线性代数北京理工大学出版社习题集解答.docx
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线性代数北京理工大学出版社习题集解答
第一章行列式
学习要求
1.理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解：
2.理解斤级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；
3.理解〃阶行列式的概念和刃阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的”阶行列式；
4.掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；
5.理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；
6.掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.
§1.1二阶与三阶行列式
1.计算二阶行列式：
•X—]1r、r
（5）,,=（x-l）（x:
+x+l）-x2=x3-x2-1;
x~x-+x+l
2.计算三阶行列式：
10-1
（2）350=5+0+（-12）-0-0-0=-7;
041
x34
3.求解方程D=_1x0=0.
0X1
x34
解由一1x0=x2-4x+3=（x-l）（x-3）=0,故原方程的解为x=liiJU=3.
0x1
4.用行列式解下列方程组：
3
-4
-2
3
=9-8=1*0,
D严3~2=9-2=7,
-13
12
（2）D=2-1
1-1
Di=1-1
3-1
1
1=4,
2
1
D2=2
1
=4,
2
-1
-1
0
1=-12,
3
故所求的方程组有唯一解:
1
6=33=-3+12=9,故所求的方程组有唯一解：
再=7,匕=9・
--4-1・
1
1=一2+2-2+1+1-8=-8工0,
2
3
3H0.
3
x2
6.当x取何值时，1x
12
x23
由1X3=3X-9x+6=3（x-1）（x-2）hO,解得XH1且心2.
123
§1-3〃阶行列式的定义
1.写出四阶行列式中含有因子a22a54的项.
解利用〃阶行列式的定义来求解•行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，
题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子①屮汩的行标已经取了
2,3,列标取2,4,所以剩下因子的行标只能取1,4,列标只能取1,3,因此未写出的因
子为勺厲3和d/y又因为r（1243）=l,“3241）=4,所以四阶行列式中含有因子a22a54的
项为（i）W匕內20,43和（-1）^3241）«13«22^34^41'即一坷1如他4。
43和"„34知-
3.已知/（X）=:
x23
3x2
用行列式的定义求亡的系数.
解/（x）的展开式中含疋的项只有一项：
（-1）«”J・1・X・X=-宀故疋的系数为—1・
4-利用行列式的定义计算下列行列式:
1
”）72x3x4=24；
解析由〃阶行列式的定义可知：
行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素1,先取a口=1，则第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取。
22=2,则第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取«31=3,则第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取a43=4,那么行列式的结果为（-1）r（42131a14a22a3!
a43=1x2x3x4=24；
补充练习
1.由行列式的定义写出0=
3
2
3
2x
的展开式中包含X’和X4的项.
解D的展开式中含x4的项只有一项（-l）w”5x・x・x・2x=ioh,而含疋的项有
两项（一1严叫・g・2x和（-1严旳3・x・x・i从而展开式中含兀'的项为:
（_1）心刈1.*・*・2x+（_l）w旳3・x・x・x=-2x-3x3=-5x3.
§1-4行列式的性质
1.利用行列式的性质计算下列行列式:
ab
-bd
~bf
-ac
cd
~cf
1
-1
-1
=abcdef
-1
1
-1
-1
-1
-1
—ae
—de
~ef
dab爾
-1
0
-2
-1
-2
-2
=-4abcdef;
1
3
⑷I
-2
3
1
1
1
2
0
-2
-4
1
0
0
2
2
-2
0
0
2
-2
-4
0
-1
3
1
-1
-1
3
2
-9
20
-1
=-10.
2.证明下列等式:
CT
@+厅
（4+2）2
（a+3尸
b2
（b+l）‘
（b+2），
（b+3）‘
C"
（c+l）‘
（c+2尸
（c+3），
d1
（d+厅
（cl
（d+3），
=0；
（2）
（3）
1+栩
1+丕儿
1+耳儿
1+和2
1+5
1+§儿
1+兀儿
1+无儿
1+“儿
=0;・
第2个行列式第1列提取儿,
证明
⑵把行列式中的扌舌号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.
J
AT
（«+1）2
（d+2）2
（Q+3）2
Q-
2a+l
4a+4
6a+9
b2
（b+l）‘
（T
（b+纤
b-
2b+l
4b+4
6/7+9
c"
（c+l）‘
（c+2）21
（c+3尸
L
2c+l
4c+4
6c+9
dz
（d+1）2
（d+2）‘
S+3），
d2
2d+l
4d+4
6d+9
（3）由性质4,将D的第1列拆开，得
11+利21+兀儿
人月1+兀儿1+兀儿
D=
1i+x2y21+耳儿
+
x2ytl+x2y21+无儿，
11+兀儿1+厶儿
心儿1+D儿1+心儿
1兀儿兀儿
兀1+兀儿1+兀儿
D=
1心儿乙儿
+
x2i+x2y2l+x2y3,
1“儿心儿
“1+兀儿1+心儿
将第1个行列式的第1列乘以T加到第2、3列,
将第1个行列式第2、3列提取儿，儿，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后
可得如下行列式，
1X]X]
（
不11
西1西为
罚和21
D=儿儿
1x2x2
+
11
+
勺1吃儿
+
x2y21
+
X,<2>2兀儿
1x3x3
x311
心1召儿
勺也儿1
V3勺比召儿|丿
=0+0=0；
3.计算下列”阶行列式.
1
2
2-
-2
X
1-
1
2
2
2-
-2
1
X・
-1
；
（2）
2
2
3•
-2
1
1-
・X
:
•
:
2
2
2-
・n
解⑴把第2,3,…/列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子x+（77-l）,提取
公因子之后，再给第1行乘以（-1）加到第2,3,…/行，化成上三角形行列式，得到行列式
的值.
=[x+（«-!
）]
1
x-1
=[x+s—i）]（m
X1•…1
X+（/7—1）1…1
11・・・1
1X・・・1
X+（/7-l）X…1
1X・・・1
•••
••♦
•••
=
•••
•••
•••
=[x+（n-l）]
•••
•••
•••
11・・・X
X+（/7-l）1…X
11・・・X
x-1
1+X
1
1
1
1
1+2
1
1
1
1
1+2
1
1
1
1
1+2
=0的根.
1
2
2
…2
-1
0
0•…
0
-1
0
0…
0
2
2
2
…2
2
2
2…
2
0
2
2---
2
2
■
■
2
•
•
3
■
■
…2
•
■
=
0
0
1…
0
—
0
0
1---
0
•
2
•
2
■
2
■
•…n
0
0
0•…
n-2
0
0
0…
n-2
把第2行乘以（-1）分别加至其余各行,
再把第1行乘以2加至第2行，得
=—2・（〃_2）!
；
解第1行乘以（-1）加到第234行，得如下行列式:
1+x
-2
-2
-2
1
2
0
0
1
0
2
0
1
0
0
2
再将上述行列式的第2,3,4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.
4+2
0
0
0
1
2
0
0
1
0
0
2
=久？
（兄+4）,
即可求出根：
2=0n!
U=-4.
补充练习
5%
2%«21
-3%
^21-«31
2.己知行列式
a2la22
=2
求行列式
2。
归a22
-3al2
久22_^32
^31°32
2务3。
23
-3即冬3一。
33
2a
iia
21-3©]
air
~a5L
5Q
21_3nil
a2l-a31
解
2d
12a：
»2~3坷2
^22
~ai2
=2
ai2（l
22-%
a22_a32
2a
13a
13-%
a25■
-偽3
耳3（1
23-%
冬3_厲3
_。
31
an
-3厲]
冬】—5
=2
a22a22
~Cl52
+2
-3铅
a22-—
a234
_°33
勺3
一3铅
a23~a33
的值.
«11«21
勺2a22
a2!
Cl22
+2
%
«21
a22
_。
31
_6/32
=—2
如
%
a12
®3
冬3
仙①3
g
_°33
a3i
角3
=2
§1.5行列式按行（列）展开
-204
1•求行列式502中元素5与2的代数余子式.
3-11
04
解元素5的代数余子式为A21=（-l）2+1=-4,
—11
-20
元素2的代数余子式为A3=（-l）2+33]=-2.
2.已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2,它们的余子式依次为2、1、4,求行列式的值.
解由行列式按行（列）展开定理，得
D=偽A+乐&2++丛3+碼A
=4x（-1）3+1x2+3x（-l）3+zx1+0x（-1严x（_1）+（-2）x（-1）3+4x4
=8-3+0+8=13.
3.求下列行列式的值
1
1
3
1
2
0
-1
2
3
1
-1
0
R1
1
:
2
0
-1
2
2
0
-4
-1
2
0
-6
-7
=1x（—1严
2
-1
2
2
-4
-1
2
-6
-7
5+（—l）q
C3+（-l）q
2
-1
2
=-24;
（3）所求行列式为四阶范德蒙行列式,
由范德蒙行列式的展开公式,
1
1
1
1
1
2
4
8
1
-2
4
-8
X
y
X"
3
=（2—1）（-2-1）（-2-2）（x-1）（—2）[x-（-2）]
=12（x-l）（x-2）（x+2）.
1
0
k-\
0
0
0
0
k-\20
=lx（-l）1+1
0k3
03k
3
0
2
0
0
3
k
=伙一1）伙一3）伙+3）,
所以，当kJ且且k^-3时,
1
1
0
0
0
2
k
3
5.计算"阶行列式
（3）按第1列展开，得
1
0
0
…0
0
1
2
1
...0
0
0
■
1
■
2
•
0
♦•
0
■
0
0
0
2
1
0
0
0
…1
2
2=2（-1）*St+（-1尸
上式右端的行列式再按第一行展开，得
6=2氏7-入,
移项，得
递推，得Dn-入=入―=D“—
从而得
以=以7+1,D”_l=Dn_2+1,…，2=£）]+1,
把上面个等式相加，得
Dn=D{+n-\=2+n-l=n+\.
7.设四阶行列式
a
c
b
b
c
d
d
a
D=
4
d
b
c
a
a
b
d
c
试求九+绻+码+芻的值,其中釦（心1，2,3,4）为行列式Q的第4列第i行的元素的代数余子式.
解根据行列式按行（列）展开定理的推论，有
a12^14+。
22Am+。
3“34+^42^44=6
即M14+bA24+M34+bA44=b（&4+A24+A34+A44）=0,
A4+£+£+Ah=°・
§1.6
行列式的应用
1.用克莱姆法则解线性方程组
2片+x2-x3+x4=1,x1+2x2-x3+x4=2,x2+2x3+3x4=3,xk+x2
（3）
解:
2
1
0
1
1
2
1
1
-1
1
1
1
-1
-1
2
1
-1-3
1
=（—1严
1-2
1
12
3
1
1
3
0
-3
-2
2
1
=-18^0.
1
1
-1
1
2
1
-1
1
2
2
-1
1
=—1&
d2=
1
2
-1
1
3
1
2
3
Z
0
3
2
3
5
1
1
0
1
一
3
1
0
2
1
1
1
2
1
-1
1
1
2
2
1
=-36.
D=
1
2
-1
2
0
1
3
3
7
4
0
1
2
3
1
1
5
0
1
1
1
5
所以方程组有唯一解.又
=-36,
=18,
所以方程组的解为
口=斗,
1D-18
3D-18
'4,
-D-18心亠一].
D-18
2.2满足什么条件时，线性方程组
Axl+x2-x3=L
X]-3x2+x3=2,
几兀-x2+3x3=1,
有唯一解？
解由克莱姆法则知，当系数行列式DhO,线性方程组有唯一解,
当£>工0时，
-2（52+1）^0,即当时，题设的线性方程组有唯一解.
3.当k为何值时，齐次线性方程组
2兀+kx2-£=°、
vkxA-x2+X3=0、
4xx+5x2-5・口=0,
有非零解？
解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0=0,
45
卜+2
k_l
-1
0
0
1=（-1）2+3
0
k+2
5R+4
k-1
0
=伙_l）（5k+4）,
4
由£）=0得：
k=\,k=-§.
4.a和0为何值时，齐次线性方程组
ctxl+x2+x3=0,
x^+2flx2+£=0,
有非零解?
解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式£）=0,
a1
D=10
120
0-1
20—1
=0（15
由£>=0得：
0=0或a=l.即当0=0或a=l时，方程组有非零解.
5・求二次多项式f（x）=ax2+bx+c9使得/
（1）=-2,/（-1）=10,/⑵=-5・解由/
（1）=一2,/（-1）=10,/
（2）=-5,得
ci+b+c=-2,
va-b+c=10.
4a+2b+c=-5・
要求二次多项式需要求出系数a,b.c,即要求出上述非齐次线性方程组的解.由其系数行列式
111
D=1-11=6工0,
421
所以可用克莱姆法则求解•由于
-2
1
1
1-2
1
1
1
-2
D严
10
-1
1
=6,
d2=
110
1
=-迢
2=
1
-1
10
=18,
-5
2
1
4-5
1
4
2
-5
从而
a=
hi,
D
b』
D
=-6,c=
J.
D
即所求的二次多项式为f（x）=x2-6x+3.
补充练习
2.系数,ai2,ai5,af4（z=1,2,3,4）满足什么条件时,四个平面atlx+ai2y+anZ+ai4=0Q=l,2,3,4）相交于一点（心，凡，為）?
解把平面方程写成如下形式
adx+ai2y+ai3z+cii4t=0,（r=1,j=l,2,3,4）,
于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组
cinx+any+anz+cij=0,
a2lx+a22y+a2Zz+a24t=0,
cinx+aZ2y++a^t=0,
a4ix+a42y+a4Zz+aj=0,
有一非零解（兀，儿，乙。
，1）.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式D=0,即四个平面相交于一点的条件为
anan知Cli4
3.设平面曲线y=d通过点（1,0）,（2,-2）,（3,2）,（4,18）,求
系数a,b心d.
解由平面曲线通过点（1,0）,（2,-2）,（3,2）,（4,18）,得
a+b+c+d=O,
8a+4Z?
+2c+d=-2,
27a+9b+3c+d=2,
64a+16b+4c+d=1&
我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数a、b心d.
111
842
D=
2793
1
1=12,
1
1
0
-2
1
4
1
2
1
1
D=
=12,
1
2
9
3
1
18
16
4
1
又
1
1
8
0
-2
1
2
1
1
r=
=—36,
2
27
2
3
1
64
18
4
1
1
0
1
4
-2
1
=0,
9
2
1
16
18
1
8
27
64
1
8
1
4
1
2
0
-2
D=
=24,
4
27
9
3
2
✓
64
16
4
18
从而
D
D
D
64164
第二章矩阵
学习要求
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质：
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幕与方阵的多项式的性质；
3.理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。
理解伴随矩阵的概念，掌握通过伴随矩阵求町逆矩阵的方法；
4.知道分块矩阵的概念及其运算规律：
5.了解矩阵等价的概念，掌握矩阵的初等变换，并能用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形.掌握用初等变换求逆矩阵和矩阵方程.理解初等矩阵的定义及其理论；
6.理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的相关性质，并能用初等变换求矩阵的秩；
§2.1矩阵的概念
2.图2.1表示了b省三个城市人、乞、厲和。
省三个城市cPq、q相互间高等级道路的通路情况•试用矩阵表示心省和c省之间的通路情况.
解
图2.1中两省的城市相互间的通路情况可以用矩阵表示，规定矩阵元素
°=J1,城市j与城市/之间有通路
勺=[0,城市i与城市J之间没有通路
由上规定，
b省和c省之间的城市通路情况可用下列形式表示：
c.C、C,.、
）・，（110、
切110
c,,,记为矩阵4=011・
k011
1011
$101'7
补充练习
1•图2・2表示某物质在四个单位之间的转移路线•设
1,物质在单位，和单位丿之间有转移
0,物质在单位i和单位丿•之间没有转移
试用矩阵表示该物质在这四个单位之间的转移路线.
解图2.2中物质在四个单位间的转移情况可用一个
4x4矩阵表示：
<0
1
1
0、
4=
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
12
图2.2
儿=呂
1.若有线性变换＞?
2=,试写出该线性变换的矩阵.
解该线性替换的矩阵为〃阶单位矩阵：
（11
E=
n・
■
‘1
3・某一城市在2000年的城市和郊区人I
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