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1、chapter1Ramsey定理Ramsey定理的简单形式两个简单命题Ramsey定理小Ramsey数的有关结果Ramsey数的性质Ramsey定理的推广Ramsey定理的一般形式Ramsey定理关于一般Ramsey数的结果Ramsey定理的应用Ramsey定理的简单形式两个简单的命题命题1用红蓝两色涂色K6的边，则或有一个红色K3, 或有一个蓝色K3R(3,3)=6命题2用红蓝两色涂色K9的边，则或有一个红色K4，或有一个蓝色K3.命题2的证明证：断言：存在一个顶点至少关联4条蓝边或者6 条红边. 否则蓝边数4, 红边数6，则蓝边总数至多 (39)/2=13，红边总数至多 (59)/2=22

2、， 总共35条边，与K9边数为36矛盾.设v1关联4条蓝边，若对应4个顶点没有蓝边，则构成红K4；有1条蓝边，则构成蓝K3 .命题2的证明设v1关联6条红边，对应6个顶点必有蓝K3或红K3.对于K8，存在一种涂色方案， 既没有蓝色三角形，也没有红色完全四边形.R(3,4)=9.Ramsey(19031930)定理定理 设 p, q为正整数，p, q 2，则存在最小正整数 R(p, q)，使得当 n R(p, q) 时，用红蓝两色涂色 Kn 的边，则或存在一个蓝色的 Kp，或存在一个红色的 Kq.证明思路：归纳法核心思想是：“任何一个足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构”归纳基础 R(

3、p, 2) p, R(2, q) q,归纳步骤 R(p-1, q)，R(p, q-1) 存在 R(p,q) R(p-1, q) + R(p, q-1)证明证：采用数学归纳法。设p为任意正整数，q=2。用红、蓝两色涂色Kp的边: 若没有一条红边，则存在一个蓝色的完全p边形； 若有一条红边，则构成一个完全红2边形，因此R(p, 2)p。同理可证 R(2,q) q。假设对正整数 p, q命题为真, 其中p p, q q, p+q p+q ，则 R(p-1, q), R(p, q-1) 存在.令n R(p-1, q) + R(p, q-1).证明用红、蓝两色涂色Kn的边，则v1或关联R(p-1, q)

4、条蓝边或关联R(p, q-1)条红边。否则， v1至多关联R(p-1, q) -1+ R(p, q-1) -1= R(p-1, q) + R(p, q-1) -2条边，与n R(p-1, q) + R(p, q-1) 矛盾。case1 v1 关联 R(p-1, q) 条蓝边，case2 v1 关联 R(p, q-1) 条红边.对于case1，由归纳假设这 R(p-1, q) 个顶点中或含有一个蓝色的完全 p-1 边形，或含有一个红色的完全q边形。证明若为前者，则这个p-1边形加上v1构成一个蓝色的完全p边形，命题为真；若为后者，命题也为真。对于 case2 可以类似分析。因此，R(p, q)

5、R(p-1, q) + R(p, q-1) ，p3，q3定义 对于任意给定的两个正整数a和b，a, b 2， 最小的正整数R(a,b)，使得当nR(a,b)时，对Kn任意进行红、蓝两种着色，Kn中均有蓝色Ka或红色Kb，称R(a,b)为Ramsey数.小Ramsey数的值qp234567891022345678910369141823283640434182536414961568473115921495434958878014310121612631614444261021651132981324951697801791171720554021710312411713289282682821

6、8703173583331609095656588581126771079823556Geoffrey Exoo: “I recently (March 2012) improved the lower boundfor R(4,6) to 36.” 9Ramsey数的性质(1) R(a,b) = R(b,a), R(a,2) = R(2,a) = a(2) R(a,b) R(a-1,b) + R(a,b-1), a3，b3.性质 (2) 给出上界9 = R(3,4) R(2,4) + R(3,3) = 4 + 6 = 1018 = R(4,4) R(3,4) + R(4,3) = 9 + 9

7、 = 1825 = R(4,5) R(3,5) + R(4,4) = 14 + 18 = 32 R(3,10) R(2,10) + R(3,9) = 10 + 36 = 46 R(3,10) 43Ramsey数的性质推论 对任意正整数a2，b2，有R(a,b) a + b - 2 = (a + b - 2)! a - 1 (a - 1)!(b - 1)! 证： 对a+b作归纳.当a+b5时，a=2或b=2，由前面定理知推论成立。假设对一切满足5a+bm+n的a,b，推论成立，从而有R(m,n)R(m,n-1)+R(m-1,n) m+n-3 m-1m+n-3 m-2m+n-2 m-1所以，对任意

8、的正整数a2，b2，推论均成立。Ramsey定理的推广(1)R(p,q)的图表示 R(p,q)的集合表述：Kn 的顶点集 V 集合 SKn 的边集 E S 的 2 元子集的集合 T用 2 色涂色 Kn 的边 将 T 划分成 E1,E2存在蓝色完全 p 边形 存在 S 的 p 子集其所有 2 元子集E1 存在红色完全 q 边形 存在 S 的 q 子集其所有 2 元子集E2 集合表述具有更强的表达能力.(2)将2元子集推广到 r元子集(3)将T划分成 E1, E2, , Ek 12推广的Ramsey定理定理 2对于任意给定的正整数 p, q, r, (p, qr) ，存在一个最小的正整数 R(p,

9、 q; r)，使得当 |S|R(p, q; r) 时，将S 的 r 元子集族任意划分成 E1, E2，则：或者 S 有 p元子集A1，A1的所有 r 元子集属于E1； 或者S 有q元子集 A2，A2的所有 r 元子集属于E2.13推广的Ramsey定理定理 3设 r, k 1, qi r, i=1, 2, , k, 是给定正整数，则存在一个最小的正整数 R(q1, q2, , qk; r)，使得当 n R(q1, q2, qk; r) 时, 将 n元集 S 的所有r 元子集划分成 k 个子集族 E1, E2, , Ek，那么存在 S 的 q1元子集 A1, 其所有 r 元子集属于E1； 或者存

10、在 S 的 q2元子集 A2，A2的所有r 元子集属于E2； ,或者存在 S 的 qk 元子集 Ak, 其所有 r 元子集属于Ek. 14关于一般Ramsey数的说明R(q1, q2, , qk; r)(1)条件：r, k 1, qi r, i=1, 2, , k, 都是给定正整数(2)当 r=2时，可以简记为 R(q1, q2, , qk)(3)Ramsey定理断定Ramsey数的存在性.Ramsey数的确定是一个很困难的问题.(4)r=1, 是鸽巢原理，R(q1,q2, , qk ;1) = q1+q2+qk-k+1 r=2, k=2, 是简单的Ramsey定理.结果：9个(不含q=2)R

11、amsey数的精确值，部分上界、下界r=2, k=3,只有一个精确值 R(3,3,3)=17几个Ramsey数的上下界51 R(3,3,3,3) 62 6562162 R(3,3,3,3,3) 307 322307538 R(3,3,3,3,3,3) 1838 50053830 R(3,3,4) 31 323145 R(3,3,5) 57 595755 R(3,4,4) 79 817993 R(3,3,3,4) 153 8493,159153128 R(4,4,4) 236 242236Ramsey定理的应用例 10 对于任意 m3, mZ+, 存在正整数 N(m)，使得当nN(m) 时，若平

12、面的 n 个点没有三点共线，则其中总有m个点构成一个凸 m 边形的顶点。实例： m=3, N(m)=N(3)=3,m=4, N(m)=N(4)=5,需证：N(m) R(5,m;4)引理1 平面上任给5点, 没有3点共线, 则必有4点是凸4边形的顶点.引理2 平面上m个点，若没有3点共线且任4点都是凸4边形的顶点，则这 m 个点构成凸 m 边形的顶点引理1的证明引理 1 平面上任给 5 点, 没有 3 点共线, 则必有 4 点是凸 4边形的顶点.证 做最大的凸多边形 T. 如果 T 是 4 边形或 5 边形，则命题为真. 如果为 3 边形，则 3 边形内存在 2 点，与过这2 点的直线一侧的另外

13、 2 点构成凸 4 边形.引理2的证明引理 2 平面上 m 个点，若没有 3 点共线且任 4 点都是凸 4 边形的顶点，则这 m 个点构成凸 m 边形的顶点.证：假设最大的凸多边形是 p 边形，p3，令n R(5, m;4)，S为n个点的集合. 将S的所有的4元子集划分成两个子集族. 如果构成凹4边形，放到T1, 如果构成凸4边形，则放到T2.根据Ramsey数定义，或有5个点，其所有4元子集都构成凹4边形；或有m个点，其所有的4子集都构成凸4边形.若为前者，与引理1矛盾. 若为后者，根据引理2， 这m个点构成凸m边形的顶点.组合存在性定理的应用例11 最少连接缆线问题条件：15台工作站和10

14、台服务器.每个工作站可以用一条电缆直接连到某个服务器.同一时刻每个服务器只能接受一个工作站的访问.目标：任何时刻，任意选10台工作站，保证这组工作站可以同时访问不同的服务器.问题：达到这个目标需要的最少缆线数目N是多少？方案1：每个工作站都连到每个服务器，需要1015=150缆线数N 150. 2122例11的解决方案方案 2 将工作站标记为 W1,W2, , W15,服务器标记为 S1, S2, , S10.对于 k=1,2,10，我们连接 Wk 到 Sk,剩下 5 个工作站的每一个都连接到 10 个服务器总共 60 条直接连线.W1 W2 W3 W4 W5 W11 W12 W13 W14

15、W15 W6 W7 W8 W9 W10S1 S2 . . . . . . S10方案的最优性满足目标要求：任取10个工作站. 如果恰好为W1,W2,W10，Wi访问Si，i=1,10, 满足要求; 如果W1-W10中只选中k个工作站，不妨设为W1-Wk, 剩下的10-k个选自W11-W15. 那么Wi访问Si，i=1,k. 还剩下10-k个服务器空闲，恰好分配给10-k个工作站.结论：N60.证明 N60.假设在工作站和服务器之间缆线至多59条. 那么某个服务器将至多连接 59/10 = 5工作站. 如果选择剩下的10个工作站作为一组，那么只有9个空闲的服务器，必有2个工作站连接同一服务器.

16、与题目要求矛盾. 23例12 电路板排列问题实例：方案1方案2例13 通信抗噪音编码问题例 13 通信噪音干扰混淆图 G=，V 为有穷字符集，u,vE u 和 v 易混淆.xy 与 uv 混淆 x 与 u 混淆且 y 与 v 混淆 x=u 且 y 与 v 混淆 x 与 u 混淆且 y=vV1V2 的混淆图是两个混淆图 G 与 H 的正规积 GH定理 0(GH) R(0(G)+1,0(H)+1)-1实例：设|G|=5, 0(G)=3, 则0(GG) R(0(G)+1,0(G)+1)-1= R(4,4)-1=17 27Ramsey定理的应用和推广应用数论、代数、几何、拓扑学、集合论、逻辑等；信息论、理论计算机科学推广（超图、有向图、无限）/ramsey.html28