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chapter1
Ramsey定理
☐Ramsey定理的简单形式
⏹两个简单命题
⏹Ramsey定理
⏹小Ramsey数的有关结果
⏹Ramsey数的性质
⏹Ramsey定理的推广
☐Ramsey定理的一般形式
⏹Ramsey定理
⏹关于一般Ramsey数的结果
☐Ramsey定理的应用
Ramsey定理的简单形式
两个简单的命题
命题1
用红蓝两色涂色K6的边，则或有一个红色K3,或有一个蓝色K3
R（3,3）=6
命题2
用红蓝两色涂色K9的边，则或有一个红色K4，或有一个蓝色K3.
命题2的证明
证：
断言：
存在一个顶点至少关联4条蓝边或者6条红边.否则蓝边数<4,红边数<6，则蓝边总数至多⎣（3⨯9）/2⎦=13，红边总数至多⎣（5⨯9）/2⎦=22，总共35条边，与K9边数为36矛盾.
设v1关联4条蓝边，若对应4个顶点没有蓝边，则构成红K4；有1条蓝边，则构成蓝K3.
命题2的证明
设v1关联6条红边，对应6个顶点必有蓝K3或红K3.
对于K8，存在一种涂色方案，既没有蓝色三角形，也没有红色完全四边形.
R（3,4）=9.
Ramsey（1903–1930）定理
定理设p,q为正整数，p,q≥2，则存在最小正整数R（p,q），使得当n≥R（p,q）时，用红蓝两色涂色Kn的边，则或存在一个蓝色的Kp，或存在一
个红色的Kq.
证明思路：
归纳法
核心思想是：
“任何一个足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构”
归纳基础R（p,2）≤p,R（2,q）≤q,
归纳步骤R（p-1,q），R（p,q-1）存在
⇒R（p,q）≤R（p-1,q）+R（p,q-1）
证明
证：
采用数学归纳法。
设p为任意正整数，q=2。
用红、蓝两色涂色Kp的边:
若没有一条红边，则存在一个蓝色的完全p边形；若有一条红边，则构成一个完全红2边形，因此R（p,2）≤p。
同理可证R（2,q）≤q。
假设对正整数p’,q’命题为真,其中p’≤p,q’≤q,p’+q’令
n≥R（p-1,q）+R（p,q-1）.
证明
用红、蓝两色涂色Kn的边，则v1或关联R（p-1,q）条蓝边或关联R（p,q-1）条红边。
否则，v1至多关联
R（p-1,q）-1+R（p,q-1）-1=R（p-1,q）+R（p,q-1）-2
条边，与n≥R（p-1,q）+R（p,q-1）矛盾。
case1v1关联R（p-1,q）条蓝边，
case2v1关联R（p,q-1）条红边.
对于case1，由归纳假设这R（p-1,q）个顶点中或含有一个蓝色的完全p-1边形，或含有一个红色的完全q边形。
证明
若为前者，则这个p-1边形加上v1构成一个蓝色的完全p边形，命题为真；若为后者，命题也为真。
对于case2可以类似分析。
因此，
R（p,q）≤R（p-1,q）+R（p,q-1），p≥3，q≥3
定义对于任意给定的两个正整数a和b，a,b≥2，最小的正整数R（a,b），使得当n≥R（a,b）时，对Kn任意进行红、蓝两种着色，Kn中均有蓝色Ka或红色Kb，称R（a,b）为Ramsey数.
小Ramsey数的值
q
p
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
6
9
14
18
23
28
36
40–43
4
18
25
36–41
49–61
56–84
73–115
92–149
5
43–49
58–87
80–143
101–216
126–316
144–442
6
102–165
113–298
132–495
169–780
179–1171
7
205–540
217–1031
241–1713
289–2826
8
282–1870
317–3583
331–6090
9
565–6588
581–12677
10
798–23556
GeoffreyExoo:
“Irecently（March2012）improvedthelowerbound
forR（4,6）to36.”9
Ramsey数的性质
（1）R（a,b）=R（b,a）,R（a,2）=R（2,a）=a
（2）R（a,b）≤R（a-1,b）+R（a,b-1）,a≥3，b≥3.
性质
（2）给出上界
9=R（3,4）≤R（2,4）+R（3,3）=4+6=10
18=R（4,4）≤R（3,4）+R（4,3）=9+9=18
25=R（4,5）≤R（3,5）+R（4,4）=14+18=32R（3,10）≤R（2,10）+R（3,9）=10+36=46R（3,10）≤43
Ramsey数的性质
推论对任意正整数a≥2，b≥2，有
R（a,b）≤
⎛a+b-2⎫=
（a+b-2）!
ça-1⎪
（a-1）!
（b-1）!
⎝⎭
证：
对a+b作归纳.
当a+b≤5时，a=2或b=2，由前面定理知推论成立。
假设对一切满足5≤a+bR（m,n）≤R（m,n-1）+R（m-1,n）≤
m+n-3m-1
m+n-3m-2
m+n-2m-1
所以，对任意的正整数a≥2，b≥2，推论均成立。
Ramsey定理的推广
（1）R（p,q）的图表示R（p,q）的集合表述：
Kn的顶点集V集合S
Kn的边集ES的2元子集的集合T
用2色涂色Kn的边将T划分成E1,E2
存在蓝色完全p边形存在S的p子集其所有2元子集∈E1存在红色完全q边形存在S的q子集其所有2元子集∈E2集合表述具有更强的表达能力.
（2）将2元子集推广到r元子集
（3）将T划分成E1,E2,…,Ek12
推广的Ramsey定理
定理2
对于任意给定的正整数p,q,r,（p,q≥r），存在一个最
小的正整数R（p,q;r），使得当|S|≥R（p,q;r）时，将
S的r元子集族任意划分成E1,E2，则：
或者S有p元子集A1，A1的所有r元子集属于E1；或者S有q元子集A2，A2的所有r元子集属于E2.
13
推广的Ramsey定理
定理3
设r,k≥1,qi≥r,i=1,2,…,k,是给定正整数，则存在一个最小的正整数R（q1,q2,…,qk;r），使得当n≥R（q1,q2,…,qk;r）时,将n元集S的所有r元子集划分成k个子集族E1,E2,…,Ek，那么
存在S的q1元子集A1,其所有r元子集属于E1；或者存在S的q2元子集A2，A2的所有r元子集属于E2；…,
或者存在S的qk元子集Ak,其所有r元子集属于
Ek.14
关于一般Ramsey数的说明
R（q1,q2,…,qk;r）
（1）条件：
r,k≥1,qi≥r,i=1,2,…,k,都是给定正整数
（2）当r=2时，可以简记为R（q1,q2,…,qk）
（3）Ramsey定理断定Ramsey数的存在性.
Ramsey数的确定是一个很困难的问题.
（4）r=1,是鸽巢原理，
R（q1,q2,…,qk;1）=q1+q2+…+qk-k+1r=2,k=2,是简单的Ramsey定理.
结果：
9个（不含q=2）Ramsey数的精确值，部分上界、下界
r=2,k=3,只有一个精确值R（3,3,3）=17
几个Ramsey数的上下界
51≤R（3,3,3,3）≤6265→62
162≤R（3,3,3,3,3）≤307322→307
538≤R（3,3,3,3,3,3）≤1838500→538
30≤R（3,3,4）≤3132→31
45≤R（3,3,5）≤5759→57
55≤R（3,4,4）≤7981→79
93≤R（3,3,3,4）≤15384→93,159→153
128≤R（4,4,4）≤236242→236
Ramsey定理的应用
例10对于任意m≥3,m∈Z+,存在正整数N（m），使得当
n≥N（m）时，若平面的n个点没有三点共线，则其中总有
m个点构成一个凸m边形的顶点。
实例：
m=3,N（m）=N（3）=3,
m=4,N（m）=N（4）=5,
需证：
N（m）≤R（5,m;4）
引理1平面上任给5点,没有3点共线,则必有4点是凸4边形
的顶点.
引理2平面上m个点，若没有3点共线且任4点都是凸4边形的顶点，则这m个点构成凸m边形的顶点
引理1的证明
引理1平面上任给5点,没有3点共线,则必有4点是凸4
边形的顶点.
证做最大的凸多边形T.如果T是4边形或5边形，则命题为真.如果为3边形，则3边形内存在2点，与过这
2点的直线一侧的另外2点构成凸4边形.
引理2的证明
引理2平面上m个点，若没有3点共线且任4点都是凸4边形的顶点，则这m个点构成凸m边形的顶点.
证：
假设最大的凸多边形是p边形，p命题证明
任意m≥3,存在正整数N（m），使得当n≥N（m）时，若平面的n个点没有三点共线，则其中总有m个点构成一个凸m边形的顶点
证不妨设m>3，令n≥R（5,m;4），S为n个点的集合.将S的所有的4元子集划分成两个子集族.如果构成凹4边形，放到T1,如果构成凸4边形，则放到T2.
根据Ramsey数定义，或有5个点，其所有4元子集都构成凹4边形；或有m个点，其所有的4子集都构成凸4边形.
若为前者，与引理1矛盾.若为后者，根据引理2，这m个点构成凸m边形的顶点.
组合存在性定理的应用
例11最少连接缆线问题
条件：
15台工作站和10台服务器.
每个工作站可以用一条电缆直接连到某个服务器.
同一时刻每个服务器只能接受一个工作站的访问.
目标：
任何时刻，任意选10台工作站，保证这组工作站可以同时访问不同的服务器.
问题：
达到这个目标需要的最少缆线数目N是多少？
方案1：
每个工作站都连到每个服务器，需要
10⨯15=150
缆线数N≤150.21
22
例11的解决方案
方案2将工作站标记为W1,W2,…,W15,
服务器标记为S1,S2,…,S10.
对于k=1,2,…,10，我们连接Wk到Sk,
剩下5个工作站的每一个都连接到10个服务器
总共60条直接连线.
W1W2W3W4W5W11W12W13W14W15W6W7W8W9W10
S1S2......S10
方案的最优性
满足目标要求：
任取10个工作站.如果恰好为W1,W2,…,W10，Wi访问Si，
i=1,…10,满足要求;如果W1-W10中只选中k个工作站，不
妨设为W1--Wk,剩下的10-k个选自W11-W15.那么Wi访问Si，
i=1,…,k.还剩下10-k个服务器空闲，恰好分配给10-k个工作站.
结论：
N≤60.
证明N≥60.
假设在工作站和服务器之间缆线至多59条.那么某个服务器将至多连接⎣59/10⎦=5工作站.如果选择剩下的10个工作站作为一组，那么只有9个空闲的服务器，必有2个工作站连接同一服务器.与题目要求矛盾.23
例12电路板排列问题
实例：
方案1
方案2
例13通信抗噪音编码问题
例13通信噪音干扰
混淆图G=，V为有穷字符集，
{u,v}∈E⇔u和v易混淆.
xy与uv混淆⇔x与u混淆且y与v混淆
∨x=u且y与v混淆
∨x与u混淆且y=v
V1⨯V2的混淆图是两个混淆图G与H的正规积G⋅H
定理β0（G⋅H）≤R（β0（G）+1,β0（H）+1）-1
实例：
设|G|=5,β0（G）=3,则β0（G⋅G）≤R（β0（G）+1,β0（G）+1）-1
=R（4,4）-1=1727
Ramsey定理的应用和推广
☐应用
⏹数论、代数、几何、拓扑学、集合论、逻辑等；
⏹信息论、理论计算机科学
☐推广（超图、有向图、无限…）
☐
☐
/ramsey.html
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