串联后，利用MATLAB绘出已校正系统的伯德图，键入如下命令：
num1=conv（[22.4,1],[1,1]）
den1=conv（[158.5920,1],[0.1412,1]）
sys1=tf（num1,den1）
num2=10
den2=conv（conv（[1,0],[1,1]）,[0.5,1]）
sys2=tf（num2,den2）
sys3=series（sys1,sys2）
margin（sys3）%已校正系统bode图
[hdb3,r3,wx3,wc3]=margin（sys3）
sys3_step=feedback（sys3,1）%求校正后系统闭环传递函数
sys3_bandwidth=bandwidth（sys3_step）%求校正后闭环系统带宽频率
结果如下图所示：
图3-7已校正系统的伯德图
命令行中的结果为：
hdb3=6.2720；r3=47.6976；wx3=3.7170；wc3=1.1961
因此校正后系统穿越频率为3.7170rad/s相应的幅值裕度为6.2720dB，截止频率为1.1961rad/s相应的相角裕度为47.6976º大于45º满足要求。
相应的闭环系统的带宽频率为2.0951rad/s
3.3.2判断已校正系统的稳定性
1）运用劳斯判据判断已校正系统的稳定性
用MATLAB求出系统的闭环传递函数，命令如下：
sys3_step=feedback（sys3,1）%求校正后系统闭环传递函数
结果为：
（3.3.2-1）
所以已校正系统的闭环特征方程为：
（3.3.2-2）
列出劳斯表，如下表所示：
第一列
第二列
第三列
11.2
261
235
113
384.2
10
257.5
234
0
285.5
10
0
224.98
0
0
10
0
0
表3-2
从劳斯表中可以看出第一列系数全部大于零，所以闭环系统稳定。
3.3.3绘制已校正系统的根轨迹图
用MATLAB绘制出已校正系统的根轨迹图，命令如下：
rlocus（sys3）%已校正系统根轨迹图
title（'已校正系统根轨迹图'）
结果如下图所示：
图3-8已校正系统的根轨迹图
3.3.4绘制已校正系统的单位阶跃响应曲线
为了更加直观的得出校正后系统的动态性能，现做出校正后系统的单位阶跃响应曲线，在MATLAB中键入如下命令：
sys3_step=feedback（sys3,1）%求校正后系统的闭环传递函数
step（sys3_step）%已校正系统单位阶跃响应H（S）=1
title（'已校正系统单位阶跃响应'）
结果如下图所示：
图3-9已校正系统的单位阶跃响应曲线
3.3.5利用SIMULINK进行控制系统建模仿真
用SIMULINK仿真的方法如前所述，已校正系统的模型如下图所示：
图3-10已校正系统的模型
Scope输出波形如下图所示：
图3-11已校正系统单位阶跃响应Scope输出波形
与用命令行方式得出的结果相同。
3.3.6串联滞后-超前校正设计小结
至此，全部校正工作已经完成，对比校正前后的系统可以发现：
1）校正前系统不稳定，校正后系统变稳定；
2）校正后系统的相角裕度从-28.0841º提高到47.6976º，幅值裕度从0.3dB提高到6.2720dB。
其中相角裕度的增加意味着阻尼比增大，超调量减小，系统动态性能变好；
3）校正后系统截止频率从2.4253rad/s下降到1.1961rad/s。
对原本就稳定的系统来说截止频率的减小意味着调节时间增大，收敛过程变缓慢；
4）校正后系统的带宽从3.9137rad/s减小到2.0951rad/s，这意味着系统抗高频噪声的能力增强，同时意味着调节时间变长。
从前后对比中可以看出，所得出的结论与串联滞后-超前校正的特点一致，同时可以看出系统的各项性能指标之间存在着矛盾的，比如超调量和调节时间，因此在实际的操作过程中应综合考虑校正网络的特点和所要达到的目标，合理的选取校正网络及参数，通常无法一次性达到要求，需反复的计算尝试，这也是分析法（又称试探法）的缺点之一。
4心得体会
课程设计不仅是对前面所学知识的一种检验，而且也是对自己能力的一种提高。
这次课程设计使我明白了自己原来知识还比较欠缺，自己要学习的东西还太多。
以前老是觉得自己什么东西都会，什么东西都懂，有点眼高手低。
然而通过这次《自动控制原理》课程设计，我才明白了自动控制原理这门学科并没有我想象的那么简单，同时也更加加深了我对自动控制原理这门课的理解。
在做课程设计之前，我先将书上的相关内容重新复习了一遍，并将先前没理解的问题搞懂了，在做课程设计的过程中，我尽量将自己所学过的知识都用在里面，比如在做校正前后系统的稳定性判别时我用到了我们所学过的多种方法比如基于系统闭环特征方程的劳斯判据，基于频率响应的奈奎斯特稳定判据，基于开环传递函数的根轨迹法等。
在用MATLAB进行控制系统建模仿真的过程中，我发现这个软件确实非常强大，平时用手画根轨迹或者是幅频相频特性曲线时要花费大量的时间，做大量的运算，然而在MATLAB中只需要几条简单的指令就可以将图做的非常完美，不得不让我佩服那些做出这样软件的工程师们。
通过这次课程设计，我也更加明白学习是一个长期积累的过程，在以后的工作、生活中都应该不断的学习，努力提高自己知识和综合素质。
在设计过程中，我通过查阅大量有关资料，与同学交流经验和自学，使自己学到了不少知识，也经历了不少艰辛，但收获同样巨大。
在整个设计中我懂得了许多东西，也培养了我独立工作的能力，树立了对自己工作能力的信心，相信会对今后的学习工作生活有非常重要的影响。
而且大大提高了动手的能力，使我充分体会到了在创造过程中探索的艰难和成功时的喜悦。
总之，通过这次做课程设计，我学到了很多，无论是课内的还是课外的，这些都为今后继续学习奠定了基础。
参考文献
[1]胡寿松.自动控制原理.北京:
科学出版社,2007
[2]胡寿松.自动控制原理答案解析.北京:
科学出版社,2007
[3]王万良.自动控制原理.北京:
高等教育出版社,2008.
[4]张志涌.精通MATLAB.北京:
北京航空航天出版社,2009
[5]薛定宇.控制系统仿真与计算机辅助技术.[M].北京机械工业出版社,2005
附录
%校正装置
num1=conv（[22.4,1],[1,1]）
den1=conv（[158.5920,1],[0.1412,1]）
sys1=tf（num1,den1）
margin（sys1）%校正装置bode图
holdon
title（'校正装置bode图'）
gridon
%%
%未校正系统
num2=10
den2=conv（conv（[1,0],[1,1]）,[0.5,1]）
sys2=tf（num2,den2）
margin（sys2）%未校正系统bode图
title（'未校正系统bode图'）
gridon
rlocus（sys2）%画未校正系统根轨迹图
holdon
title（'未校正系统根轨迹图'）
holdon
gridon
sys2_step=feedback（sys2,1）%求未校正系统闭环传递函数
sys2_bandwidth=bandwidth（sys2_step）%求未校正闭环系统带宽频率
step（sys2_step）%未校正单位阶跃响应H（S）=1
holdon
title（'未校正系统单位阶跃响应'）
gridon
%%
%已校正系统
margin（sys3）%已校正系统bode图
[hdb3,r3,wx3,wc3]=margin（sys3）%已校正系统幅值裕度、相角裕度、穿越频率、截止频率
rlocus（sys3）%已校正系统根轨迹图
title（'已校正系统根轨迹图'）
sys3_step=feedback（sys3,1）%求校正后系统闭环传递函数
sys3_bandwidth=bandwidth（sys3_step）%求校正后闭环系统带宽频率
step（sys3_step）%已校正系统单位阶跃响应H（S）=1
title（'已校正系统单位阶跃响应'）
本科生课程设计成绩评定表
姓名
张弛
性别
男
专业、班级
电气1002班
课程设计题目：
用MATLAB进行控制系统的滞后-超前校正设计
课程设计答辩或质疑记录：
问题1：
如何使用MATLAB计算并显示系统性能参数？
答：
首先利用MATLAB的相关函数，编写程序及文件，在程序后附加“ltiview”命令，运行后在弹出的LTIViewer中导入sys文件，然后再编辑图像属性，即可查看系统的性能参数。
问题2：
滞后-超前校正中截止频率怎么选取，有什么依据？
答：
根据系统快速性的要求，选择已校正系统的截止频率，本次设计中没有快速性的要求，所以可以根据相位裕度的要求来选择截止频率。
在未校正系统中，一般选取相角为-180°时的ω作为截止频率，这样，未校正系统的相位裕度为0°，与设计要求相差45°，通过校正系统容易实现。
问题3：
是否有其他形式的校正方案？
答：
其他形式的校正方案
（1）串联超前校正；
（2）串联滞后校正；（3）顺馈校正；（4）反馈校正
成绩评定依据：
评定项目
评分成绩
1．选题合理、目的明确（10分）
2．设计方案正确、具有可行性、创新性（20分）
3．设计结果（例如：
系统设计程序、仿真程序）（20分）
4．态度认真、学习刻苦、遵守纪律（15分）
5．设计报告的规范化、参考文献充分（不少于5篇）（10分）
6．答辩（25分）
总分
最终评定成绩（以优、良、中、及格、不及格评定）
指导教师签字：
年月日
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