高考数学大一轮复习 第七章 立体几何课时作业46 理 新人教A版.docx

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高考数学大一轮复习第七章立体几何课时作业46理新人教A版

2019-2020年高考数学大一轮复习第七章立体几何课时作业46理新人教A版

一、选择题

1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

解析：

若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．

答案：

A

2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（　　）

A．平行B．异面

C．相交D．平行、异面或相交

解析：

经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.

答案：

D

3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行B．一定相交

C．一定是异面直线D．一定垂直

解析：

两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.

答案：

D

4．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

取DD1的中点F，连接CF，∠D1CF为BE与CD1所成的角，取AB＝1，则cos∠D1CF＝

＝

.故直线BE与CD1所成角的余弦值为

.

答案：

C

5．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（　　）

A．AB∥CD

B．AB与CD异面

C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解析：

若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．

答案：

D

6．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.

答案：

C

二、填空题

7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．

解析：

因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：

一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．

答案：

0或1

8．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．

解析：

如图，连接DF，因为DF与AE平行，所以∠DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD1＝FD＝

，由余弦定理得cos∠DFD1＝

＝

.

答案：

9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

解析：

在正四面体中取CD的中点G，连接FG，EG，作FH⊥平面CDE于点H.因为正四面体的高FH在平面EFG内，且FH平行于正方体的高，∴可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面，故直线EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共4个．

答案：

4

三、解答题

10．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊

AD，BE綊

FA，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

解：

（1）证明：

由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊

AD.又BC綊

AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．

（2）由BE綊

AF，G为FA中点知，BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由

（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，

∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．

11．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：

（1）连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；

（2）连接A1C，A1B，求三棱锥C1—BCA1的体积．

解：

（1）连接AO，并延长与BC交于点D，则AD是BC边上的中线．

∵点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，

∴BC⊥AD，BC⊥A1O.

∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面ADA1.

∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，

∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C.

∵CC1⊥BC，即四边形BCC1B1为正方形，

∴异面直线AA1与BC1所成角的大小为

.

（2）∵三棱柱的所有棱长都为2，

∴可求得AD＝

，AO＝

AD＝

，A1O＝

＝

.∴VABC—A1B1C1＝S△ABC·A1O＝2

，VA1—B1C1CB＝VABC—A1B1C1－VA1—ABC＝

.

∴VC1—BCA1＝VA1—BCC1＝

VA1—BCC1B1＝

.

1．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足

l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A．α∥β，且l∥α

B．α⊥β，且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析：

由题意可知α与β相交，可能垂直，故A，B错；因交线分别垂直于异面直线m，n，又l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，所以交线平行于l，故选D.

答案：

D

2．（xx·大纲全国卷）已知二面角α—l—β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）

A.

　　　B.

　　　C.

　　　D.

解析：

如图，在平面α内过C作CE∥AB，则∠ECD为异面直线AB与CD所成的角或其补角，不妨取CE＝1，过E作EO⊥β于O.

在平面β内过O作OH⊥CD于H，

连EH，则EH⊥CD.

因为AB∥CE，AB⊥l，所以CE⊥l.

又因为EO⊥平面β，所以CO⊥l.

故∠ECO为二面角α—l—β的平面角，所以∠ECO＝60°.

而∠ACD＝135°，CO⊥l，所以∠OCH＝45°.

在Rt△ECO中，CO＝CE·cos∠ECO＝1·cos60°＝

.

在Rt△COH中，CH＝CO·cos∠OCH＝

·sin45°＝

.

在Rt△ECH中，cos∠ECH＝

＝

＝

.

答案：

B

3．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SB⊥底面ABCD.底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝1，AD＝3，CD＝2.若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC＝90°的点E的个数是________．

解析：

由于SB⊥底面ABCD，SE在底面ABCD上的射影为BE，要使∠SEC＝90°，只要BE⊥EC即可．由平面几何知识可知，以BC为直径的圆与AD有两个交点，故满足条件的E点的个数是2.

答案：

2

4．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F＝2BF.

（1）求证：

EF⊥A1C1；

（2）在棱C1C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C1G的长．

解：

（1）证明：

如图所示，连接B1D1，

∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴四边形A1B1C1D1为正方形．

∴A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1.

∴A1C1⊥BB1.

∵B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D.

∵EF⊂平面BB1D1D，∴EF⊥A1C1.

（2）如图所示，假设A，E，G，F四点共面，则A，E，G，F四点确定平面AEGF，

∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴平面AA1D1D∥平面BB1C1C.

∵平面AEGF∩平面AA1D1D＝AE，平面AEGF∩平面BB1C1C＝GF，

∴由平面与平面平行的性质定理得AE∥GF，

同理可得AF∥GE，因此四边形AEGF为平行四边形，∴GF＝AE.

在Rt△ADE中，AD＝a，DE＝

DD1＝

，∠ADE＝90°，

由勾股定理得AE＝

＝

＝

a，

在直角梯形B1C1GF中，下底B1F＝

BB1＝

a，直角腰B1C1＝a，斜腰GF＝AE＝

a，

由勾股定理可得GF＝

＝

＝

a，

结合图形可知C1G

a.

2019-2020年高考数学大一轮复习第七章立体几何课时作业47理新人教A版

一、选择题

1．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（　　）

A．AB∥CDB．AD∥CB

C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面

解析：

充分性：

A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．

答案：

D

2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（　　）

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α

解析：

l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．故选D.

答案：

D

3．已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是（　　）

A．l∥m，l∥β，则m∥β

B．α∩β＝m，l⊂α，则l∥β

C．α⊥β，l⊥α，则l∥β

D．l⊥m，m⊥β，l⊥α，则α⊥β

解析：

对于选项A，m可能在β内，故A错；对于选项B，l可能与β相交，故B错；对于选项C，l可能在β内，故C错，所以选D.

答案：

D

4．已知l、m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l∥α，m∥α，则l∥m

B．若l⊥m，m∥α，则l⊥α

C．若l⊥m，m⊥α，则l∥α

D．若l∥α，m⊥α，则l⊥m

解析：

A选项，l与m可能平行，异面或相交，A错；B选项，l与α可能平行，相交或l在α内，B错；C选项，l有可能在α内，C错，故选D.

答案：

D

5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.

其中正确的命题是（　　）

A．①②B．②③

C．③④D．①④

解析：

由面面垂直的判定定理得①正确，若m∥n时，α，β有可能相交，所以②错误．对③来说，n可能与α平行，则③错．α∩β＝m，∴m⊂α，m⊂β，n⊄α，n∥m，则n∥α，同理n∥β，选D.

答案：

D

6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（　　）

A．有无数条

B．有2条

C．有1条

D．不存在

解析：

因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条．

答案：

A

二、填空题

7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1