第十一章波动光学练习题.docx
《第十一章波动光学练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章波动光学练习题.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第十一章波动光学练习题
11-1钠黄光波长为589.3mm,试以一次延续时间10^计，计算一个波列中的完整波的个数。
Nf107T510
λ589.3
11-2在杨氏双缝实验中，当做如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？
（要说明理由）
（1）使两缝之间的距离逐渐减小；
（2）保持双缝的间距不变，使双缝与屏幕的距离逐渐减小；
（3）如图11.3所示，把双缝中的一条狭缝遮住，并在两缝的垂直平分线上放置一块平面反射镜。
解
（1）由条纹间距公式=X=D■,在D和’不变的情况下，减小d可使二X增大，条
d
纹间距变宽。
（2）同理，若d和，保持不变，减小D，X变小，条纹变密，到一定程度时条纹将难以分辨。
（3）此装置同洛埃镜实验，由于反射光有半波损失，所以
Dλ
X明=2^1—-
X暗=kD.
暗d
与杨氏双缝的干涉条纹相比，其明暗条纹分布的状况恰好相反，且相干的区域仅在中心轴线上方的一部分。
11-3洛埃镜干涉装置如图11.4所示，光源波长兔-7.210^m,试求镜的右边缘到第一
条明纹的距离。
解因为镜右边缘是暗纹中心，它到第一明条纹的距离h应为半个条纹间隔，
1D12030MJ
h7.210=4.510Cm
2d20.4
11-4由汞弧灯发出的光，通过一绿光滤光片后，照射到相距为0.6Omm的双缝上，在距
双缝2.5m远处的屏幕上出现干涉条纹。
现测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm,求入
射光的波长
解有公式=X=D■得
d
11-5在双缝装置中，用一很薄的云母片（n=1.58）覆盖其中的一条狭缝，这时屏幕上的第七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明条纹的位置。
如果入射光的波长为550mm,则这云
母片的厚度应为多少？
解设云母片的厚度为二=ne-e=n-1e=7∙,根据题意，插入云母片而引起的光程差
e二
n—1
755010=6.610卫m
1.58—1
b=0.25mm,光源至双孔的距离为R=20cm,所
d；
（2）试求当双孔间距为
3）为能观察到干涉条纹，光源至少
11-6在杨氏干涉装置中，光源宽度为
用光波波长为546nm。
（1）试求双孔处的横向相干宽度
d"=0.50mm时，在观察屏幕上能否看到干涉条纹？
（应再移动多少距离？
D
解
（1）由公式b得
d
201054610^6C-
0.25
0.44mm
（3）
11-7
DR=R-R=23-20=3Cm
在杨氏实验装置中，采用加有蓝绿色滤光片的白色光源，其波长范围为，⅛-10Onm，
平均波长为’=490nm。
试估计从第几级开始，条纹将变得无法分辨？
解设蓝绿光的波长范围为’1-咒2,则按题意有
■2-'；1-「^10Onm
12I490nm
相应于'1和’2,杨氏干涉条纹中k级极大的位置分别为
X^-k■■1,X^-k∙,'2
dd
因此，k级干涉条纹所占据的宽度为
ID^ID.ID
x2_X|=k2_k1=k-,ddd
显然，当此宽度大于或等于相应与平均波长•的条纹间距时，干涉条纹变得模糊不清，这个
条件可以表达为
kD—D，
dd
k——=4.9∆λ
所以，从第五级开始，干涉条纹变得无法分辨。
11-8
（1）在白色的照射下，我们通常可看到呈彩色花纹的肥皂膜和肥皂泡，并且当发
现有黑色斑纹出现时，就预示着泡沫即将破裂，试解释这一现象。
（2）在单色照射下观察牛顿环的装置中，如果在垂直于平板的方向上移动平凸透镜，那
么，当透镜离开或接近平板时，牛顿环将发生什么变化？
为什么？
解
（1）肥皂泡沫是由肥皂水形成的厚度一般并不均匀的薄膜，在单色光照射下便可产生等厚干涉花纹。
用白光照射可产生彩色的干涉花纹。
设泡沫上的黑斑这一局部区域可近似看作是厚度e均匀的薄膜，由于它的两表面均与空气
相接触，因此在薄膜干涉的反射光相消条件中须计入半波损失，其为
.,99/uZ∣i,
2e.n2-Sin2i?
=2k1?
k=0,1,2,3,……
式中，为入射光的波长，i为光线的入射角。
挡在白光照射下观察到黑斑这一现象，说明对于任何波长的可见光在该处均产生干涉相消，于是由上面的公式可见，此时惟有k=0,厚度
e>0时，才能成立。
因而黑斑的出现即使肥皂沫先破裂的先兆。
（2）在牛顿环装置中，若平凸透镜球面与平板玻璃相接触，空气膜上下表面反射光之间的
光程差
Pλ
、=2e—
2
式中e是空气薄膜厚度，离中心不同的地方，e的大小不同。
将平凸透镜垂直于平板方向向
上移动一距离h,则各处的空气层厚度均增加同一量值2h,为
_λ
=2eh—
因此，各处的干涉条纹的级数。
每当h增加一时，干涉条纹向内收缩，明与暗之间交替变
4
化一次。
而每当h增加一，干涉条纹有变得与原来相同（仅是干涉条纹的级数k增加1）。
2
所以，当透镜离开（或接近）平板时，牛顿环发生收缩（或扩张），各处将整体同步地发生
明、暗的交替变化，而在指定的圆环范围内，包含的条纹数目则是始终不变的。
11-9波长范围为400nm-700nm的白光垂直入射在肥皂膜上，膜的厚度为550nm,折射率为
1.35。
试问在反射光中哪些波长的光干涉增强？
那些波长的光干涉相消？
解垂直入射是，考虑到半波损失，反射干涉光的光程差为
ελ
-二2ne—
2
当2nekrk=1,2,3,…时，干涉相长，
2
当k=3时，=594nm,当k=4时，=424nm
当2ne（2k1）,k=0,1,2,3,…时，干涉相消,
22
2ne
■=—
k
取k=3√=495nm。
11-10在棱镜n=1.52表面涂一层增透膜，为使此增透膜n2=1.30适用于550m波长的
光，膜的厚度应取何值？
解设垂直入射于增透膜上，根据题意:
（1）
2n2e=k,k=0,1,2,,…
22
膜厚
（X1AJλ
e=kI2丿2n2
令k=O,可得增透膜的最薄厚度为
efmin=105.8nm
11-11有一楔形薄膜，折射率n-1.4,楔角V-10^rad,在某一单色光的垂直照射下,
可测得两相邻明条纹之间的距离为0.25cm,试求：
（1）此单色光在真空中的波长；
（2）如果薄膜长为3.5cm,总共可出现多少条明条纹？
解
（1）由楔形薄膜的干涉条件得两相邻明条纹间距：
X2n
Sin日2nθ
■=2nn•■x
以n-1^-10^radr^-0.2510，m代入上式得
■=0.710^6m=700nm
（2）在长为3.510^m的楔形膜上，明条纹总数为
m14条
ZV‘
11-12图11.5为一干涉膨胀仪的示意图，AB与AB•二平面玻璃板之间放一热膨胀系数极
小的熔石英环柱CC•,被测样品W置于该环柱内，样品的上表面与AB板的下表面形成一
楔形空气层，若以波长为■的单色光垂直射于此空气层，就产生等厚干涉条纹。
设在温度
为t。
C时，测得样品的长度为L。
；温度升高到时t。
C,测得样品的长度为L.并且在这过
程中，数得通过视场中某一刻线的干涉条纹数目为N,设环柱CC的长度变化可以忽略不计，
求证：
被测样品材料的热膨胀系数1为
解该装置中AB平板玻璃与样品W表面中间所夹的是一楔形空气薄膜，在等厚干涉条
纹中，设在温度t0时，某一刻线所在位置对应于第k级暗条纹，此处楔形空气层的厚度为ek
满足
ek=kc
2
温度升高到时，由于样品W的长度发生膨胀，有N条干涉条纹通过此刻线，则对应该刻线
处干涉条纹级数变为k-N,于是楔形空气层厚度变为
λ
ej=k—N-
依照题意，忽略石英环的膨胀，则该处空气层厚度的减少为
λ
-L=L-L^ek-e^=N
2
由膨胀系数的定义得
L-LQ1_N
LQt-to2Lqt-tQ
11-13利用楔形空气薄膜的等厚干涉条纹，可以测量经精密加工后工件表面上极小纹路的深度。
如图11.6,在工件表面上放一平板玻璃，使期间形成楔形空气薄膜，以单色光垂直照射玻璃表面，用显微镜观察干涉条纹，由于工件表面不平，观察到的条纹如图所示，试根据条纹弯曲的方向，说明工件表面上纹路是凹的还是凸的？
并证明纹路深度可用下式表示:
其中a,b如图所示。
解纹路是凹的，因工件表面有凹纹，故各级等厚线的相应部分向楔形膜顶端移动。
两相邻暗纹间距离为b,对应高度差为一，则有
2
bsinJ
2
当条纹移动距离为a是，对应高度差H（即纹路深度）为
a
H=asι
b2
个暗环与用’2时的第k+1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm,求用时第k个暗环
的半径∙
（2）若在牛顿环中波长为500nm的光的第5个明环与波长为的光的第6个明环重合，
求波长,o
解
（1）牛顿环中k级暗条纹半径
rk=、kR
依照题意，当'1光的k级暗条纹与’2光的第k1级暗条纹在r处重合是满足
r~■kR,1
rk1R2
由
（1）、
（2）式解得
（3）式代入
（1）式得
k2=6级的明环
（2）用波长∙1=500nm的光照射，kl=5级的明环与用波长的光照射时,
重合，则有关系式
（2k1—1）Rh1（2k2—1）R扎
ICr2_\2
所以，，=—1—5—500=409.1nm
2k2-12^6-1
11-15在图11.7所示的装置中，平面玻璃板是由两部分组成的（冕牌玻璃和火石玻璃），透
镜是用冕牌玻璃制成，而透镜与玻璃板之间的空间充满着二硫华碳，试问由此而成的牛顿
环的花样如何？
为什么？
解由于火石玻璃的折射率大于二硫化碳的折射率，而二硫化碳的折射率大于冕牌玻璃，当
光波由冕牌玻璃射向二硫化碳，以及由二硫化碳射向火石玻璃时，都有"半波损失”，上、
下表面反射没有额外程差一，而光波由二硫化碳射向冕牌玻璃时没有半波损失，因此在右
2
半边上下表面反射有额外程差，所以此扭动环的花样有以下特点：
（1）在牛顿环中心，火石
玻璃一侧外为亮斑，冕牌玻璃一侧处为暗斑，
（2）火石玻璃处，由中心向外为亮斑、暗斑、
亮环交替变化；冕牌玻璃处由中心向外为暗斑、亮环、暗环交替变化。
（3）同一半径的圆环，
一半亮一半暗。
第k级条纹的半径为
式中n是二硫化碳的折射率。
在冕牌玻璃上方为暗条纹位置，在火石玻璃上方为亮条纹位置。
11-16用波长为589nm的钠黄光观察牛顿环。
在透镜与平板接触良好的情况下，测得第20
个暗环的直径为0.687cm。
当透镜向上移动5.0010^Gm时，同一级暗环的直径变为多少？
解透镜与平板接触良好的情况下，暗半径rkR',由已知条件可得
2
2
=1.0010Cm
0.687
2058910^22
当透镜向上移动5.0010"ICm时，暗环半径
r'=dk'∙-25.0010^R=Jj2058910’一25.0010^1.001°2=°.133cm
11-17一块玻璃上滴一油滴，当油滴展开成油膜时，在波长■=600nm的单色光垂直入射下，从反射光中观察油膜所形成的干涉条纹，已知玻璃的折射率为n1=1.50,油膜的折射
率为n2=1.20,问:
（1）当油膜中心最高点与玻璃片上表面相距1200nm时，可看到几条明条纹？
明条纹所在
处的油膜厚度为多少？
中心点的明暗程度如何？
（2）当油膜继续摊展时，所看到的条纹情况将如何变化？
中心点的情况如何变化？
解
（1）在空气一油以及油一玻璃反射界面上均有“半波损失”，因此明条纹处必满足
k■
e,k=0,1,2,…
2n2
式中e为油膜厚度。
当
k=0,e）=0;k=1,e=250nm;k=2,e?
=500nm;k=3,q=750nm;k=4,e⅜=1000nmk=5,∈5=1250nm
。
当e=h=1200nm时，可看到5条明条纹（k=0,1,2,…）。
各级明条纹所在处的油膜厚度如前所示，中心点的明暗程度介于明条纹与暗条纹之间。
（2）此时油膜半径扩大，油膜厚度减小；条纹级数减少，间距增大；中心点由半明半暗向
暗、明依次变化，直至整个油膜呈现一片明亮区域。
11-18
（1）迈克耳孙干涉仪可用来测量单色光的波长，当M2移动距离Ad=0.3220mm时,
测得某单色光的干涉条纹条移过=N=1024,试求该单色光的波长。
（2）在迈克耳孙干涉仪的M2镜前，当插入一薄玻璃片时，可观察到有150条干涉条纹
向一方移过，若玻璃片的折射率n=1.632,所用的单色光的波长’=500nm,试求玻璃片的厚度。
△Nλ
解
（1）由Ad得
■=2—=20.3220106.29810^m=628.9nm
∆N1024
2n-1d=N■
所以
11-19利用迈克耳孙干涉仪进行长度的精密测量，光源是镉的红色谱线，波长为643.8nm,
谱线宽度为1.010”nm,试问一次测量长度的量程是多少？
如果使用波长为631.8nm,谱
线宽度为1.010-nm的氦氖激光，则一次测量长度的量程又是多少?
2
解发生相干的最大光程差
“=—,测量的长度
643.82
L镉2
2>d.0>d0
6322
激一21.010,
∆λ
8*Δ
=2.07210nm[=2.07210m
=2.002108nm]=2.00210jm
11-20
（1）在单缝衍射中，为什么衍射角'愈大（级数愈大）的那些明条纹的亮度就愈小？
（2）在单缝的夫琅和费衍射中，增大波长与增大缝宽对衍射图样分别产生什么影响？
解
（1）衍射角'愈大，则dsin'可分成的半波带数目越多，而每一半波带的面积以及相
应的光能量越小。
因为每一明条纹都是由相消后留下的一个半波带所形成，因此它的亮度就
越小了。
（2）衍射中央明纹半衍射角宽度的正弦满足：
Sin—
2a
k级暗条纹衍射角的正弦满足：
Sink=k一
a
由此可见，增大波长，中央明条纹变宽，各级条纹变疏；增加缝宽，则中央条纹变窄，各级条纹变密。
11-21波长为500nm的平行光线垂直地入射到一宽为1mm的狭缝，若在缝的后面有一焦
距为100cm的薄透镜，使光线聚焦于一屏幕上，试问从衍射图样的中心点到以下点的距离如何：
（1）第一级暗纹中心；
（2）第一级明纹中心；（3）第三级暗纹中心。
解
（1）单缝衍射各级极小的条件为
aSin=k,（k=1,2,…）
衍射图形的第一级极小，可令k=1求得
asinI八
它离中心点距离：
X^ftan1=fsin1=f=510*m
a
（2）第一级明条纹近似位置可由下两式求得
asin=1.5
x1=ftan
15/
X^fSin=f0.75mm
（3）第三级极小位置为
3
x3=f1.510-m
11-22有一单缝，宽a=0.10mm,在缝后放一焦距为50cm的会聚透镜，用波长为546nm的
平行绿光垂直照射单缝，求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹的宽度。
解中央明纹角宽度满足公式：
-■：
：
nasin■■■■■
空气中，n=1,f所以Sin'：
、tg，•,中央明条纹宽度为
：
x=2ftan=2f—=5.510j3ma
11-23一单色平行光垂直入射一单缝，其衍射第三级明纹中心恰与波长与垂直入射该缝时的第二级明纹中心重合，试求该单色光波长。
600nm的单色光
解设该单色光波长为，根据题意,
2313=221600
所以
■:
429nm
11-24如图11.8所示，设有一波长为■的单色平行光沿着与缝平面的法线成'■角的方向入
射到宽度为a的单狭缝AB上，试求出决定各极小值（即各暗条纹中心）的衍射L的条件。
解1、2两光的光程差在如图11.8情况下为
因此，极小值条件为
asin-asin=aSin-Sin'
asin「-Sin=k,k=1,2,…
CP=Sin」'土+sin屮
IaJ
11-25当入射角波长满足光栅方程dsin'=-k∙,k=0,1,2,…时，两相邻的狭缝沿••角所射
出的光线能够互相加强，试问：
（1）当满足光栅方程时，任意两个狭缝沿角射出的光线能否互相加强？
（2）在方程中，当k=2时，第一条缝与第二条缝沿••角射出的光线的光程差是多少？
第一
条缝与第N条缝的光程差又是多少？
解
（1）能够互相加强，因任意两狭缝沿••角的衍射光线的光程差是波长的整数倍。
（2）当k=2时，第一条缝与第二条缝沿••角射出的光线在屏上会聚时，两者的光程差
、=2,而第一条缝与第N条缝的光程差：
=2N-1■
11-26波长为600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明条纹出现在Sin=0.20处,
第四级缺级，试问：
（1）光栅上相邻两缝的间距是多少？
（2）光栅上狭缝的最小宽度有多
大？
（3）按上述选定的a,b值，在一90：
：
：
■：
：
：
90范围内，实际呈现的全部级数。
解
（1）光栅的明条纹的条件是：
absin=k
对应于Sin1=0.20处满足：
0.20ab[=260010”
可得光栅相邻两缝间的距离（a+b）=6.0>d0°cm
（2）由于第四级衍射条纹缺级，即第四级干涉明条纹落在单缝衍射暗条纹上，因此须满足方程组：
abSin=4-
asin=2k—
I2
解得
a=10*k
4
取k'1,得光栅上狭缝的最小宽度为1.510Cm
（3）由absin=k，
I（a+bJsinΨk—
^°⅛10
60010
所以在-90：
：
：
<90范围内实际呈现的全部级数为k=0,_1,_2,_3,_5,_6,_7,_9级明
暗条纹。
（10时条纹在=90处）
11-27为了测量一个给定光栅的光栅常数，用氦氖激光器的红光垂直地照射光栅，做夫琅
和费衍射实验，已知第一级明条纹出现在38°的方向，问这光栅的光栅常数是多少？
1cm
内有多少条缝？
第二级明条纹出现在什么角度？
解由衍射光栅明纹公式：
IIa仆632.8>d0^,cc“4
ab1.0310^Cm
sin©Sin38=
1cm内缝的条数：
13
N41=9.71103
1.0310」
第二级明条纹不出现，
因为按公式应有
.k九2x632.8x10二
Sin41
a+b1.03>d0
这是不可能的。
11-28一双缝，缝间距d=0.10mm,缝宽a=0.02mm,用波长彊=480nm的平行单色光垂直入射该双缝，双缝后放一焦距为的透镜，试求：
（1）透镜焦平面处屏上干涉条纹的间距；
（2）单缝衍射中央亮纹的宽度；
（3）单缝衍射的中央包线内有多少条干涉的主极大。
解
（1）由光栅方程dSin■得
（2）中央亮纹宽度为
（3）由缺级公式k=dk■=010^=5k,取k"=1,得k=5说明第五级正好在单缝衍射
a0.20
第一暗纹处，因而缺级，则中央包线内有9条干涉主极大。
11-29图11.9中所示，入射X射线束不是黄色的，而是含有有从0.095nm到0.130nm这一
范围内的各种波长，晶体的晶格常数a0=0.275nm,试问对图示的晶面能否产生强反射？
解由布喇格公式：
2a0Sin=k,,得，=0'时满足干涉相长
k
当k=1时，，=0.39nm;k=2时，，=0.19;k=3时，，=0.13nm;k=4时，，=0.097nm
所以当波长在0.095一■-0.13nm范围内，有波长，1=0.13nm和波长,0.097nm的光
可以产生强反射。
11-30在圆孔的夫琅和费衍射中，设圆孔半径为0∙10mm,透镜焦距59cm,所用单色光
波长为50nm,求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径，如果圆孔半径改为1.0mm，
其他条件不变（包括入射光能流密度保持不变），爱里斑的半径变为多大？
解爱里斑半径：
1.221.2250010’
R=f∙J。
=f500.15Cm
D2x0.010
若孔径改为
1.0mm,则爱里斑半径：
R=f∙T10=f
空=50「225001°=0∙015Cm
D20.10
11-31在迎面驶来的汽车上，两盏灯相距120cm,试问汽车离人多远的地方，眼睛恰可分
辨这两盏灯？
设夜间人眼孔直径为5.0mm，入射光波长550nm。
（这里仅考虑人眼圆心
瞳孔的衍射效应）
解有人眼最小可分辨角为（在空气中）
-1.22—=1.22550101.3410°（rad）
a0.50
而丨∙r八X,所以眼睛恰巧分辨两盏灯的距离为
3
=8.9510m
1.20
_4
1.3410
11-32已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.8410^rad,它们都发出波长为
■=550nm的光，试问：
望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？
解由最小分辨角公式、■=1.22',得
d
λ550"0~7
d=1.22——=1.226=13.8Cm
δΨ4.84勺0
11-33一光源发射的红双线在波长
656.3nm处，两条谱线的波长差0.18nm,今
解根据光栅分辨率公式R=一=kN,令k=1,刻线总数最少为
有一光栅可以在第一级中把这两条谱线分辨出来，试求该光栅所需的最小刻线总数。
δλ
656.3
3647
0.18
11-34一光栅宽为6.0cm,每厘米有6000条刻线，问在第三级谱线中，对生=500nm处,
可分辨的最小波长间隔是多少？
Af∖j
解光栅刻线总数N=60006.0=3.610,由公式RkN,得
5003
4=4.610nm
kN33.6104
11-35将偏振化方向相互平行的两块偏振片M和N共轴平行放置，并在他们之间平行地插入另一块偏振片B，B与M的偏振化方向之间的夹角为,若用强度为I0的单色自然光垂
直入射到偏振片M上，并假定不计偏振片对光能量的吸收，试问透过检偏器N的出射光强
将如何随V角而变
升级会员 