结构阻尼比.docx
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结构阻尼比
申请发明专利的，申请文件应当包括：
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第26卷第2期JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCKVol.26No.22007
结构动力有限元分析的阻尼建模及评价
基金项目:
11国家973项目2002CB412709资助;21教育部高等学校科技创新工程重大项目培育资金项目资助;国家自然科学基金资助（项目批准
号:
50678123）
收稿日期:
2006-01-25 修改稿收到日期:
2006-03-07
第一作者淡丹辉男,博士后,讲师,1972年1月生
淡丹辉, 孙利民
（同济大学土木工程防灾国家重点实验室,上海 200092）
摘 要 提出一种统一的阻尼模型的定量评价方法和评价指标,设计一套用于评价各种阻尼模型的标准测试案
例。
分析工程结构动力学建模过程中几种已有的阻尼模型和一种新的阻尼模型———单元化阻尼比法,给出其各自的程序
实现。
通过标准测试案例的数值测试,比较这些阻尼建模法的性能差异。
结果表明,阻尼特性单元化比总体考虑的阻尼
特性更趋合理,而单元化阻尼比法则在控制结构总体模态阻尼比方面具有优势。
关键词:
结构动力分析,阻尼模型,单元阻尼特性,整体阻尼特性
中图分类号:
P315.6 文献标识码:
A
一些特定的结构动力分析任务中,常常需要建立
精确的结构动力有限元模型。
建模的精度要求不只限
于刚度和质量,而且还涉及到阻尼。
在工程结构的振
动控制建模过程中,也需要对结构进行精确建模,即不
仅是要求结构的刚度和质量阵具有相当的精度,而且
还要求一定频率范围内的较多阶模态阻尼的精度有所
提高。
在模型修正和结构损伤识别为目的的动力有限
元建模中,由于需要从一定频率范围内（通常是100Hz
以下）的较多数阶模态中提取结构的特征信息,因此也
面临着包括阻尼在内的结构动力学精确建模问题,同样
需要对刚度、质量及阻尼的建模精度加以改善。
经过近
几十年的研究,已经提出了多种的阻尼表达方式,其中以
粘性阻尼最为常用。
Rayleigh阻尼、Clough广义阻尼等
都是将系统假设为比例阻尼来处理的,其对阻尼的建模
仍未摆脱少数振型精度尚可、大多数振型精度失控的困
境[1-2];Bermann和Nagy（1983）[3]、Liang（1992）[4-9]等
研究了非经典阻尼建模问题,对非比例、复杂阻尼情况进
行了研究,董军（2000）则提出了一个基于单元层次的阻
尼阵生成方法[10]。
作者在前人研究的基础上,也给出了
一种单元阻尼比阻尼模型（另文给出）。
所有这些已经提出的阻尼振型,按照阻尼阵生成
方法的不同可以被归结为四种类型,即总体Rayleigh
阻尼（比）法、单元Rayleigh阻尼（比）法、总体阻尼比法
和单元阻尼比法。
迄今为止,将这几种阻尼阵生成方
法加以比较的研究尚不多见,董在其研究中结合工程
实例说明了阻尼参数对时程响应的计算影响很大,但
没有给出几种阻尼模型的明确比较和评价。
本文从有
限元分析过程的角度,总结了这几种阻尼阵生成方式,
提出了评价阻尼建模优劣的评价方法和评价指标,编
制了程序,通过数值分析全面比较了这些不同阻尼模
型的性能表现。
1 阻尼模型的定量评价方法和评价指标
阻尼是反映结构体系振动过程中能量耗散特性的
重要参数,由于实际结构的能量耗散原因、形式的复杂
性,使得难以采用精确的方法对阻尼加以建模。
对于
较为简单的工程结构,目前公认的结论是,上部结构体
系具有在相当宽的频率范围内的模态阻尼比不变的特
性,而且偏于保守的,结构的下部阻尼不予考虑。
复杂
结构,可由几个保持模态阻尼比不变的特性子结构复
合而成,建模时可采用设定不同模态阻尼比的方式反
映不同子结构间阻尼特性的差异。
好的阻尼模型,由模型的复特征值分析而得到的
模态阻尼比应与阻尼建模时的模态阻尼比设定值相差
不大;而如果所建的阻尼阵使模态阻尼比设定值和计
算值相差甚远,则可以肯定该阻尼模型不能很好的模
拟真实的结构耗能情况。
因此,衡量各种不同的阻尼
建模方法（阻尼阵生成方式）的一个直观的方法便是,
比较模态阻尼比设定值和计算值。
由此,给出阻尼模
型的定量评价方法和评价指标如下:
设对结构模态阻尼比有确切把握的频率范围为
[ωm,ωn],结构落在此频率范围内的模态阶次为第m
到第n阶,确切知道的模态阻尼比为ζm,ζm+1,⋯,ζn,以
此为阻尼比设定值,生成阻尼阵,做系统复特征值分
析,由下式得到结构的模态阻尼比计算值:
ζ3
=-
Re（λi）
|λi|
=-
σmi
（σ2
mi+ω2
mdi）
（1）
式中,λi,σmi,ωmdi分别为系统的第i阶特征值、复模态
衰减系数和复模态阻尼频率,i=m,m+1,⋯,n,下标m
表示模态。
其中,
λi=σmi+ωmdi
（2）
定义阻尼模型的评价指标如下:
d=
1
n-m
·Σ
n
m
（ζi-ζ3
i）2（3）
它反映了阻尼比计算值与设定值之间的接近程度,d值
越大,说明二者离差就越大,计算值的效果就越差,相
应的阻尼模型就越差;反之,则说明该阻尼阵越逼近真
实系统的阻尼情形。
可见,d可以作为衡量阻尼模型的
性能优劣的指标。
此外,还必须给各阻尼阵生成方法一个标准统一
的标准测试案例,针对同一结构有限元模型,给出同一
套的阻尼比设定值,然后依照下述流程来评价:
图1 阻尼模型评价流程
2 有限元分析中的阻尼模型理论及实现
前已述及,在进行结构有限元建模时,按照生成阻
尼阵的顺序和方式的不同,可将其分为总体阻尼法和
单元阻尼法。
其中,总体阻尼法是在生成总体刚度阵
和总体质量阵以后在此基础上一次性形成总体阻尼
阵,它假设结构具有均布的阻尼特性;而单元阻尼法则
是在形成单元分析过程中产生单元阻尼阵,然后用与
单元刚度集组法同样的方法集组成总体阻尼阵。
按照
阻尼特性已知条件的不同,可有Rayleigh阻尼（比）法
和阻尼比法之分,前者只实现了任两阶（或少数阶）模
态阻尼比的建模控制,而后者则可以做到同时对任意
阶的模态阻尼比的建模控制。
通过组合,可以有四种
主要的阻尼阵建模方法,下面分述之。
211 总体Rayleigh阻尼（比）法
C=αM+βK（4）
情况1:
已知结构的整体Rayleigh阻尼系数α和β,
则直接利用上式生成整体阻尼阵。
情况2:
已知结构在第m,n阶的模态阻尼比ζm,
ζn
则可通过对应无阻尼情形下结构的第m,n阶频率
ωm和ωn,按公式求得结构的整体Rayleigh阻尼系数α、
β[1]。
这种生成方法只在第m,n阶才严格保证阻尼比
为已知值,而其它阶模态的模态阻尼比则并不能保证。
212 单元Rayleigh阻尼（比）法
情况1:
已知结构的单元Rayleigh阻尼系数αe、βe,
则直接利用下式生成单元阻尼阵。
Ce=αeMe+βeKe（5）
情况2:
已知结构每一单元在在第m,n阶的模态
阻尼比ζem、ζem,则可通过对应无阻尼情形下结构的第
m,n阶整体频率ωm和ωn,以及每一单元的局部频率
ωem和ωen,按公式求得结构的单元Rayleigh阻尼系数
αe和βe,这里,单元局部频率定义为ω2
ej
Ckej
mej
kej
CΦT
ej
KeΦej,mej
CΦT
ejMeΦej,ΦT
ej为第j振形向量ΦT
j中第e单
元自由度所对应的元素抽取而得的向量。
这种生成方
法同样只保证单元在第m,n阶的阻尼比,而其它阶模
态的模态阻尼比则并不能保证。
另外,对结构整体模
态而言,依据每一阶模态特征值而求得的等效模态阻
尼比ζ3
j并不等于各单元的同阶模态阻尼比已知值。
213 整体阻尼比法
设结构阻尼特性均匀,各阶模态阻尼比已知,分别
为:
ζ1,ζ2,⋯,ζi,⋯,ζn。
根据阻尼比的定义:
cj=2ζjmjkj（6）
式中,mj、kj分别为第j阶模态质量和模态刚度。
构
造模态阻尼阵c=diag（cj）,则,总体阻尼阵可由下式
生成:
C=（Φ-1）T·c·Φ-1（7）
214 单元阻尼比法
由于方法二单元Rayleigh法实际上只控制了单元
的少数几阶模态阻尼比,因此对阻尼的描述仍不够细,
本文作者给出了一种单元阻尼比法。
对结构的阻尼特性加以离散,并假设属于各单元
的各阶模态阻尼比已知,记为ζej,为单元e的第j阶模
态阻尼比设定值,j=m,m+1,⋯n,m≤n,m为已知阻
尼比的频率范围内结构模态阶次的上下界。
定义单元模态阻尼为:
cej=2ζejkejmej（8）
式中,kej和mej的定义同前。
构造矩阵Ce和
C
3
使:
Cc=diag（cej）（9）
C
3
=Σ
n
e
Ce（10）
式中,Ce表示单元e对复模态阻尼对角阵的贡献,
而C
3
则表示所有单元贡献的总和,即模态阻尼对角
阵。
总体阻尼阵可由下式近似生成:
C=（Φ-1）T·C
3
·Φ-1（11）
针对上述几种阻尼阵的产生办法,均用程序予以
实现,并结合其它有限元分析函数,形成了一套较为完
整的具有阻尼分析功能的动力学有限元程序工具包。
这些函数均用Matlab语言实现。
122振动与冲击 2007年第26卷
3 计算及讨论
311 标准测试问题
为了得出公平合理的比较,建立一个标准的测试
问题如下:
考虑一简支梁,其跨长L=30m,抗弯刚度EI
=3×1010N.m2,单位长质量ρA=6396kg/m。
针对此
问题进行有限元建模,沿梁长均匀划分为15个单元,
共45个动力自由度。
设各单元的阻尼特性相同,而且
从第一阶到第15阶模态之间拥有相同的阻尼比
为ζ=1%。
针对上述统一的标准问题,通过预先适当的变化
每个单元阻尼比设定值,使得程序可以适应单元阻尼
和整体阻尼两种情况。
312 结果及讨论
表1 不同阻尼建模法的复模态频率及模态衰减系数的比较
模态阻尼频率/（rad/s）
模态阶次123451112131415
无阻尼频率23.75195.005213.78275.49380.141527.71939.11970.92403.12570.7
方法一#123.7595.004213.74275.41379.94151519131943.62353.42509.7
方法二#323.7595.005213.77275.47380.091524.61932.61964.12390.82555.6
方法三23.75195.005213.78275.49380.141527.71939.11970.92403.12570.7
方法四23.7595213.77275.48380.121527.719391970.824032570.6
模态衰减系数
方法一#10.237510.950064.03846.580912.359196.73316.82327.3486.5556.68
方法二#30.237500.950044.03836.580812.340196.72316.8327.31486.5556.66
方法三0.237510.950052.13782.75493.801415.27719.39119.70924.03125.707
方法四0.237510.950052.13781.7623.801415.27719.39113.61124.03118.525
表
（1）给出分别用上述四种方法对标准测试问题进行
阻尼建模,然后再进行复特征值分析所得的结果。
丛表中
可以看出,不同的阻尼建模方法对结构的复模态特征值有
显著的影响,这种影响将随模态阶次的上升而明显。
这一
趋势从模态衰减系数上体现的尤其明显。
单从数据看,整
体Rayleigh阻尼模型和单元Rayleigh阻尼模型效果较差,
其第15阶阻尼频率已与对应的无阻尼频率相差2.37%。
整体阻尼比法可以精确地控制各阶的阻尼比,作者提出的
单元阻尼比法也可以较为精确的控制阻尼比,但从数值上
看,对某些阶的阻尼精度控制效果有所波动。
同样的结论还可以从图1～图6中看出,整体Ray2
leigh阻尼法和单元Rayleigh阻尼法只能精确地控制着
两阶模态的阻尼特性,其他阶模态则完全失去控制。
而整体阻尼比法和单元阻尼比法则可以实现同时对任
意阶模态的控制。
通过图1和图2、图3和图4的对比
可以看出,通过控制不同的阶次来生成Rayleigh阻尼
系数,可以较大程度上改善阻尼建模的精度。
图4和
图6两种单元阻尼模型的对比还说明,基于阻尼比的
单元阻尼模型在改善阻尼建模精度方面是优于单元
Rayleigh阻尼模型的。
图1 整体Rayleigh阻尼（控制1,2阶）图2 整体Rayleigh阻尼（控制1,3阶）图3 单元Rayleigh阻尼（控制1,2阶）
图4 单元Rayleigh阻尼（控制1,10阶）图5 整体阻尼比法图6 单元阻尼比法
（下转第137页）
第2期 淡丹辉等:
结构动力有限元分析的阻尼建模及评价123
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（上接第123页）
表2列出了按本文给出的几种阻尼模型的评价方法算
出的评价指标。
表中各所依据的计算条件完全相同,
从指标d数值上看,可以给出各模型在精度方面的顺
序,即:
整体阻尼比模型,单元阻尼比模型,单元Ray2
leigh阻尼模型和整体Rayleigh阻尼模型。
还可看出,
通过控制不同阶模态的阻尼比来生成Rayleigh阻尼的
办法可以降低d值,从而显著改善阻尼模型的精度;单
元Rayleigh阻尼模型和整体Rayleigh阻尼模型相比建
模精度相当,但前者显然可以应用复杂的具有分布式
阻尼特性的工程结构;单元阻尼比法对阻尼精度的控
制程度虽然比整体阻尼比法有一定的削弱,但和两种
Rayleigh阻尼法相比有了大幅度的改善。
表2 阻尼模型的评价指标（1到45阶）
方法一#1方法一#2方法二#3方法二#4方法三方法四
设定值ζ0.010.010.010.010.010.01
ζ3（1到
15阶平均）0.09210.0460.09200.00410.010.0089
d（1到
15阶）0.10680.04960.10310.0063
1.776
×10-80.0019
注:
以上#1、#2分别是控制1,2阶和控制1,3阶计算得到
Rayleigh阻尼系数;#3、#4分别是各单元控制1,2阶和1,10阶
计算得到整体名义Rayleigh阻尼系数
将表2的结果与前面的结果比较,也说明了本文
给出的阻尼模型评价方法是可行的。
4 结 论
通过比较研究,表明:
1）不同的阻尼建模方法对结构动力学有限元模
型的精度有显著影响,应该对此影响加以考虑。
2）单元阻尼法,尤其是作者提出的单元阻尼比,
不仅可控制阻尼建模的精度,而且还可以考虑分布式
阻尼情形,实现非经典阻尼建模,这对实际的工程结构
来说更有意义,是一个有前途的方法。
现行的大多数有限元程序或软件中均是以整体
Rayleigh阻尼法为基础建立结构的动力学模型的,如何
将其它阻尼建模法溶入现行程序中,还是一个需要进
一步研究的问题。
致谢:
本文的研究受到了周海俊博士、周亚刚博士
的支持和帮助,在此表示诚挚的感谢!
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