高考数学复习讲义一遍过01第一章 集合与常用逻.docx

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高考数学复习讲义一遍过01第一章集合与常用逻

§1.1 集合的概念及运算

最新考纲

考情考向分析

1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.

2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.

5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.

7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点,在集合的运算中经常与不等式、函数相结合,解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图.考查学生的数形结合思想和计算推理能力.题型以选择题为主,低档难度.

 

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征:

确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.

(3)集合的表示法:

列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N+(或N*)

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A,则x∈B)

A⊆B(或B⊇A)

真子集

如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A

AB(或BA)

集合相等

如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素

A=B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合

A∩B={x|x∈A且x∈B}

并集

对于给定的两个集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合

A∪B={x|x∈A或x∈B}

补集

如果给定集合A是全集U的一个子集,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA={x|x∈U且x∉A}

概念方法微思考

1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集.

提示 2n,2n-1.

2.从A∩B=A,A∪B=A可以得到集合A,B有什么关系?

提示 A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )

(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )

(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )

(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )

(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )

题组二 教材改编

2.若集合A={x∈N|x≤

},a=2

,则下列结论正确的是(  )

A.{a}⊆AB.a⊆A

C.{a}∈AD.a∉A

答案 D

3.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.

答案 2

解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点

,则A∩B中有两个元素.

题组三 易错自纠

4.(2018·湖南长郡中学月考)已知集合A={x∈N|0≤x≤4},则下列说法正确的是(  )

A.0∉AB.1⊆A

C.

⊆AD.3∈A

答案 D

解析 集合A={x∈N|0≤x≤4},∴0∈A,1∈A,

∉A,3∈A,故选D.

5.已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2

答案 {x|x≤1或x>2}

解析 由已知可得集合A={x|1

又因为B={x|2

所以(∁RA)∪B={x|x≤1或x>2}.

6.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________.

答案 0或1或-1

解析 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,

∴N=∅或N=M,∴a=0或a=±1.

题型一 集合的含义

1.已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是(  )

A.1B.3C.6D.9

答案 C

解析 当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;当x=2时,y=0,1,2.

故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素.

2.已知集合A=

,则集合A中的元素个数为(  )

A.2B.3C.4D.5

答案 C

解析 因为

∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.

3.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.

答案 -

解析 由题意得m+2=3或2m2+m=3,

则m=1或m=-

当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;

当m=-

时,m+2=

,而2m2+m=3,故m=-

.

思维升华

(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.

(2)如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.

题型二 集合间的基本关系

例1

(1)集合M=

,N=

,则两集合M,N的关系为(  )

A.M∩N=∅B.M=N

C.M⊆ND.N⊆M

答案 D

解析 由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+

(k∈Z),∴N⊆M,故选D.

(2)已知集合A={x|x2-2019x+2018<0},B={x|x

答案 [2018,+∞)

解析 由x2-2019x+2018<0,解得1

故A={x|1

又B={x|x

引申探究

本例

(2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________.

答案 (-∞,1]

解析 A={x|1

思维升华

(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练1

(1)已知集合A={y|0≤y

答案 8

解析 B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足AB,当a=4时,A={0,1,2,3},不满足AB,同理,当a≥5时均不满足AB.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},其子集有8个.

(2)已知集合A={x|-1

答案 (-∞,1]

解析 当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.

当m>0时,因为A={x|-1

所以在数轴上标出两集合,如图,

所以

所以0

综上所述,m的取值范围为(-∞,1].

题型三 集合的基本运算

命题点1 集合的运算

例2

(1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A=

,则∁RA等于(  )

A.{x|-1

B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

答案 B

解析 ∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.在数轴上表示出集合A,如图所示.

由图可得∁RA={x|-1≤x≤2}.

故选B.

(2)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-

A.A∩B=∅B.A⊆B

C.B⊆AD.A∪B=R

答案 D

解析 ∵A={x|x>2或x<0},∴A∪B=R.

命题点2 利用集合的运算求参数

例3 

(1)(2018·锦州模拟)已知集合A={x|x

A.a<1B.a≤1C.a>2D.a≥2

答案 D

解析 集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1

由A∩B=B可得B⊆A,作出数轴如图.

可知a≥2.

(2)设集合A={-1,0,1},B=

,A∩B={0},则实数a的值为________.

答案 1

解析 0∈

,由a+

≠0,则a-1=0,则实数a的值为1.经检验,当a=1时满足题意.

(3)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______.

答案 (-∞,-1]∪{1}

解析 因为A∩B=B,所以B⊆A,

因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:

①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,

由根与系数的关系,得

解得a=1;

②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},

并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,

解得a=-1,此时B={0}满足题意;

③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,

解得a<-1.

综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.

思维升华

(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.

(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.

跟踪训练2

(1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A={x|-2

A.(2,4)B.(-2,4)

C.(-2,2)D.(-2,2]

答案 D

解析 由题意得B={x|y=lg(x-2)}=(2,+∞),

∴∁RB=(-∞,2],∴A∩(∁RB)=(-2,2].

(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1

A.[-1,2)B.[-1,3]

C.[2,+∞)D.[-1,+∞)

答案 D

解析 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,

即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.

又A∩B=B,所以B⊆A.

①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2;

②当B≠∅时,有

解得-1≤m<2.

综上,m的取值范围为[-1,+∞).

题型四 集合的新定义问题

例4

(1)(2018·沈阳模拟)已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:

A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素数字之和为(  )

A.15B.16C.20D.21

答案 D

解析 由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得A={0,1,2,3}.因为A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素有:

0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素数字之和为21.

(2)设数集M=

,N=

,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,则集合M∩N的长度的最小值为________.

答案 

解析 在数轴上表示出集合M与N(图略),

可知当m=0且n=1或n-

=0且m+

=1时,M∩N的“长度”最小.

当m=0且n=1时,M∩N=

长度为

当n=

且m=

时,M∩N=

长度为

.

综上,M∩N的长度的最小值为

.

思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:

(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.

(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.

跟踪训练3用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=

若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)=________.

答案 3

解析 因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1或C(B)=3.由x2+ax=0,得x1=0,x2=-a.关于x的方程x2+ax+2=0,当Δ=0,即a=±2

时,易知C(B)=3,符合题意;当Δ>0,即a<-2

或a>2

时,易知0,-a均不是方程x2+ax+2=0的根,故C(B)=4,不符合题意;当Δ<0,即-2

时,方程x2+ax+2=0无实数解,当a=0时,B={0},C(B)=1,符合题意,当-2

时,C(B)=2,不符合题意.综上,S={0,-2

,2

},故C(S)=3.

 

1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是(  )

A.-3∈AB.3∉BC.A∩B=BD.A∪B=B

答案 C

解析 由题意知A={y|y≥-1},因此A∩B={x|x≥2}=B,故选C.

2.设集合M={-1,1},N=

,则下列结论中正确的是(  )

A.NMB.MNC.N∩M=∅D.M∪N=R

答案 B

解析 由题意得,集合N=

,所以MN.故选B.

3.设集合A={x∈Z|x2-3x-4<0},B={x|2x≥4},则A∩B等于(  )

A.[2,4)B.{2,4}C.{3}D.{2,3}

答案 D

解析 由x2-3x-4<0,得-1

4.(2018·全国Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(  )

A.9B.8C.5D.4

答案 A

解析 将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.

故选A.

5.设集合A={x∈Z|x2-2x-3≤0},B={0,1},则∁AB等于(  )

A.{-3,-2,-1}B.{-1,2,3}

C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1}

答案 B

解析 由题意可知A={-1,0,1,2,3},则∁AB={-1,2,3}.故选B.

 

6.(2018·呼和浩特联考)已知全集U={x∈N|x2-5x-6<0},集合A={x∈N|-2

A.{3,5}B.{2,3,5}

C.{2,3,4,5}D.{3,4,5}

答案 A

解析 由题意知,U={0,1,2,3,4,5},A={0,1,2},则(∁UA)∩B={3,5}.故选A.

7.(2017·全国Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B等于(  )

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

答案 C

解析 ∵A∩B={1},∴1∈B.

∴1-4+m=0,即m=3.

∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.

8.已知集合A={x|-1

A.(-∞,0]B.[0,+∞)

C.(-∞,0)D.(0,+∞)

答案 B

解析 用数轴表示集合A,B(如图),由A⊆B,得a≥0.

9.已知集合P={x|y=

,x∈N},Q={x|lnx<1},则P∩Q=________.

答案 {1,2}

解析 由-x2+x+2≥0,得-1≤x≤2,因为x∈N,所以P={0,1,2}.因为lnx<1,所以0

10.若全集U=R,集合A={x|x2-x-2≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(∁UB)=__________.

答案 {x|x<-1或x≥2}

解析 集合A={x|x2-x-2≥0}={x|x≤-1或x≥2},

∵log3(2-x)≤1=log33,∴0<2-x≤3,

∴-1≤x<2,∴B={x|-1≤x<2},

∴∁UB={x|x<-1或x≥2},

∴A∩(∁UB)={x|x<-1或x≥2}.

11.设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a的值为________.

答案 -2或1

解析 ∵集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},A∩B={-1,2},∴

解得a=-2或a=1.

经检验,a=-2和a=1均满足题意.

12.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.

答案 [1,+∞)

解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.

 

13.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________.

答案 -1 1

解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5

由A∩B=(-1,n),可知m<1,

则B={x|m

14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.

答案 6

解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.

15.已知集合A=

,B={(x,y)|y=kx+m,k∈R,m∈R},若对任意实数k,A∩B≠∅,则实数m的取值范围是____________.

答案 [-

]

解析 由已知,无论k取何值,椭圆

=1和直线y=kx+m均有交点,故点(0,m)在椭圆

=1上或在其内部,∴m2≤2,∴-

≤m≤

.

16.已知A=

,B={x|x2-2x+1-a2≤0}(a>0),若A∪B=B,则实数a的取值范围是______.

答案 [5,+∞)

解析 由

>0可得(x-2)(x-6)<0,

∴2

又x2-2x+1-a2≤0可化为[x-(1-a)][x-(1+a)]≤0.

又a>0,∴B=[1-a,1+a].

由A∪B=B,得A⊆B,

∴a≥5.

∴实数a的取值范围是[5,+∞).

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