第十一章波动光学练习题.docx

1、第十一章波动光学练习题11-1钠黄光波长为589.3mm ,试以一次延续时间10计，计算一个波列中的完整波的个数。Nf 107 T 5 10 5 8 9. 311-2在杨氏双缝实验中，当做如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？（要说明理由）（1） 使两缝之间的距离逐渐减小；（2） 保持双缝的间距不变，使双缝与屏幕的距离逐渐减小；（3） 如图11.3所示，把双缝中的一条狭缝遮住，并在两缝的垂直平分线上放置一块平面反 射镜。解 （1）由条纹间距公式 =X = D ,在D和不变的情况下，减小 d可使二X增大，条d纹间距变宽。（2） 同理，若d和，保持不变，减小 D， X变小，条纹变密，到一定程度时

2、条纹将难以 分辨。（3） 此装置同洛埃镜实验，由于反射光有半波损失，所以D X明=21 -X暗 =kD.暗 d与杨氏双缝的干涉条纹相比，其明暗条纹分布的状况恰好相反，且相干的区域仅在中心轴 线上方的一部分。11-3 洛埃镜干涉装置如图 11.4所示，光源波长兔-7.2 10m ,试求镜的右边缘到第一条明纹的距离。解 因为镜右边缘是暗纹中心，它到第一明条纹的距离 h应为半个条纹间隔，1 D 1 20 30 M Jh 7.2 10 =4.5 10 Cm2d 2 0.411-4 由汞弧灯发出的光，通过一绿光滤光片后，照射到相距为 0.6Omm的双缝上，在距双缝2.5m远处的屏幕上出现干涉条纹。现测得

3、相邻两明条纹中心的距离为 2.27mm ,求入射光的波长解有公式=X=D 得d11-5在双缝装置中，用一很薄的云母片（ n=1.58）覆盖其中的一条狭缝，这时屏幕上的第 七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明条纹的位置。如果入射光的波长为 550mm ,则这云母片的厚度应为多少？ 解 设云母片的厚度为二=ne-e= n- 1e = 7,根据题意，插入云母片而引起的光程差e 二n 17 550 10 = 6.6 10卫 m1.581b =0.25mm ,光源至双孔的距离为 R = 20cm ,所d ；（ 2）试求当双孔间距为3）为能观察到干涉条纹，光源至少11-6 在杨氏干涉装置中，光源宽度为用光波

4、波长为 546nm。（ 1）试求双孔处的横向相干宽度d=0.50mm时，在观察屏幕上能否看到干涉条纹？（ 应再移动多少距离？D解（1）由公式b 得d20 10 546 106 C-0.250.44 mm(3)11-7DR = R -R= 23 - 20 = 3 Cm在杨氏实验装置中，采用加有蓝绿色滤光片的白色光源， 其波长范围为， -10Onm，平均波长为=490nm。试估计从第几级开始，条纹将变得无法分辨？解 设蓝绿光的波长范围为 1 -咒2 ,则按题意有 2 - ；1 - 10Onm1 2 I 490 nm相应于1和2 ,杨氏干涉条纹中k级极大的位置分别为X- k 1, X- k ,2d

5、d因此，k级干涉条纹所占据的宽度为I D I D . I Dx2_X|=k 2_k 1=k -, d d d显然，当此宽度大于或等于相应与平均波长 的条纹间距时，干涉条纹变得模糊不清， 这个条件可以表达为kD D，d dk =4.9 所以，从第五级开始，干涉条纹变得无法分辨。11-8 （ 1）在白色的照射下，我们通常可看到呈彩色花纹的肥皂膜和肥皂泡，并且当发现有黑色斑纹出现时，就预示着泡沫即将破裂，试解释这一现象。（2）在单色照射下观察牛顿环的装置中，如果在垂直于平板的方向上移动平凸透镜，那么，当透镜离开或接近平板时，牛顿环将发生什么变化？为什么？解 （1）肥皂泡沫是由肥皂水形成的厚度一般并不

6、均匀的薄膜，在单色光照射下便可产生 等厚干涉花纹。用白光照射可产生彩色的干涉花纹。设泡沫上的黑斑这一局部区域可近似看作是厚度 e均匀的薄膜，由于它的两表面均与空气相接触，因此在薄膜干涉的反射光相消条件中须计入半波损失，其为., 9 9 /u Zi,2e. n2 -Sin2 i ?= 2k 1 ? ,k =0,1,2,3,式中，为入射光的波长，i为光线的入射角。挡在白光照射下观察到黑斑这一现象，说明对 于任何波长的可见光在该处均产生干涉相消，于是由上面的公式可见，此时惟有 k=0,厚度e 0时，才能成立。因而黑斑的出现即使肥皂沫先破裂的先兆。（2）在牛顿环装置中，若平凸透镜球面与平板玻璃相接触，

7、 空气膜上下表面反射光之间的光程差P 、=2e 2式中e是空气薄膜厚度，离中心不同的地方， e的大小不同。将平凸透镜垂直于平板方向向上移动一距离h ,则各处的空气层厚度均增加同一量值 2h,为_ =2 e h 因此，各处的干涉条纹的级数。每当 h增加一时，干涉条纹向内收缩，明与暗之间交替变4化一次。而每当h增加一，干涉条纹有变得与原来相同（仅是干涉条纹的级数 k增加1）。2所以，当透镜离开（或接近）平板时，牛顿环发生收缩（或扩张） ，各处将整体同步地发生明、暗的交替变化，而在指定的圆环范围内，包含的条纹数目则是始终不变的。11-9波长范围为400nm-700nm的白光垂直入射在肥皂膜上，膜的厚

8、度为 550nm ,折射率为1.35。试问在反射光中哪些波长的光干涉增强？那些波长的光干涉相消？解 垂直入射是，考虑到半波损失，反射干涉光的光程差为 -二 2ne 2当2ne krk=1,2,3,时，干涉相长，2当 k =3时，=594nm ,当 k = 4时，=424nm当2ne (2k 1) , k =0,1,2,3,时，干涉相消,2 22ne=k取 k =3 = 495nm。11-10在棱镜 n =1.52表面涂一层增透膜，为使此增透膜 n2 =1.30适用于550m波长的光，膜的厚度应取何值？解 设垂直入射于增透膜上，根据题意:(1 )2n2e = k ,k = 0,1,2,2 2膜厚

9、(X 1 AJ e = k I 2 丿2 n2令k = O ,可得增透膜的最薄厚度为efmin =105.8 nm11-11有一楔形薄膜，折射率 n -1.4 ,楔角V -10rad ,在某一单色光的垂直照射下,可测得两相邻明条纹之间的距离为 0.25cm ,试求：（1） 此单色光在真空中的波长 ；（2） 如果薄膜长为3.5cm ,总共可出现多少条明条纹？解 （1）由楔形薄膜的干涉条件得两相邻明条纹间距：X 2nSi n 日 2n = 2nn x以 n -1 -10 radr-0.25 10，m代入上式得 = 0.7 10 6m = 700nm（2）在长为3.5 10 m的楔形膜上，明条纹总数

10、为m 14条Z V 11-12图11.5为一干涉膨胀仪的示意图， AB与AB 二平面玻璃板之间放一热膨胀系数极小的熔石英环柱 CC ,被测样品 W置于该环柱内，样品的上表面与 AB板的下表面形成一楔形空气层，若以波长为 的单色光垂直射于此空气层，就产生等厚干涉条纹。设在温度为t。C时，测得样品的长度为 L。；温度升高到时t。C ,测得样品的长度为 L.并且在这过程中，数得通过视场中某一刻线的干涉条纹数目为 N,设环柱CC的长度变化可以忽略不计，求证：被测样品材料的热膨胀系数 1为解 该装置中AB平板玻璃与样品 W表面中间所夹的是一楔形空气薄膜，在等厚干涉条纹中，设在温度t0时，某一刻线所在位置

11、对应于第 k级暗条纹，此处楔形空气层的厚度为 ek满足ek = k c2温度升高到时，由于样品 W的长度发生膨胀，有 N条干涉条纹通过此刻线，则对应该刻线处干涉条纹级数变为 k-N,于是楔形空气层厚度变为ej = k N -依照题意，忽略石英环的膨胀，则该处空气层厚度的减少为-L=L-Lek - e = N2由膨胀系数的定义得L-LQ 1 _ NLQ t-to 2Lq t - tQ11-13利用楔形空气薄膜的等厚干涉条纹，可以测量经精密加工后工件表面上极小纹路的 深度。如图11.6 ,在工件表面上放一平板玻璃，使期间形成楔形空气薄膜，以单色光垂直照 射玻璃表面，用显微镜观察干涉条纹，由于工件表

12、面不平，观察到的条纹如图所示，试根据 条纹弯曲的方向，说明工件表面上纹路是凹的还是凸的？并证明纹路深度可用下式表示:其中a,b如图所示。解纹路是凹的，因工件表面有凹纹，故各级等厚线的相应部分向楔形膜顶端移动。两相邻暗纹间距离为 b,对应高度差为一，则有2bsin J2当条纹移动距离为 a是，对应高度差 H(即纹路深度)为aH =asb 2个暗环与用2时的第k+1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是 190cm,求用时第k个暗环的半径(2)若在牛顿环中波长为 500nm的光的第5个明环与波长为的光的第 6个明环重合，求波长,o解 (1)牛顿环中k级暗条纹半径rk =、kR依照题意，当1光的k级暗条纹

13、与2光的第k 1级暗条纹在r处重合是满足r kR, 1r k 1 R2由(1 )、(2)式解得（3）式代入（1）式得k2 =6级的明环（2）用波长1 =500nm的光照射，kl =5级的明环与用波长的光照射时,重合，则有关系式(2k1 1 )Rh1 (2k2 1 )R 扎ICr 2 _ 2所以，=1 5 500 = 409.1 nm2k2 -1 26-111-15在图11.7所示的装置中，平面玻璃板是由两部分组成的（冕牌玻璃和火石玻璃） ，透镜是用冕牌玻璃制成，而透镜与玻璃板之间的空间充满着二硫华碳，试问 由此而成的牛顿环的花样如何？为什么？解由于火石玻璃的折射率大于二硫化碳的折射率， 而二硫

14、化碳的折射率大于冕牌玻璃， 当光波由冕牌玻璃射向二硫化碳，以及由二硫化碳射向火石玻璃时，都有半波损失” ，上、下表面反射没有额外程差 一，而光波由二硫化碳射向冕牌玻璃时没有半波损失，因此在右2半边上下表面反射有额外程差， 所以此扭动环的花样有以下特点： （1）在牛顿环中心，火石玻璃一侧外为亮斑，冕牌玻璃一侧处为暗斑， （2）火石玻璃处，由中心向外为亮斑、暗斑、亮环交替变化；冕牌玻璃处由中心向外为暗斑、亮环、暗环交替变化。 （3）同一半径的圆环，一半亮一半暗。第 k级条纹的半径为式中n是二硫化碳的折射率。在冕牌玻璃上方为暗条纹位置，在火石玻璃上方为亮条纹位置。11-16用波长为589nm的钠黄光

15、观察牛顿环。 在透镜与平板接触良好的情况下， 测得第20个暗环的直径为 0.687cm。当透镜向上移动5.00 10Gm时，同一级暗环的直径变为多少？解 透镜与平板接触良好的情况下，暗半径 r kR,由已知条件可得22=1.00 10 Cm0.68720 589 10 22当透镜向上移动5.00 10ICm时，暗环半径r=dk-2 5.00 10 R= Jj20 589 10一2 5.00 10 1.00 12=.133cm11-17 一块玻璃上滴一油滴，当油滴展开成油膜时，在波长 =600nm的单色光垂直入射 下，从反射光中观察油膜所形成的干涉条纹，已知玻璃的折射率为 n1 =1.50 ,油

16、膜的折射率为n2 =1.20,问:(1) 当油膜中心最高点与玻璃片上表面相距 1200nm时，可看到几条明条纹？明条纹所在处的油膜厚度为多少？中心点的明暗程度如何？(2)当油膜继续摊展时，所看到的条纹情况将如何变化？中心点的情况如何变化？解 (1)在空气一油以及油一玻璃反射界面上均有“半波损失” ，因此明条纹处必满足k e , k = 0,1,2,2n2式中e为油膜厚度。当k =0,e)=0;k =1,e =250nm; k =2,e? =500nm;k =3,q =750nm;k =4,e =1000nm k =5,5 =1250nm。当e=h =1200 nm时，可看到5条明条纹(k= 0

17、,1,2,)。各级明条纹所在处的油膜厚 度如前所示，中心点的明暗程度介于明条纹与暗条纹之间。(2)此时油膜半径扩大，油膜厚度减小；条纹级数减少，间距增大；中心点由半明半暗向暗、明依次变化，直至整个油膜呈现一片明亮区域。11-18 (1)迈克耳孙干涉仪可用来测量单色光的波长， 当M2移动距离Ad= 0.3220mm时,测得某单色光的干涉条纹条移过 =N =1024 ,试求该单色光的波长。(2)在迈克耳孙干涉仪的 M2镜前，当插入一薄玻璃片时，可观察到有 150条干涉条纹向一方移过，若玻璃片的折射率n =1.632 ,所用的单色光的波长=500nm ,试求玻璃片 的厚度。N 解 (1)由Ad 得

18、=2 =2 0.3220 10 6.298 10 m = 628.9 nmN 10242 n -1 d= N 所以11-19利用迈克耳孙干涉仪进行长度的精密测量，光源是镉的红色谱线，波长为 643.8nm ,谱线宽度为1.0 10” nm ,试问一次测量长度的量程是多少？如果使用波长为 631.8nm ,谱线宽度为1.0 10-nm的氦氖激光，则一次测量长度的量程又是多少?2解发生相干的最大光程差“=,测量的长度643.82L镉 22d.0d06322激一 2 1.0 10,8 * = 2.072 10 nm =2.072 10 m= 2.002 1 08 nm= 2.002 10j m11-

19、20 （ 1）在单缝衍射中，为什么衍射角 愈大（级数愈大）的那些明条纹的亮度就愈小？（2）在单缝的夫琅和费衍射中，增大波长与增大缝宽对衍射图样分别产生什么影响？解（1）衍射角 愈大，则dsin 可分成的半波带数目越多，而每一半波带的面积以及相应的光能量越小。因为每一明条纹都是由相消后留下的一个半波带所形成， 因此它的亮度就越小了。（2）衍射中央明纹半衍射角宽度的正弦满足：Sin 2 ak级暗条纹衍射角的正弦满足：Sin k = k 一a由此可见，增大波长，中央明条纹变宽，各级条纹变疏；增加缝宽，则中央条纹变窄，各级 条纹变密。11-21波长为500nm的平行光线垂直地入射到一宽为 1mm的狭缝

20、，若在缝的后面有一焦距为100cm的薄透镜，使光线聚焦于一屏幕上，试问从衍射图样的中心点到以下点的距离 如何：（1）第一级暗纹中心；（2）第一级明纹中心；（3）第三级暗纹中心。解 （1）单缝衍射各级极小的条件为a Sin = k , （k =1,2,）衍射图形的第一级极小，可令 k=1求得a sin I 八它离中心点距离：Xftan 1 = f sin 1 = f = 5 10* ma（2）第一级明条纹近似位置可由下两式求得asi n =1.5x1 = f tan1 5 /XfSin = f 0.75 mm（3）第三级极小位置为3x3 = f 1.5 10 - m11-22有一单缝，宽a=0.

21、10mm ,在缝后放一焦距为 50cm的会聚透镜，用波长为 546nm的平行绿光垂直照射单缝，求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹的宽度。解 中央明纹角宽度满足公式：- ： nasin 空气中，n = 1,f 所以Sin ：、tg，,中央明条纹宽度为：x=2ftan =2f=5.5 10j3 m a11-23 一单色平行光垂直入射一单缝，其衍射第三级明纹中心恰与波长与 垂直入射该缝时的第二级明纹中心重合，试求该单色光波长。600nm的单色光解 设该单色光波长为，根据题意,2 3 1 3 = 2 2 1 600所以:429nm11-24如图11.8所示，设有一波长为的单色平行光沿着与缝平面的法线

22、成 角的方向入射到宽度为a的单狭缝AB上，试求出决定各极小值(即各暗条纹中心)的衍射 L的条件。 解 1、2两光的光程差在如图 11.8情况下为因此，极小值条件为a si n -asi n =a Sin - Si na sin-Sin = k ,k = 1,2,CP=Sin土+sin屮Ia J11-25当入射角波长满足光栅方程 dsin = -k,k =0,1,2,时，两相邻的狭缝沿角所射出的光线能够互相加强，试问：(1)当满足光栅方程时，任意两个狭缝沿角射出的光线能否互相加强？(2) 在方程中，当k=2时，第一条缝与第二条缝沿 角射出的光线的光程差是多少？第一条缝与第N条缝的光程差又是多少？

23、解(1)能够互相加强，因任意两狭缝沿 角的衍射光线的光程差是波长的整数倍。(2)当k=2时，第一条缝与第二条缝沿 角射出的光线在屏上会聚时，两者的光程差、=2 ,而第一条缝与第 N条缝的光程差：=2 N -1 11-26波长为600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明条纹出现在 Sin =0.20处,第四级缺级，试问：(1)光栅上相邻两缝的间距是多少？ ( 2)光栅上狭缝的最小宽度有多大？ （ 3）按上述选定的a,b值，在一90 ： ：90范围内，实际呈现的全部级数。 解 （1）光栅的明条纹的条件是：a b sin = k对应于Sin 1 =0.20处满足：0.20 a b =2 600

24、10”可得光栅相邻两缝间的距离 （a +b）=6.0d0cm（2） 由于第四级衍射条纹缺级，即第四级干涉明条纹落在单缝衍射暗条纹上，因此须满足 方程组：a b Sin = 4 -asin = 2k I 2解得a = 10*k4取k1 ,得光栅上狭缝的最小宽度为 1.5 10Cm（3） 由 a b sin = k，I (a +b Jsin k 10600 10所以在-90 ： d0 ,cc “4a b 1.03 10 Cmsin Si n38 =1cm内缝的条数：1 3N 4 1 =9.71 1031.03 10第二级明条纹不出现，因为按公式应有. k 九 2x632.8x10 二Sin 4 1

25、a+b 1.03d0这是不可能的。11-28 一双缝，缝间距d =0.10mm ,缝宽a = 0.02mm ,用波长彊=480nm的平行单色光 垂直入射该双缝，双缝后放一焦距为的透镜，试求：（1） 透镜焦平面处屏上干涉条纹的间距；（2） 单缝衍射中央亮纹的宽度；（3） 单缝衍射的中央包线内有多少条干涉的主极大。解 （1）由光栅方程d Sin得（2）中央亮纹宽度为（3）由缺级公式k = dk = 010 = 5k ,取k =1 ,得k =5说明第五级正好在单缝衍射a 0.20第一暗纹处，因而缺级，则中央包线内有 9条干涉主极大。11-29图11.9中所示，入射 X射线束不是黄色的，而是含有有从

26、0.095nm到0.130nm这一范围内的各种波长，晶体的晶格常数 a0 =0.275nm ,试问对图示的晶面能否产生强反射？解 由布喇格公式：2a0Sin =k,得，=0 时满足干涉相长k当 k =1 时，=0.39 nm ;k=2 时，=0.19;k=3 时，=0.13 nm ;k=4 时，=0.097 nm所以当波长在0.095 一 -0.13 nm范围内，有波长，1=0.13nm和波长,0.097nm的光可以产生强反射。11-30在圆孔的夫琅和费衍射中，设圆孔半径为 010mm ,透镜焦距59cm ,所用单色光波长为50nm ,求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径，如果圆孔半径改为

27、1.0mm，其他条件不变（包括入射光能流密度保持不变） ，爱里斑的半径变为多大？解爱里斑半径：1.22 1.22 500 10R = f J。= f 50 0.15 CmD 2x0.010若孔径改为1.0mm ,则爱里斑半径：R= f T10 = f空=5022 500 1=0015 CmD 2 0.1011-31在迎面驶来的汽车上，两盏灯相距 120cm ,试问汽车离人多远的地方，眼睛恰可分辨这两盏灯？设夜间人眼孔直径为 5.0mm，入射光波长 550nm。（这里仅考虑人眼圆心瞳孔的衍射效应）解 有人眼最小可分辨角为（在空气中）-1.22=1.22 550 10 1.34 10(rad)a

28、0.50而丨r 八X ,所以眼睛恰巧分辨两盏灯的距离为3= 8.95 10 m1.20_41.34 1011-32已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为 4.84 10rad ,它们都发出波长为 =550nm的光，试问：望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？ 解 由最小分辨角公式、 =1.22 ,得d 55007d =1.22=1.22 6 =13.8 Cm 4.84 勺011-33 一光源发射的红双线在波长656.3nm处，两条谱线的波长差 0.18nm ,今解根据光栅分辨率公式 R= 一 = kN ,令k=1 ,刻线总数最少为有一光栅可以在第一级中把这两条谱线分辨出来，试求该光栅所需的最小刻线总数。656.336470.1811-34 一光栅宽为6.0cm ,每厘米有6000条刻线，问在第三级谱线中，对 生=500nm处,可分辨的最小波长间隔是多少？A f j解 光栅刻线总数 N =6000 6.0 =3.6 10 ,由公式R kN ,得500 34 =4.6 10 nmkN 3 3.6 10411-35将偏振化方向相互平行的两块偏振片 M和N共轴平行放置，并在他们之间平行地插 入另一块偏振片 B， B与M的偏振化方向之间的夹角为 ,若用强度为I0的单色自然光垂直入射到偏振片 M上，并假定不计偏振片对光能量的吸收，试问透过检偏器 N的出射光强将如何随V角而变