高考数学大一轮复习 43三角函数的图象与性质学案 理 苏教版.docx

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高考数学大一轮复习43三角函数的图象与性质学案理苏教版

2019-2020年高考数学大一轮复习4.3三角函数的图象与性质学案理苏教版

导学目标：

1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间

内的单调性．

自主梳理

1．周期函数

（1）周期函数的定义

对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定域内的每一个x值，都满足__________，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期．

（2）最小正周期

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f（x）的最小正周期．

2．三角函数的图象和性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性

在______________上增，在______________上减

在_____________上增，

在_____________上减

在定义域的每一个区间____________________内是增函数

对称性

对称中心

（kπ，0）

（k∈Z）

（kπ＋

，0）

（k∈Z）

（

，0）

（k∈Z）

对称轴

x＝kπ＋

，

（k∈Z）

x＝kπ，

（k∈Z）

无

1．设点P是函数f（x）＝sinωx（ω≠0）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是

，则f（x）的最小正周期是________．

2．函数y＝3－2cos（x－

）的最大值为________，此时x＝________.

3．函数y＝tan（

－x）的定义域是________．

4．比较大小：

sin（－

）________sin（－

）．

5．如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点

中心对称，那么|φ|的最小值为________．

探究点一　求三角函数的定义域

例1　求函数y＝＋

的定义域．

变式迁移1　函数y＝

＋lg（2sinx－1）的定义域为________________________．

探究点二　三角函数的单调性

例2　求函数y＝2sin

的单调区间．

变式迁移2　

（1）求函数y＝sin

，x∈[－π，π]的单调递减区间；

（2）求函数y＝3tan

的周期及单调区间．

探究点三　三角函数的值域与最值

例3　已知函数f（x）＝2asin（2x－

）＋b的定义域为[0，

]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．

变式迁移3　设函数f（x）＝acosx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g（x）＝bsin（ax＋

）的周期．

转化与化归思想

例　（14分）求下列函数的值域：

（1）y＝－2sin2x＋2cosx＋2；

（2）y＝3cosx－

sinx，x∈[0，

]；

（3）y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.

【答题模板】

解　

（1）y＝－2sin2x＋2cosx＋2＝2cos2x＋2cosx

＝2（cosx＋

）2－

，cosx∈[－1,1]．

当cosx＝1时，ymax＝4，当cosx＝－

时，ymin＝－

，

故函数值域为[－

，4]．[4分]

（2）y＝3cosx－

sinx＝2

cos（x＋

）．

∵x∈[0，

]，∴

≤x＋

≤

，∵y＝cosx在[

，

]上单调递减，

∴－

≤cos（x＋

）≤

，∴－

≤y≤3，故函数值域为[－

，3]．[9分]

（3）令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝

，且|t|≤

.

∴y＝t＋

＝

（t＋1）2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；

当t＝

时，ymax＝

＋

.

∴函数值域为[－1，

＋

]．[14分]

【突破思维障碍】　

1．对于形如f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝asinωx＋bcosωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝

sin（ωx＋φ）＋c的形式，从而求得函数的最值．

2．关于y＝acos2x＋bcosx＋c（或y＝asin2x＋bsinx＋c）型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．

给你提个醒！

不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．

1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式（组）．

2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sinx的单调区间来求．

（满分：

90分）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

2．（xx·江苏6校高三联考）已知函数y＝tanωx（ω>0）与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f（x）＝

sinωx－cosωx的单调增区间是________．

3．（xx·江苏四市联考）若函数f（x）＝2sinωx（ω>0）在[－

，

]上单调递增，则ω的最大值为________．

4．把函数y＝cos（x＋

）的图象向左平移φ（φ>0）个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是________．

5．关于函数f（x）＝4sin（2x＋

）（x∈R）有下列命题：

（1）由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2必是π的整数倍；

（2）y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x－

）；

（3）y＝f（x）的图象关于点（－

，0）对称；

（4）y＝f（x）的图象关于x＝－

对称．

其中正确命题的序号是________．（把你认为正确的命题序号都填上）

6．（xx·泰州调研）定义函数f（x）＝

给出下列四个命题：

①该函数的值域为[－1,1]；

②当且仅当x＝2kπ＋

（k∈Z）时，该函数取得最大值；

③该函数是以π为最小正周期的周期函数；

④当且仅当2kπ＋π

（k∈Z）时，f（x）<0.

上述命题中正确的个数为________．

7．函数f（x）＝2sin

对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1－x2|的最小值为________．

8．（xx·江苏）定义在区间

上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．

二、解答题（共42分）

9．（14分）（xx·福建改编）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋

）＋a（ω>0）与g（x）＝2cos（2x＋φ）＋1的图象的对称轴完全相同．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数f（x）的单调递减区间；

（3）当x∈[0，

]时，f（x）的最小值为－2，求a的值．

10．（14分）已知函数f（x）＝

，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．

11．（14分）（xx·宿迁高三二模）已知向量a＝（sinx，2

sinx），b＝（2cosx，sinx），定义f（x）＝a·b－

.

（1）求函数y＝f（x），x∈R的单调递减区间；

（2）若函数y＝f（x＋θ）（0<θ<

）为偶函数，求θ的值．

答案自主梳理

1．

（1）f（x＋T）＝f（x）　T　

（2）最小的正数　最小的正数

2．R　R　{x|x≠kπ＋

，k∈Z}　[－1,1]　[－1,1]　R　2π　2π　π　奇函数　偶函数　奇函数　[2kπ－

，2kπ＋

]（k∈Z）　[2kπ＋

，2kπ＋

π]（k∈Z）　[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）　[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）　（kπ－

，kπ＋

）（k∈Z）

自我检测

1．π　2.5　

＋2kπ（k∈Z）　3.{x|x≠kπ＋

，k∈Z}

4．>　5.

课堂活动区

例1　解题导引　求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式（组）求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．

解　要使函数有意义，

则

得

所以函数的定义域为

.

变式迁移1　

，k∈Z

解析　由题意得

⇒

，

解得

，

即x∈

，k∈Z.

例2　解题导引　求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω>0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：

①把“ωx＋φ（ω>0）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与y＝sinx（x∈R），y＝cosx（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．

解　方法一　y＝2sin

化成y＝－2sin

.

∵y＝sinu（u∈R）的递增、递减区间分别为

（k∈Z）、

（k∈Z），

∴令2kπ＋

≤x－

≤2kπ＋

（k∈Z），

解得2kπ＋

≤x≤2kπ＋

（k∈Z），

令2kπ－

≤x－

≤2kπ＋

（k∈Z），

解得2kπ－

≤x≤2kπ＋

（k∈Z）．

∴函数y＝2sin

的单调递减区间、单调递增区间分别为

（k∈Z）、

（k∈Z）．

方法二　y＝2sin

可看作是由y＝2sinu与u＝

－x复合而成的．又∵u＝

－x为减函数，

∴由2kπ－

≤u≤2kπ＋

（k∈Z），

即2kπ－

≤

－x≤2kπ＋

（k∈Z），

得－2kπ－

≤x≤－2kπ＋

（k∈Z），

即

（k∈Z）为

y＝2sin

的递减区间．

由2kπ＋

≤u≤2kπ＋

（k∈Z），

即2kπ＋

≤

－x≤2kπ＋

（k∈Z），

得－2kπ－

≤x≤－2kπ－

（k∈Z），

即

（k∈Z）为

y＝2sin

的递增区间．

综上可知，y＝2sin

的递增区间为

（k∈Z）；

递减区间为

（k∈Z）．

变式迁移2　解　

（1）由y＝sin

，

得y＝－sin

，

由－

＋2kπ≤2x－

≤

＋2kπ

得－

＋kπ≤x≤

＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，

∴－π≤x≤－

π，－

≤x≤

π，

π≤x≤π.

∴函数y＝sin

，x∈[－π，π]的单调递减区间为

，

，

.

（2）函数y＝3tan

的周期T＝

＝4π.

由y＝3tan

得y＝－3tan

，

由－

＋kπ<

－

<

＋kπ得

－

π＋4kπ

π＋4kπ，k∈Z，

∴函数y＝3tan

的单调递减区间为

（k∈Z）．

例3　解题导引　解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的最值，再由方程的思想解决问题．

解　∵0≤x≤

，∴－

≤2x－

≤

π，

∴－

≤sin（2x－

）≤1，