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探索性问题

I、综合问题精讲：

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型•探索性问题一般冇三种类型：

（1）条件探索型问题；

（2）结论探索型问题;

（3）探索存在型问题.条件探索型问题是指所给问题屮结论明确，需要完备条件的题目：

结论探索型问题是指题日屮结论不确定，不唯一，或题口结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的询提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目・

探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识.经常用到的知识是：

一元一•次方程、平面直角处标系、一次函数与二次函数解析式的

求法（图彖及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等.其中用儿何图形的某些特殊性质：

勾股定理、相似三角形对应线段成比例等來构造方程是解决问题的主要手段和途径.因此复习屮既要重视基础知识的复习，乂要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力.

II、典型例题剖析

【例1】（2005,临沂）如图2-6-1,已知抛物线的顶点为A（O,1）,矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0,2）,且其面积为&

（1）求此抛物线的解析式：

（2）如图2-6-2,若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作X轴的垂线，垂足分别为S、R.

1求证：

PB=PS；

2判断ASBR的形状；

3试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、

M为顶点的三角形相似,若存在，请找出M点的位置;若不存在,请说明理由.

⑴解：

方法一:

VB点坐标为（0,2）,・・・0B=2,

・・•矩形CDEF面积为8,・・・CF二4.

.•.C点坐标为（一2,2）.F点坐标为（2,2）o

设抛物线的解析式为y=ax2+/?

x+c.

其过三点A（0,1）,C（-2.2）,F（2,2）o

1=x

得］2=4a-2b+c解得°=丄#=0,c=1

2=4a+2b+c

PQ=b+c。

・*.SR2=（b+c）2-（b-c）2

・・・此抛物线的解析式为+1

方法二：

・・・B点坐标为（0,2）,・・・0B=2,・・•矩形CDEFffi积为8,・・・CF二4.

・・・C点坐标为（一2,2）。

根据题意可设抛物线解析式为）心处2+c。

其过点A（0,1）和CC2.2）|l=C解得a=^c=\

[2=4a+c4

此抛物线解析式为y十+i

⑵解：

1过点B作咽丄BS,垂足为N.

TP点在抛物线y二存+1上・町设P点坐标为@,存+]）.・・.ps=W2+i,0B=NS=2,

BN=d。

・・・PN二PS—NS二丄亍_1在RtPNB中.4

PB2=PN2+BN2=（-a2-l）2+a2=（-a2+1）2

・・・PB=PS=+/+1

2根据①同理可知BQ=QRo

・•・Z1=Z2,

又•・・Z1=Z3,

・・・Z2=Z3,

同理ZSBP=ZB

・・・2Z5+2Z3=180°

/.Z5+Z3=90°.・・Z.SBR=90°.

・・・ASBR为直角三角形.

3方法一：

设PS=b,QR=c，

•・•由①知PS=PB=b.QR=QB=c,

：

・SR=2嬴。

假设存在点M.AMS=x,别MR=2顶-尤。

若使APSM^AMRQ,

则有L=-X。

即兀2_4-be=0

x,=x2=\[bc。

SR=2\fbc

2byfbc

b+c

・・・M为SR的中点.若使△PSM^AQRM,

则有匕=—0

x2Qbc—x

.MR_2賦-x_2賦、_c_QB_R0

MSx2byfbcbBPOS

b+c

・・・M点即为原点0。

综上所述，当点M为SR的中点时.APSMsAMRQ；当点M为原点时，APSM^AMRQ.方法二：

若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似，

*•'ZPSM=AMRQ=90°，

・•・有APSMsAMRQ和APSMsAQRM两种情况。

当厶PSMsAMRQ吋.ZSPM=ZRMQ,ZSMP=ZRQM.

由直角三角形两锐角互奈性质.知ZPMS+ZQMR=90。

.ZPMQ=9^.

取PQ中点为N.连结MN.则MN=」PQ二丄0+阳）・

AMN为直角梯形SRQP的小位线，

・••点M为SR的中点当厶PSM^AQRM时,

RM_=QR=QB_^乂空=竺，即m点与0点重合…••点M为原点0。

MSPSBPMSOS

综上所述，当点M为SR的屮点时，APSMsAMRQ；当点为原点时，APSMs△QRM。

点拨：

通过对图形的观察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以

（1）的关键是求出其中一个点的坐标就口J以应用三点式或y=ax2+c型即可.而对于点P既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a,占世+1）.这样再过点B作咽丄PS.得出的几何图形求出PB、PS的大小.最后一问的关键是要找出APSM与ZXMRQ相似的条件.

【例2】探究规律：

如图2—6—4所示，已知：

直线!

n〃n,A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点.

（1）请写出图2—6—4中，面积相等的各对三角形；

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总

冇与ZXABC的面积相等.理由是：

解决问题：

如图2-6-5所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2-6-6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2-6-6屮折线CDE）还保留着；张人爷想过E点修一条肓路，胃路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关的几何知识，按张人爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）.

解:

探究规律:

（1）AABC和△ABP,80（：

和厶B0I\ACPA和△CPB.

（2）AABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有AABP与AABC同底等高，因此，它们的面积总相等.

解决问题：

⑴画法如图2—6—7所示.

连接EC,过点D作DF〃EC,交CM于点F,连接EF,EF即为所求岂路位置.

⑵设EF交CD于点H,由上面得到的结论可知：

Saeci^Saecd，Sahcf=Saedh»所以s雀边形abcde=S五边形abcfe，S五边形edcmn=S四边形efmn•点拨：

木题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC,过D作DF〃EC,再运用同底等高的三角形的面积相等.

【例3】（2005,成都模拟，12分）如图2-6-8所示，已知抛物线的顶点为M（2,-4）,

且过点A（—1,5）,连结AM交x轴于点B.

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵求点B的坐标；

（3）设点P（x,y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结P0,以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R,连结PR.设面PQR的而积为S.求S与xZ间的函数解析式；

（4）

图2-6-8

在上述动点P（x,y）中,是否存在使Sapqr=2的点?

若存

在，求点P的坐标：

若不存在，说明理由.

解：

（1）因为抛物线的顶点为M（2,一4）所以可设抛物线的解析式为y二（X-2）2-4.因为这条抛物线过点A（-1,5）

所以5二a（—1一2）2—4・解得a=l・

所以所求抛物线的解析式为尸（x-2）2-4

（2）设直线AM的解析式为y二kx+b.

因为A（—1,5）,M（2,—4）

—k+b=5

2k+b=-4

解得k=-3,b二2.

所以直线AM的

解析式为y=3x+2.

当y=0时，得x=§,即AM与x轴的交点B（-,0）

（3）显然，抛物线y二X?

—4x过原点（0,0）

当动点P（x,y）使APOQ是以P为顶点、P0为腰II.另一顶点Q在x轴上的等腰三角形吋，山对称性有点Q（2x,0）

因为动点P在x轴下方、顶点M左方，所以0

因为当点Q与B（-,0）垂合时，Z^QR不存在，所以,

所以动点p（X,y

）应满足条件为0

因为QR与x轴垂直FL与直线AM交于点R,所以R点的坐标为（2x,—6x+2）

如图2—6—9所示，作PH丄OR于H,

贝UPH=|xQ-xp|=|2x-x\=xyQR=|-6x+21

而S=APQR的面积£QR・PH二*|-6x+2|x下面分两种情形讨论：

1当点Q在点B左方吋，即00・

所以S号（—6x+2）x=—3x"+x；

2当点Q在点B右方时，即£

点R在x轴下方，所以一6x+2<0・所以sg[—（―6x+2）]x二3x‘一x；

即S与X之间的函数解析式可表示为

（4）当S二2时，应有一3x2+x=2,即3x?

_x+2=0,

2显然△<（）,此方程无解.或冇3x2-x=2,B|J3x2—x—2二0,解得&=1,x2=-~

当x二1时，y=x2-4x=-3,即抛物线上的点P（1,一3）可使SAPQR=2；

当x=—~V0时，不符合条件，应舍去.

所以存在动点P,使Sapqr=2，此时P点坐标为（1,-3）

点拨：

此题是--道综合性较强的探究性问题，对于第

（1）问我们可以釆用顶点式求得此抛物线，而

（2）屮的点B是直线AM与x轴的交点，所以只耍利用待定系数法就町以求出直线AM,从而得出与x轴的交点B.⑶问中注意的是Q点所处位置的不同得出的S与x之间的关系也随之发牛变化.（4）可以先假设存在从而得出结论.

UI、综合巩固练习：

（100分90分钟）

1.观察图2-6-10•!

•（!

））至⑸中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放.记第

⑵当n二8时，y二

⑶根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2-6-11的平面直角坐

标系屮描出相应的各点（n,y）,其屮lWnW5；⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？

如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式.

2.（5分）图2-6-12是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.观察图形的变化规律,

写出第n个小房了用了块石了.

3.（10分）已知RtAABC中,AC二5,BC二12,ZACB=90°,P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.

⑴如图2-6-13所示，当PQ〃AC,且Q为BC的中点时,求线段CP的长;

⑵当PQ与AC不平行时，ACPQ可能为直角三角形吗？

若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围，若不町能，请说明理由.

4.如图2-6-14所示，在直角坐标系中，以A（-1,-1）,B（1,-1）,C（1,1）,D（-1,1）为顶点的正方形，设正方形在直线厶：

y二x及动直线Z2：

y=-x+2a（―IWq<1）上方部分的而积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分的面积），试分别求出当a=0,a=—1时,相应的S的值.

\"f-T

图2-6-14

5.（10分）如图2-6-15所示，DE是Z\ABC的中位线，ZB=90°,AF〃BC.在射线AF

上是否存在点M,使厶MEC打AADE相似？

若存在，请先确定点\1,再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由.

6.如图2-6-16所示，在正方形ABCD屮，AB=1,AC是以点B为圆心.AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点.

⑴当ZDEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；

⑵设AE=x,FC二y,求y关于x的函数解析式：

并写出函数的定义域；

⑶图2—6—17所示，将ADEF沿直线EF翻折后得厶D.EE,当即冷时，讨论Z\AD：

D与厶ED.F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

（图2-6-18为备用图）

7.（10分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下:

2—6—19

（1）所示;

第一步：

先把短形ABCD对折，折痕为MN,如图

第二步：

再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE,点B在MN上的对应点,得RtAAB'E,如图2—6~19

（2）所不；

第三步：

沿EB'线折叠得折痕EF,如图2—6—19（3）所示；利用展开图2—6—19（4）所示探究：

（1）Z\AEF是什么三角形？

证明你的结论.

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？

请说明理由.

9.（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图彖性质的问题时，发现了两

个重要结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3（a#0）,当实数a变化时，它的顶点都在某条

直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3（a^0）的顶点的横坐标减少

~,纵坐标增加右，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加右,纵坐标增加右，得dddd

到B点的处标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3（a^0）±.

（1）请你协助探求出实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3（a^0）的顶点所在直线的解析式；⑵问题⑴中的肓线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？

并说明理由；⑶在他们第二个发现的启发下，运用“一般〜特殊〜一般”的思想，你还能发现什么？

你能用数学语言将你的猜想表述岀來吗？

你的猜想能成立吗？

若能成立，请说明理山。

10.己知二次函数的图彖过A（-3,0）,B（1,0）两点.

⑴当这个二次函数的图彖又过点以0,3）时，求其解析式；

⑵设⑴屮所求M次函数图象的顶点为P,求Saapc:

Smbc的值;

⑶如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D,Smmd：

SAabd的值确定吗？

为什么？

11.（13分）如图2-6-20所示，在RtAABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线DE,

交BC于D,交AB于E,F在DE±,并且AF=CE.

（1）求证:

四边形ACEF是平行四边形;

⑵当ZB的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？

请回答并证明你的结论;

⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？

为什么？

图2-6-20

综台复习六探索性问题

111.1.

（1）2J;

（2）57；（3）图略；（4）在一个函数的图象上，H.该萌数的解析式为$=‘,一"+].

2•涉+5点拨；町以把其右作两部分之和•底下足（“rDM••廊楚（2〃一1）.

3•解：

⑴在RI△ABC屮，"CB=90°,AC=5,BC=12・所以AB=13.因为Q是BC的中点，所以CQ-QB.乂因为PQ//AC\所以.4P=PB.即P是AB的中点•所以R（Z\AB（'中，C7—缪〜导・

厶Z

（2）

如答图2-6-1所尔.AC与PQ不平行时,只有ZCPQ为苴角，MPQ才可能是直角三角形•以CQ为直彳。

的半圆D.

①当半圆D与相切时•设切点为M,连接

DM.w]DM±AB,flAC=AM=5.所以ME二AE-AM=13-5-8.设CD=.r・则DM=.r・DB=12一r.在RtADMB屮，DB-■DM2+

Mir，即（12—才）2=/+8?

・解得・rh早•所以CQ-2.r-半即与CQ"

•30

•—•••一.■■..__

罟时，点P运动到切点M位置时，ZxCPQ为龙角三角形;

2当专VCQV12时•半圆D与应线A”有两个交点•当点P运动到这两个交点的位置时•△「PQ为宜角三角形，

3、,）V（QV竽时•半關D与直线小郴离•即点P在小边上运动时■均在半圆D外,0

化解决动

ZEAM.乂因为ZADE匸2应曲二90°,所以-△ADE必AMEA.所以△ADEs/lMEC.点拨：

作本题的关键是选作出一个RtAC'EM,即过E点作ME丄人「交AF于M点•然后再uEAAZ>E^AMEC.

（1）证明：

IH为二DEF=・15°,得ZD耐=9（）。

一ZDEF=45°・所以ZDFE「ZDEF.所以I）E=DF.乂因为AD-DC•所以4E=FC.丙为AB|U1B的半径，八D丄AB•所以AD切圆B于点A；同理，CD切恻H于点C,XW为EF切圆刃于点（；，所以AE=EG,FC=FG・所以EG-FG,即点G为线段EF的中点.

（2）解：

因为EG-AE—.1•l'（r—CF•-v♦所以ED—1—j,FD—1~~y.在i泌QEFifi•由EDTFDF；EF辽待（1一才泸+（1—y）?

亠a+W：

‘・所

1—r

以（0<-r<1）・

31—T

（3）解：

当EF=-右时•山

（2）得EF=EG+F（；-AE+"（工丁+十牙壬「

OLT*

+•得cT或二二手，即AE=〔j~或AZ*・（D

△ADQs/XEDjE证明：

设直线EF交线段DD,于点H,如答图2・鉄3所爪.曲題总•得Z\EDF必AEDFEF丄皿上LDH=DiH.因为AE-£・,4D=I•得AE^ED・所以EH//40,.所以^D}AD^^FED-

厶FED）・厶4DJ）=ZEHD=90°..乂因为厶El）,F-ZEDF=90°,所以ZEOiF-ZADjD.所以AADiD^^ED{F・

②当八E-y时・△/'DD与AEUF不III似.

7•解：

（1）Z\AEF是尊边三角形.证明：

如答图2-6-4所示.由平行线等分线段定理•知PE二PA・听以B'P是Rt/>.ABfE斜边上的中线・所以PA=B'P・Z1*3•又因为PN〃AD,所以Z2=Z3・而2上1十匕2=9U*••所以Z1^Z2-30°.在Rt/vXB'E中，Z1十ZAEF=9。

°,所以Z/AEF-60°・ZE/1F-ZI+三2二6（）“・所以△AEF是等边三角形•

（2）不一定•由上推证可知半矩形的长恰好等于等边厶AEF的边AF

时，即矩形的宽：

\k^AB:

/山=血60°=必一：

2时止好折出.如果设矩

半^-a

点拔：

⑴中也nJlllAABE与厶ABfE完全重合•得两三角形全等•然后M:

AAB'E^AAb7<.从而得出Zv\EF是等边•三角形・^

8•解：

（1）当“二1时,yF+2工+3的顶点坐标为（一1・2〉严严一I时,y=—.r」卜2”+3的顶点坐标为（I♦I）.设抛物线y=a.r24-2x-b3的顶点/E直线y^-kjri-b上，将（一1,2）,（1,1）代入•得（〔,..解得I4十»・

仁o所以，=工+3・即抛物线，=心+2工+3的顶点在直线，=工十3上・（o=3.

（2）直线，=工+3上有一个点（0,3〉不是该抛物线的顶点•由题意知抛物线顶点的横坐标不为0,所以（0,3）不是原抛物线的顶点.

（3）得岀猜想，对于抛物线y=dF+/Lr+e（°工0）,将其顶点的横坐标增加或减少+•纵坐标增加£■,所得到的两个点一定仍在抛物线上.

理由：

因为抛物线，=心十必+c的顶点坐标为（一苏•1£养尹）・所

以将其横坐标减少丄，纵坐标增加丄■得人（_~^・陀？

+巾

a\络a■■/

同理，可得B（储■,4"了+4）.把才=一吿_代入，=必2+虹+

"得》=“（一讐）'+”一讐）+°=2£2护±・所以点人在抛

物线y^ar2^bjc+c上.同理可证点B也在抛物线yax2+bx+c上,

（3）何证明也可由y=a（r-h）2^k（a^0）的形式证明.

9•解：

（1）设二次函数的解析式为y=ax^bx+c.

（9a—36+c=0,

ja4-64-

=0,解得Ie=3・

=*X4X3=6.所以S^apc1Saabc=3!

6=]:

2・

（3）设此二次南数解析式为y=g2+2g-3aaHO）・所以0（0,~3«）.因为点M在对称轴z=-l上，且在函数图象上，所以M（—1,一4小如答图2-6-6所示和答图2-6-7所示.•・

]-S^）D^-^（OD^MN）•ON+才

ii•]1

MN一-（M•OD«-y（|~3a|4-|-4a|）Xl+-yX2X|-4«|--~X

Q11

3X|—3a|=|—4a|一丨一3a|•S厶abd=-AB•OD=-yX4X

斗|—4a|—|—3a|

21—3a|

|_3十2|-所以超=——•当X。

时.

S^abd

•3

丁|—4a|_|_3a|?

2~[—3^'|=盘=~2'所以Saw”:

S/\abd的值是确定的.

10.

（1）证明：

如答图2-6-8所示.因为DF是BC的垂直平分线，所以DF丄BC,DB=DC・所以ZFDB=ZACB=90°.所以DF//AC.所以E为

斜边AB的中点•所以CE^AE^^-AB.

所以Z1=Z2.又因为EF//AC.AF^CE=AE,所以Z2=Z1=Z3=ZF・在△ACE和ZXEFA中，厶1=Z3,Z2=ZF,AE=EA•所以△ACE^^EFA・所以AC-EF.所以四边形ACEF是平行四边形.

（2）解：

当ZB=30°时，四边形ACEF是菱形.证明：

在ZVIBC中,2aCB-90\ZB-30\所以AC=于AB・由⑴可知飞是AB的中点,所以CE=*AB・所以AC=CE.所以口ACEF是菱形.

（3）解：

四边形ACEF不可能是正方形.理由如下：

由

（1）知£是人B的中点，所以CE在△ABC的内部.所以ZACE

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