最新平行线经典四大模型典型例题及练习.docx
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最新平行线经典四大模型典型例题及练习
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平行线四大模型
平行线的判定与性质
l、平行线的判定
根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线
无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单
易行的判定方法来判定两直线平行．
判定方法 l：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：
同位角相等，两直线平行．
判定方法 2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：
内错角相等，两直线平行，
判定方法 3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：
同旁内角互补，两直线平行，
如上图：
若已知∠1=∠2，则 AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
若已知∠1=∠3，则 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
若已知∠1+ ∠4= 180°，则 AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
另有平行公理推论也能证明两直线平行：
平行公理推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2、 平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反
过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同
旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．
性质 1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：
两直线平行，同位角相等
性质 2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：
两直线平行，内错角相等
性质 3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：
两直线平行，同旁内角互补
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本讲进阶平行线四大模型
模型一“铅笔”模型
点 P 在 EF 右侧，在 AB、 CD 内部
“铅笔”模型
结论 1：
若 AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论 2：
若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则 AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型（M 模型）
点 P 在 EF 左侧，在 AB、 CD 内部
结论 1：
若 AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论 2：
若∠P=∠AEP+∠CFP，则 AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
“猪蹄”模型
点 P 在 EF 右侧，在 AB、 CD 外部
结论 1：
若 AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论 2：
若∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P=∠CFP-∠AEP，则 AB∥CD.
模型四“骨折”模型
“臭脚”模型
点 P 在 EF 左侧，在 AB、 CD 外部
结论 1：
若 AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论 2：
若∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P=∠AEP-∠CFP，则 AB∥CD.
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“骨折”模型
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巩固练习平行线四大模型证明
（1） 已知 AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°
.
（2） 已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证 AE∥CF．
（3） 已知 AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.
（4）已知 ∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证 AE //CF .
模块一平行线四大模型应用
例 1
（1）如图，a∥b,M、N 分别在 a、b 上，P 为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3=．
（2）如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E 的度数是．
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（3）如图，已知 AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD=.
（4） 如图，射线 AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P=．
练
（1）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB 的度数为．
（2）（七一中学 2015-2016 七下 3 月月考）
如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=.
例 2
如图，已知 AB∥DE，BF、 DF 分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、 ∠F 的关系.
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练
如图，已知 AB∥DE，∠FBC=
1 1
n n
（1）若 n=2,直接写出∠C、∠F 的关系；
（2）若 n=3，试探宄∠C、∠F 的关系；
（3）直接写出∠C、∠F 的关系（用含 n 的等式表示）.
例 3
如图，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABC，DE 平分∠ADC．求证：
∠E= 2 （∠A+∠C） .
练
如图，己知 AB∥DE，BF、DF 分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F 的关系.
例 4
如图，∠3==∠1+∠2，求证：
∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．
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练
（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE 平分∠BAD 交 BC 于 E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，
M、N 分别是 BA、 CD 的延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线相交于点 F 则∠F 的度数为（）．
A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°
模块二平行线四大模型构造
例 5
如图，直线 AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则
∠GHM=.
练
如图，直线 AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG=.
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例 6
已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：
AB∥EF．
练
已知 AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4 的度数.
（1）如图（l），已知 MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An，∠B1、∠B2…∠Bn-1 之间的
关系．
（2）如图
（2），己知 MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2 之间的关系．
（3）如图（3），已知 MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An 之间的关系．
如图所示，两直线 AB∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．
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挑战压轴题
（粮道街 2015—2016 七下期中）
如图 1，直线 AB∥CD，P 是截线 MN 上的一点，MN 与 CD、AB 分别交于 E、F．
（1） 若∠EFB=55°，∠EDP= 30°，求∠MPD 的度数；
（2） 当点 P 在线段 EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于 Q,问：
求出定值；若不是，说明其范围；
∠Q
∠DPB
是否为定值？
若是定值，请
（3） 当点 P 在线段 EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于 Q，问
在图 2 中将图形补充完整并说明理由．
∠Q
∠DPB
的值足否定值，请
第一讲
平行线四大模型（课后作业）
1.如图，AB // CD // EF ,EH⊥CD 于 H ,则∠BAC+∠ACE +∠CEH 等于（）.
A. 180°B. 270°C. 360°D. 450°
2．（武昌七校 2015-2016 七下期中）
2
33
A．2:
1B．3:
1C．4:
3D．3:
2
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3.如图 3，己知 AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=.
4.如图，已知直线 AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E=．
5．
6．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α .
7．
8．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B=.
9．
10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3 的度数为.
11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F 的度数为．
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9.如图，若 AB∥CD， ∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C 的度数.
10．已知，直线 AB∥CD．
（1）如图 l，∠A、∠C、∠AEC 之间有什么关系？
请说明理由；
（2）如图 2，∠AEF、∠EFC、∠FCD 之间有什么关系？
请说明理由；
（3）如图 3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C 之间的关是.
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