材料力学第五版课后习题答案.docx
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材料力学第五版课后习题答案
2、轴向拉伸和压缩
2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：
；；
（b）解：
；；
（c）解：
；。
（d）解：
。
2-2 试求图示等直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：
返回
2-3 试求图示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：
返回
2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EG横截面上的应力。
解：
=
1） 求内力
取I-I分离体
得 （拉）
取节点E为分离体
，
故（拉）
2） 求应力
75×8等边角钢的面积A=11.5cm2
（拉）
（拉）
返回
2-5（2-6） 图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：
返回
2-6（2-8） 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10GPa。
如不计柱的自重，试求：
（1）作轴力图；
（2）各段柱横截面上的应力；
（3）各段柱的纵向线应变；
（4）柱的总变形。
解：
（压）
（压）
返回
2-7（2-9） 一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长为。
试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。
解：
2-8（2-11） 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。
已知该杆材料的弹性常数为E，，试求C与D两点间的距离改变量。
解：
横截面上的线应变相同
因此
返回
2-9（2-12） 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知，，，。
试求C点的水平位移和铅垂位移。
解：
（1）受力图（a）
，。
（2）变形协调图（b）
因，故
=（向下）
（向下）
为保证，点A移至，由图中几何关系知；
返回
第三章 扭转
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12
3-1 一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为60kW，从动轮，Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。
试作轴的扭矩图。
解：
kN
kN
kN
kN
返回
3-2（3-3） 圆轴的直径，转速为。
若该轴横截面上的最大切应力等于，试问所传递的功率为多大
解：
故
即
又
故
返回
3-3（3-5） 实心圆轴的直径mm，长m，其两端所受外力偶矩，材料的切变模量。
试求：
（1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角；
（2）图示截面上A，B，C三点处切应力的数值及方向；
（3）C点处的切应变。
解：
=
返回
3-4（3-6） 图示一等直圆杆，已知，，，。
试求：
（1）最大切应力；
（2）截面A相对于截面C的扭转角。
解：
（1）由已知得扭矩图（a）
（2）
返回
3-5（3-12） 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者材料相同，受力情况也一样。
实心轴直径为d；空心轴外径为D，内径为，且。
试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力），扭矩T相等时的重量比和刚度比。
解：
重量比=
因为
即
故
故
刚度比=
=
返回
3-6（3-15） 图示等直圆杆，已知外力偶矩，，许用切应力，许可单位长度扭转角，切变模量。
试确定该轴的直径d。
解：
扭矩图如图（a）
（1）考虑强度，最大扭矩在BC段，且
（1）
（2）考虑变形
（2）
比较式
（1）、
（2），取
返回
3-7（3-16） 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D=140mm，内径d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。
外力偶矩，，。
已知：
，，。
试校核该轴的强度和刚度。
解：
扭矩图如图（a）
（1）强度
=
，BC段强度基本满足
=
故强度满足。
（2）刚度
BC段：
BC段刚度基本满足。
AE段：
AE段刚度满足，显然EB段刚度也满足。
返回
3-8（3-17） 习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力，切变模量，许可单位长度扭转角。
试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。
解：
由3-1题得：
故选用。
返回
3-9（3-18） 一直径为d的实心圆杆如图，在承受扭转力偶矩后，测得圆杆表面与纵向线成方向上的线应变为。
试导出以，d和表示的切变模量G的表达式。
解：
圆杆表面贴应变片处的切应力为
圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a）。
切应变
（1）
对角线方向线应变：
（2）
式
（2）代入
（1）：
返回
3-10（3-19） 有一壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为180。
试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。
已知材料的切变模量。
解：
3-11（3-21） 簧杆直径mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力作用，弹簧的平均直径为mm，材料的切变模量。
试求：
（1）簧杆内的最大切应力；
（2）为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。
解：
，
故
因为
故 圈
返回
3-12（3-23） 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩。
已知材料的切变模量，试求：
（1）杆内最大切应力的大小、位置和方向；
（2）横截面矩边中点处的切应力；
（3）杆的单位长度扭转角。
解：
，，
由表得
MPa
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第四章 弯曲应力
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 下页
4-1（4-1） 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。
解：
（a）
（b）
（c）
（d）
=
（e）
（f）
（g）
（h）
=
返回
4-2（4-2） 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：
（a）
（b）时
时
（c）
时
时
（d）
（e）时，
时，
（f）AB段：
BC段：
（g）AB段内：
BC段内：
（h）AB段内：
BC段内：
CD段内：
返回
4-3（4-3） 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
返回
4-4（4-4） 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
返回
4-5（4-6） 已知简支梁的剪力图如图所示。
试作梁的弯矩图和荷载图。
已知梁上没有集中力偶作用。
返回
4-6（4-7） 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。
返回
4-7（4-15） 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。
返回
4-8（4-18） 圆弧形曲杆受力如图所示。
已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。
解：
（a）
（b）
返回
4-9（4-19） 图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问：
（1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大最大弯矩等于多少
（2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大最大支反力和最大剪力各等于多少
解：
梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。
，得：
当时，
当M极大时：
，
则 ，故，
故为梁内发生最大弯矩的截面
故：
=
返回
4-10（4-21） 长度为250mm、截面尺寸为的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为的圆弧。
已知弹性模量。
试求钢尺横截面上的最大正应力。
解：
由中性层的曲率公式及横截面上最大弯曲正应力公式
得：
由几何关系得：
于是钢尺横截面上的最大正应力为：
返回
第五章 梁弯曲时的位移
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8
5-1（5-13） 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-4。
解：
（向下）
（向上）
（逆）
（逆）
返回
5-2（5-14） 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-5。
解：
分析梁的结构形式，而引起BD段变形的外力则如图（a）所示，即弯矩与弯矩。
由附录（Ⅳ）知，跨长l的简支梁的梁一端受一集中力偶M作用时，跨中点挠度为。
用到此处再利用迭加原理得截面C的挠度
（向上）
返回
5-3（5-15） 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-10。
解：
返回
5-4（5-16） 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-7中的。
解：
原梁可分解成图5-16a和图5-16d迭加，而图5-16a又可分解成图5-16b和5-16c。
由附录Ⅳ得
返回
5-5（5-18） 试按迭加原理求图示梁中间铰C处的挠度，并描出梁挠曲线的大致形状。
已知EI为常量。
解：
（a）由图5-18a-1
（b）由图5-18b-1
=
返回
5-6（5-19） 试按迭加原理求图示平面折杆自由端截面C的铅垂位移和水平位移。
已知杆各段的横截面面积均为A，弯曲刚度均为EI。
解：
返回
5-7（5-25） 松木桁条的横截面为圆形，跨长为4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为的均布荷载。
已知松
木的许用应力，弹性模量。
桁条的许可相对挠度为。
试求桁条横截面所需的直径。
（桁条可视为等直圆木梁计算，直径以跨中为准。
）
解：
均布荷载简支梁，其危险截面位于跨中点，最大弯矩为，根据强度条件有
从满足强度条件，得梁的直径为
对圆木直径的均布荷载，简支梁的最大挠度为
而相对挠度为
由梁的刚度条件有
为满足梁的刚度条件，梁的直径有
由上可见，为保证满足梁的强度条件和刚度条件，圆木直径需大于。
返回
5-8（5-26） 图示木梁的右端由钢拉杆支承。
已知梁的横截面为边长等于0.20m的正方形，，；钢拉杆的横截面面积。
试求拉杆的伸长及梁中点沿铅垂方向的位移。
解：
从木梁的静力平衡，易知钢拉杆受轴向拉力
40
于是拉杆的伸长为
=
木梁由于均布荷载产生的跨中挠度为
梁中点的铅垂位移等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移与中点挠度的和，即
返回
第六章 简单超静定问题
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 6-10 6-11 6-12 6-13
6-1 试作图示等直杆的轴力图。
解：
取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。
因为固定端不能移动，故变形协调条件为：
故
故
返回
6-2 图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为，和。
试求各杆的轴力。
解：
设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。
此时各杆的变形及如图所示。
现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。
即：
亦即：
将 ，，代入，得：
即：
亦即：
（1）
此即补充方程。
与上述变形对应的内力如图所示。
根据节点A的平衡条件有：
；
亦即：
（2）
；，
亦即：
（3）
联解
（1）、
（2）、（3）三式得：
（拉）
（拉）
（压）
返回
6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。
如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。
解：
因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件：
补充方程：
求解上述三个方程得：
返回
6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。
如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。
解：
，
（1）
又由变形几何关系得知：
，
（2）
联解式
（1），
（2），得，
故，
返回
6-5（6-7） 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。
已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。
试求短木柱的许可荷载。
解：
（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：
（1）
由木柱与角钢间的变形相容条件，有
（2）
由物理关系：
（3）
式（3）代入式
（2），得
（4）
解得：
代入式
（1），得：
（2）许可载荷
由角钢强度条件
由木柱强度条件：
故许可载荷为：
返回
6-6（6-9） 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离。
已知上、下两段杆的横截面面积分别为和，材料的弹性模量。
试作图示荷载作用下杆的轴力图。
解：
变形协调条件
故
故 ，
返回
6-7（6-10） 两端固定的阶梯状杆如图所示。
已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为，线膨胀系数℃-1。
试求当温度升高℃后，该杆各部分产生的应力。
解：
设轴力为，总伸长为零，故
==
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6-8（6-11） 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。
若，试求固定端的支反力偶矩，并作扭矩图。
解：
解除B端多余约束，则变形协调条件为
即
故：
即：
解得：
由于
故
返回
6-9（6-13） 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。
两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个角。
现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。
在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。
试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大已知管A和杆B的极惯性矩分别为；两杆的材料相同，其切变模量为G。
解：
解除Ⅱ端约束，则Ⅱ端相对于截面C转了角，（因为事先将杆B的C端扭了一个角），故变形协调条件为=0
故：
故：
故连接处截面C，相对于固定端Ⅱ的扭转角为：
=
而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角为：
=
应变能
=
=
返回
6-10（6-15） 试求图示各超静定梁的支反力。
解（a）：
原梁AB是超静定的，当去掉多余的约束铰支座B时，得到可静定求解的基本系统（图i）去掉多余约束而代之以反力，并根据原来约束条件，令B点的挠度，则得
到原超静定梁的相当系统（图ii）。
利用的位移条件，得补充方程：
由此得：
由静力平衡，求得支反力，为：
剪力图、弯矩图分别如图（iii），（iv）所示。
梁的挠曲线形状如图（v）所示。
这里遵循这样几个原则：
（1）固定端截面挠度，转角均为零；
（2）铰支座处截面挠度为零；
（3）正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸；
（4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。
（b）解：
由相当系统（图ii）中的位移条件，得补充方程式：
因此得支反力：
根据静力平衡，求得支反力：
,
剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。
（c）解：
由于结构、荷载对称，因此得支反力；
应用相当系统的位移条件，得补充方程式：
注意到，于是得：
=
剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。
其中：
若截面的弯矩为零，则有：
整理：
解得：
或。
返回
6-11（6-16） 荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。
已知其跨长比和刚度比分别为
解：
令梁在连接处受力为，则梁AB、CD受力如图（b）所示。
梁AB截面B的挠度为：
梁CD截面C的挠度为：
由于在铅垂方向截面B与C连成一体，因此有。
将有关式子代入得：
变换成：
即：
解得每个梁在连接处受力：
返回
6-12（6-18） 图示结构中梁AB和梁CD的尺寸及材料均相同，已知EI为常量。
试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。
解：
由EF为刚性杆得
即
图（b）：
由对称性，
剪力图如图（c）所示，
弯矩图如图（d）所示，
返回
6-13（6-21） 梁AB的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度时，试确定梁的约束反力。
解：
当去掉梁的A端约束时，得一悬臂梁的基本系统（图a）。
对去掉的约束代之以反力和，并限定A截面的位移：
。
这样得到原结构的相当系统（图b）。
利用位移条件，，与附录（Ⅳ）得补充式方程如下：
（1）
（2）
由式
（1）、
（2）联解，得：
从静力平衡，进而求得反力是：
返回
第七章 应力状态和强度理论
7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7 7-8 7-9 7-10 7-11 7-12 7-13
7-1（7-3） 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。
由于实用的原因，图中的角限于范围内。
作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。
现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。
为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大
解：
按正应力强度条件求得的荷载以表示：
按切应力强度条件求得的荷载以表示，则
即：
当时，，，
时，，，
时，，
时，，
由、随而变化的曲线图中得出，当时，杆件承受的荷载最大，。
若按胶合缝的达到的同时，亦达到的条件计算
则
即：
，
则
故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载。
返回
7-2（7-7） 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。
解：
=
由应力圆得
返回
7-3（7-8） 各单元体面上的应力如图
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