充分条件必要条件充要条件高中数学知识点讲解含答案.docx
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充分条件必要条件充要条件高中数学知识点讲解含答案
充分条件、必要条件、充要条件（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共7小题）
1．（2020•顺义区二模）已知a，b，cR，在下列条件中，使得ab成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
abac2bc211
33a2b2
ab
2．（2019秋•西城区期末）设aR，bR．则“ab”是“|a||b|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2019秋•海淀区期末）已知，，则“”是“”的（ ）
abRaba1
b
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
xy
22
4．（2020•东城区模拟）已知曲线的方程为1，则“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
C
ab
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2020•房山区一模）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，SS”的
{a}d
Snd0nN*
nnn1n
（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2020•延庆区一模）已知直线，，平面，，，，，那么“”是“”的
abIba//aba
（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2020•怀柔区模拟）已知|a|1，则“a（ab）”是“agb1”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
二．填空题（共7小题）
8．（2016秋•石景山区期末）有以下4个条件：
①ab；②|a||b|；③a与b的方向相反；④a与b都是单位向
量．其中a//b的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．
x1
9．（2017秋•海淀区校级期中）设集合A{x|0}，{||1|}，则“”是“”的 ．
Bxxaa1AIB
x1
第1页（共9页）
10．（2016•房山区二模）已知p:
xm，q:
1„x„3，若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
xy
11．（2016春•北京校级月考）“3a1”是“方程表示椭圆”的 条件．
a31a
22
1
12．（2016秋•海淀区校级期中）直线a的一个方向向量为a，直线b的一个方向向量为b，则命题“a,b60”
是命题“直线与直线所成的角为”的 ．（填写所有正确结论序号）
ab60
①充分条件
②必要条件
③不充分条件
④不必要条件
xy
22
13．（2015秋•海淀区校级期中）已知曲线，则“4„k5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”
C:
1
k53k
的 条件．
14．（2015秋•西城区校级期中）已知p：
不等式ax22ax10的解集为R；q:
0a1．则p是q （充分，
必要，充要）条件．
三．解答题（共1小题）
15．（2018春•西城区校级期末）已知条件p:
xA{x|x2x3„0，xR}，
2
条件:
{|240，，．
qxBxx2mxm2„xRmR}
AIB3]m
（1）若[0，，求实数的值；
（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
第2页（共9页）
充分条件、必要条件、充要条件（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2020•顺义区二模）已知a，b，cR，在下列条件中，使得ab成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
abac2bc211
33
a2b2
ab
【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：
对于:
是充要条件；
Aa3b3ab
对于：
若，得，则，反之不成立，即是成立的充分不必要条件，；
Bac2bc2c0abBab
对于与互相推不出是既不充分也不必要条件．
Cab11
:
ab
对于D:
ab与a2b2互相推不出是既不充分也不必要条件．
故选：
B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题．
2．（2019秋•西城区期末）设，．则“”是“”的
aRbRab|a||b|（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】可以带入特殊值讨论充要性．
【解答】解：
若，取，，则，则“”是“”不充分条件；
aba1b2|a||b|ab|a||b|
若，取，，则，则“”是‘”不必要条件；
|a||b|a2b1ab|a||b|ab
则，．“”是“”的既不充分也不必要条件，
aRbRab|a||b|
故选：
D．
【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．
3．（2019秋•海淀区期末）已知，，则“”是“”的（ ）
abRaba1
b
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
a
【分析】1ab0，或0ab．即可判断出结论．
b
a
【解答】解：
1ab0，或0ab．
b
第3页（共9页）
aba1
“”是“”的既不充分也不必要条件．
b
故选：
D．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
xy
C1
ab
22
4．（2020•东城区模拟）已知曲线的方程为，则“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：
若ab0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，
若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足ab0，即a0，b0，满足ab，即必要性成立，
即“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故选：
B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特点求出a，b的关系是解决本题的关键．比较
基础．
5．（2020•房山区一模）设{}是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，SS”的
ad
Snd0nN*
nnn1n
（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】“，”10．“”与“，”是否推出，与的取值（正负）有
nNSSa
*d0nN*
a10an1nnn1
关系．
【解答】解：
“nN，”．
SSa10
*
n1nn
“”与“，10”相互推不出，与的取值（正负）有关系，
dnN*a
0a
n1
d0nN*SS
“”是“，”的既不充分也不必要条件．
n1n
故选：
D．
【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
6．（2020•延庆区一模）已知直线，，平面，，，，，那么“”是“”的
abIba//aba
（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
第4页（共9页）
【分析】过直线作平面，交平面于直线，，，，由可推出，由
aaQa//a//aaba
可推出，故“”是“”的充要条件．
aa
【解答】解：
若，
过直线作平面，交平面于直线，，，
aaQa//a//a
又，，
aa
又，，
Qa
若，
过直线作平面，交平面于直线，，，
aaQa//a//a
Qab
ab，，
又，，
QIb
aa
，，
故“”是“”的充要条件，
a
故选：
C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
7．（2020•怀柔区模拟）已知，则“”是“”的
|a|1a（ab）agb1（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【分析】，由，可得，化简即可判断出关系．
:
|a|1a（ab）ag（ab）0
【解答】解：
，由，，．反之也成立．
|a|1a（ab）ag（ab）a2agb1agb0agb1
a（ab）agb1
“”是“”的充要条件．
故选：
C．
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共7小题）
8．（2016秋•石景山区期末）有以下4个条件：
①ab；②|a||b|；③a与b的方向相反；④a与b都是单位向
量．其中a//b的充分不必要条件有 ①③ ．（填正确的序号）．
【分析】根据共线向量的定义判断即可．
第5页（共9页）
【解答】解：
若①；则，但反之不一定成立，
aba//b
若③a与b的方向相反；则a//b，但反之不一定成立，
由此知①③为a//b的充分不必要条件；
故答案为：
①③．
【点评】本题考查平行向量与共线向量，解题的关键是熟练掌握理解共线向量的定义以及相反向量的定义，结合向
量的数乘，进行判断；本题还考查的知识点是充要条件的定义，根据充要条件的定义，先判断，再判断
pqqp
的真假，再得到结论．
x1
9．（2017秋•海淀区校级期中）设集合A{x|0}，{||1|}，则“”是“”的 充分
Bxxaa1AIB
x1
不必要条件 ．
【分析】根据不等式的性质求出集合，的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
AB
x1
【解答】解：
A{x|0}{x|1x1}，
x1
若a1，则B{x||x1|1}{x|1x11}{x|0x2}，
AIBxxAIB
则}{|01}，满足，即充分性成立，
AIBBa0
若，则，即，
则，
B{x||x1|a}{x|ax1a}{x|1ax1a}
则当2时，，满足”，但不成立，即必要性不成立，
aB{x|1x3}AIBa1
故“1”是“”的充分不必要条件，
aAIB
故答案为：
充分不必要条件
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质求出集合A，B的等价条件是解决本题的关
键．
10．（2016•房山区二模）已知p:
xm，q:
1„x„3，若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是
（3,）
．
【分析】p是q的必要而不充分条件，可得：
q是p的充分而不必要条件，即可得出．
【解答】解：
Qp:
xm，q:
1„x„3，若p是q的必要而不充分条件，
q是p的充分而不必要条件，
3m
．
故答案为：
．
（3,）
第6页（共9页）
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
xy
11．（2016春•北京校级月考）“3a1”是“方程1表示椭圆”的 必要不充分 条件．
a31a
22
【分析】根据椭圆的定义结合集合的包含关系判断即可．
xy
22
【解答】解：
方程表示椭圆，
Q1
a31a
a30
10
a
a31a
，解得：
（3，，，
a1）（11）
xy
22
故“”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件，
3a1
a31a
故答案为：
必要不充分．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．
12．（2016秋•海淀区校级期中）直线a的一个方向向量为a，直线b的一个方向向量为b，则命题“a,b60”
是命题“直线与直线所成的角为”的 ①④ ．（填写所有正确结论序号）
ab60
①充分条件
②必要条件
③不充分条件
④不必要条件
【分析】命题“a,b60”命题“直线与直线所成的角为”，反之不成立．即可判断出关系．
ab60
【解答】解：
命题“a,b60”命题“直线与直线所成的角为”，反之不成立．
ab60
因此：
命题“a,b60”是命题“直线a与直线b所成的角为60”的充分不必要条件．
故选：
①④．
故答案为：
①④．
【点评】本题考查了直线的夹角与向量的夹角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
xy
22
13．（2015秋•海淀区校级期中）已知曲线C:
1，则“”是“曲线表示焦点在轴上的椭圆”
k53k
4„k5Cy
的 必要不充分 条件．
【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是求出
xy
22
1表示焦点在y轴上的椭圆时，k满足的条件．
k53k
xyxy
11
k53k5kk3
2222
【解答】解：
将化为标准形式，得．若表示焦点在y轴上的椭圆，则应
k35k0，即4k5，
第7页（共9页）
因此若，曲线不一定表示焦点在轴上的椭圆，反之成立．
4„k5Cy
故答案为：
必要不充分．
【点评】本题考查充要条件的判断，椭圆的标准方程的形式，需要注意其方程的形式与焦点位置的关系．
14．（2015秋•西城区校级期中）已知p：
不等式ax22ax10的解集为R；q:
0a1．则p是q 必要 （充
分，必要，充要）条件．
【分析】结合二次函数的性质求出a的范围，再由集合的包含关系判断即可．
【解答】解：
若不等式的解集为，
ax22ax10R
a0时：
10，成立，
a0时：
△4a24a0，解得：
0a1，
综上，p:
0„a1；q:
0a1，
故答案为：
必要．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．
三．解答题（共1小题）
15．（2018春•西城区校级期末）已知条件，，
p:
xA{x|x2x3„0xR}
2
条件，，．
qxBxxmxm„xRmR}
:
{|240
22
AIB3]m
（1）若[0，，求实数的值；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
pqm
m20
【分析】
（1）根据条件:
[1，，条件，，，，可得，解得
pxA3]q:
xB[m2m2]AIB[03]
m2…3
m．
（2）先求出q:
B{x|xm2，或，根据，可得或，即可得出．
ðmm2}pq3m2m21
R
【解答】解：
（1），，，，，
A{x|1„x„3xR}B{x|m2„x„m2xRmR}
QI3]
AB[0
，，
m
20
m…
23
，
m2
．
（2）Q是q的必要条件，p是q的充分条件
p
又QA{x|1„x„3，xR}，q表示的范围用集合C表示，则C{x|xm2或xm2}，
第8页（共9页）
AC，则m21或m23，解得m3，或m5．
所以实数的取值范围是，或．
m{m|m3m5}
【点评】本题考查了不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
第9页（共9页）
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