电路的暂态分析.docx

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电路的暂态分析

第2章电路的暂态分析

本章主要分析RC和RL一阶线性电路的过渡过程，重点是分析电子技术中广泛应用的RC一阶电路在

阶跃电压作用下的过渡过程。

了解一阶电路在过渡过程中电压和电流随时间变化的规律，并能确定电路的时间常数、初时值和稳态值三个要素，会用三要素法计算RC、RL一阶电路。

2.1概述

2.1.1过渡过程的概念

自然界一切事物的运动，在特定条件下处于一种稳定状态，一旦条件改变，就要过渡到另一种新的稳定状态。

在电阻和电容或电阻和电感构成的电路中，当电源电压或电流恒定或作周期性变化时，电路中的电压和电流也都是恒定的或按周期性变化。

电路的这种状态称为稳定状态，简称稳态。

然而这种具有储能元件（L或C）的电路在电路接通、断开，或电路的参数、结构、电源等发生改变时，电路不能从原来的稳态立即达到新的稳态，需要经过一定的时间才能达到。

这种电路从一个稳态经过一定时间过渡到另一新的稳态的物理过程称为电路的过渡过程。

和稳态相对应，电路的过渡状态称为暂态。

而研究电路的过渡过程中电压或电流随时间的变化规律，即在Owt的时间领域内的v（t）、i（t）称之为暂态分析。

2.1.2过渡过程的产生

电路中的过渡过程是由于电路的接通、断开、短路、电源或电路中的参数突然改变等原因引起的。

我们把电路状态的这些改变统称为换路。

然而，并不是所有的电路在换路时都产生过渡过程，换路只是产生过渡过程的外在原因，其内因是电路中具有储能元件电容或电感。

我们知道储能元件所储存的能量是不能突变的。

因为能量的突变意味着无穷大功率的存在，即p=dw/dt=g,这在实际中是不可能的。

由于换路时电容和电感分别所储存的能量icvC和儿2不能突变，则电容电压vC和电感电流iL只能

连续变化，而不能突变。

由此可见，含有储能元件在换路时产生过渡过程的根本原因是能量不能突变。

需要指出的是，由于电阻不是储能元件，因而纯电阻电路不存在过渡过程。

另外，由于电容电流

iCcdVC，电感电压v,，所以电容电流和电感电压是可以突变的（是否突变，由电路的具体结构而

CdtLdt

定）。

2.1.3暂态分析的意义

过渡过程又称暂态过程，主要是由于过程短暂，但在工程中颇为重要。

一方面，在电子技术中常利用RC电路的暂态过程来实现振荡信号的产生、信号波形的变换或产生延时做成电子继电器等。

另一方面，电路在暂态过程中也会出现过高的电压或过大的电流的过电压或过电流现象，而过电压或过电流有时会损坏电气设备，造成严重事故。

因此，分析电路的暂态过程，目的在于掌握规律以便工作中用其“利”，克

其“弊”。

2.2初始值和稳态值的确定

2.2.1换路定则及电容电压和电感电流初始值的确定

如前所述，电容电压Vc和电感电流iL只能连续变化，而不能突变。

今设t=0为换路瞬间，而以t0表示换路前的终了瞬间，t0表示换路后的初始瞬间。

在t0到t0的换路瞬间，电容元件的电压和

电感元件的电流不能突变。

这就是换路定则，如用公式表示，则为

（2-1）

必须指出的是，换路定则只能确定换路瞬间

Vc（0）Vc（0）iL（0）iL（0）

t0时不能突变的Vc和iL初始值。

而Vc（0）或iL（0）需根据

换路前终了瞬间的电路进行计算。

2.2.2根据0电路确定其它电压和电流的初始值

在换路瞬间电路中其它电压和电流（如ic、

路的具体结构而定）。

由换路定则确定了电容电压电流的初始值可按以下原则计算确定：

1.首先作出换路后初始瞬间的0

电路。

VL、VR、

Vc（0

iR等）的初始值是可以突变的（是否突变，由电

）或电感电流iL（0）初始值后，电路中其它电压和

在0电路中，电容元件视为恒压源，其电压为

VC（0

）。

如果Vc（0）0,电容元件视为短路。

在0电路中，电感元件视为恒流源，其电流为

iL（0

）。

如果iL（0）0，电感元件视为开路。

2.应用电路的基本定律和基本分析方法，在下面举例加以说明

例2-1确定图2-1（a）所示电路在换路后（

0电路中计算其它各电压和电流的初始值。

S闭合）各电流和电压的初始值。

解：

（1）作t0时的电路，如图

2-1（b）

所示。

在t0

时，电路为前一稳态，而直流稳态电路中，

电容元件可视为开路，电感元件视为短路。

所以由换路定则

iL（0）iL（0）

5mA

iL（0）R35210V

叫

10mA

Vc（0）Vc（0

T2KQ

1KQ2KQ

bs/

□

vlU

（a）

（c）t0

0时电路，

如图2-1

（c）

所示。

用基本疋律计算其匕初始值

iR（0）

0,VR1（0）

ic（0）

Vc（0）

10mA

is（0）

ISiRiC

100（10）515mA

Vl（0）

iL（0）R3

210V

图2-1

（2）作t

（b）t0

例2-1的电路

上例可见，计算t0时电压和电流的初始值，需计算t0时的iL和Vc,因为它们不能突变，是连续

的。

而

t0时其它电压和电流与初始值无关，不必去求，只能在

t0的电路中计算。

例2-2确定图2-2（a）所示电路中各电流和电压的初始值。

设开关S闭合前电感元件和电容元件均未

储能。

SRiiR

（a）t0

SRiiR

（b）t0

图2-2例2-2的电路

解：

（1）由t0的电路，即图2-2（a）所示的开关S未闭合的电路得知：

vC（0）vC（0）0，

iL（0）iL（0）0

（2）在图2-2（b）所示的t0的电路中，由于电容电压和电感电流的初始值为零，所以将电容元件短路，将电感元件开路，于是得出其它各个初始值：

Vs12

iR（0）ic（0）S2A

RiR224

vl（0）ic（0）R2248V

2.2.3电路稳态值的确定

电路进入新的稳定状态，这时各元件电压和电流的值称为稳态值（或终值）。

当电路的过渡过程结束后，

例2-3试求图

稳态值也是分析一阶电路过渡过程规律的重要要素之一。

本章仅研究直流电路中的过渡过程，因此，这里只总结直流电源作用下稳态值的求法。

2-3（a）所示电路在过渡过程结束后，电路中各电压和电流的稳态值。

解：

在图2-3（b）所示t=R时的稳态电路中，由于电容电流和电感电压的稳态值为零，所以将电容元件开路，电感元件短路，于是得出各个稳态值：

ic（）

Vl（）

Vc（）

iL（）R3

12“

iR（）

iL（）

RiR3

2.3RC电路的暂态分析

2.3.1—阶电路的三要素公式

图2-4是一个简单的RC电路。

设在t=0时开关S闭合,路电压方程

iRVcVs

则可列出回

由于iCcdvc，所以有

OVs

图2-4RC电路

dvc

"dT

vCVS

该式是一阶常系数非齐次线性微分方程，解此方程就可得到电容电压随时间变化的规律。

这种只含一个储能元件或者可简化为一个储能元件的电路所列出的方程是一阶方程，因此常称这类电路为一阶电路。

该方程的解由特解VC和通解VC两部分组成，即vc（t）vcvc

特解VC是方程的任一个解。

因为电路的稳态值也是方程的解，且稳态值很容易求得，故特解取电路的稳态解，也称稳态分量，即

VCVc（t）t

Vc（）

vc为方程对应的齐次方程

dvC

RC—CvC0dt

的通解。

其解的形式是Aept,其中A是待定系数，p是齐次方程所对应的特征方程

RCp+1=0

的特征根，即

11p

因此通解可写为

VC为暂态分量。

上式中t=RC,具有时间量纲，称为RC电路的时间常数。

vcAe

可见Vc是按指数规律衰减的，它只出现在过渡过程中，通常称

由此，稳态分量加暂态分量就得到方程的全解，即

vc（t）vc（）Ae

式中常数A可由初始条件确定。

设开关

S闭合后的瞬间为

（2-2）

t0，此时电容的初始电压（即初始条件）为

Vc（0），则在t0时有

Vc（0）vc（）A

故AVc（0）Vc（）

将A值代入（2-2）全解式中，就得到求解一阶RC电路过渡过程中电容电压的通式，即

VC（t）VC（）VC（0）VC（）e（2-3）

由上式可以看出，只要求出初始值、稳态值和时间常数这三个要素，代入（2-3）式就能确定vc的解

析表达式。

事实上，一阶电路中的电压或电流都是按指数规律变化的，都可以利用三要素来求解。

这种利用上述三个要素求解一阶电路电压或电流随时间变化的关系式的方法就是所谓三要素法。

其一般形式为：

（2-4）

f（t）f（）f（0）f（）e

这里f（t）既可代表电压，也可以代表电流。

三要素法具有方便、实用和物理概念清楚等特点，是求解一阶电路常用的方法。

以RC电路为例，需要指出的是：

1•初始值vc（0）vc（0），即求换路前终了瞬间电容上的电压vc（0）值。

如果换路前电路已处于稳

态，vc（0）就是换路前电容两端的开路电压。

求出vc（0）后，其它电压或电流的初始值可由换路瞬间的0

电路中求得。

2.稳态值vc（s），即求换路后稳态时电容两端的开路电压。

其它电压或电流的稳态值也可在换路后的稳态电路中求得。

3•时间常数T=RC,其中R应是换路后电容两端除源网络的等效电阻（即戴维宁等效电阻）。

当R

的单位是欧姆（Q）,C的单位是法拉（F）时，t的单位是秒（S）。

t的大小反映了过渡过程进行的快慢，

在RC电路中，T愈大，充电或放电就愈慢，T愈小，充电或放电就愈快。

从理论上讲只有当tis时，电容电压才能达到稳态值。

但实际上通过计算可知，t为T、3t、5t

时：

vc（）vc（）

vc（0）vc（）e

vc（）0.368vc（）vc（0）

vc（3）

vc（）0.05vc（）vc（0）

vc（5）vc（）

0.07vc（）

vc（0）

假设vc（0）0,可以从式中明显看出，当t=（3〜5）T时，认为经过（3〜5）t后电路的过渡过程已经结束，电路已经态了。

图2-5画出了vc（）Vs,vc（0）0时，vc（t）随时线。

时间常数T的物理意义是很明显的，当电源电压一定要储存的电场能量愈多，将此能量储存或释放所需时间就充电或放电的电流就愈小，充电或放电所需时间也就愈长。

路中的时间常数T正比于R和C之乘积。

适当调节参数R

（2-5）

vc与稳态值仅差5%〜0.7%,在工程实际中通常

图2-5v（t）随时间变化的曲线

进入稳定状间变化的曲

时，c愈大，愈长。

R愈大，因此，RC电和C,就可控

制RC电路过渡过程的快慢。

2.3.2一阶RC电路的响应

下面对一阶RC电路过渡过程中电压、电流的变化规律进一步加以讨论。

在电路分析中，通常将电路在外部输入（常称为激励）或内部储能的作用下所产生的电压或电流称为响应。

本节讨论的换路后电路中电压或电流随时间变化的规律，称为时域响应。

三要素法公式就是时域响应表达式。

如果电路没有初始储能，仅由外界激励源（电源）的作用产生的响应，称为零状态响应。

如果无外界激励源作用，仅由电路本身初始储能的作用所产生的响应，称为零输入响应。

既有初始储能又有外界激励所产生的响应称为全响应。

下面分别讨论。

1.RC电路的零状态响应

图2-6（a）所示电路中，在t=0时开关S闭合后接通直流电源Vs,电容C开始充电。

此时实为输入一个阶跃电压v,如图2-6（b）所示。

由于电容C无初始储能，vc（0）vc（0）0。

当电路达到稳态时，电容充电结束，i（）0,vc（）Vs。

时间常数t=RC。

根据三要素公式，可求出在电源Vs的激励下的零状态响应为

vc（t）vc（）（1e_）Vs（1e祝）（2-6）

上式表明，电容充电时，电容电压按指数规律上升，最终达到稳态值Vs,但上升速度与时间常数t有关。

电容的充电i可以从vc直接求得，而vr可从i求得

VsRC

（2-7）

dvcVc（）-Rc-

i（t）CcceRCdtR

VR（t）iRVseRC

可见，开关S闭合瞬间c相当于短路，电阻电压最大为Vs,充电电流最大为Vs/R,稳态后电阻电压和电

流均零。

vc、i和vr、的变化曲线如图2-6（c）所示，它们是按指数规律上升或衰减的，其上升或衰减的速度由时间常数t决定，在同一电路中各相响应的t是相同的。

（a）

图2-6

（b）

RC电路的零状态响应

I丄

vcC

（c）

2.RC电路的零输入响应

□i

■

Vc#-

—C

（a）

Vc（0-）=Vs。

在t=0

（a）=0。

于是可求得电路的零输入响vc、i和vr、的变化曲线如图2-7（b）所

图2-7RC电路的零输入响应

如图2-7（a）所示电路t<0时原处于稳态，即电容充电完毕时开关S动作将RC电路短接，电容C对电阻R放电，稳态时应为式中的负号表示电流及电阻电压的参考方向与实际方向相反。

示。

Vc⑴Vc（0

VR（t）iR

）eVse

VseRC

（2-8）

dvc

i（t）Cdt

vc（0）

VSeRC

）VS1，vc（

RC,则电路的全响应为

3.Rc电路的全响应图2-8（a）所示Rc电路,

vc（0）vc（0

Vs2）eRCVs2（Vs,Vs2）eRC

Vc（t）VsieRC

Vs2（1eRC）

（2-9）

S（t=0）

（a）

图2-8Rc电路的全响应例图

可见全响应等于稳态分量加暂态分量，或等于零输入响应和零状态响应相加。

也就是说，可以分别求出零输入响应和零状态响应，将两者相加就是全响应。

同理可求出电流

2-8（b）所示。

下面举例说明三要素法的的应用。

例2-4图2-9（a）所示电路原处于稳态，在t=0时将开关

电流，并画出其变化曲线。

解：

用三要素法求解

（1）vc（t）

i和电阻电压vr、。

vc的变化曲线如图

S闭合，试求换路后电路中所示的电压和

①

求vc（0）。

由图2-9（b）可得

Vc（0）Vc（0）Vs

12V

②

求Vc（）。

由图2-9（

c）可得

6“

Vc（）2Vs-

T。

③

求t。

R应为换路后电容两端的除源网络的等效电阻，见图

2-9（d）可得

24KQ

RC410351062102S

RRi//R2R3

+（）：

；V

oVs

12V

3KQ

R26KQ

（a）

5旷T卄

2KQ

6KQ

VC（）

（）

6KQ

12V

vc（0）

（b）

3KQ

2KQ

6KQ

（c）

84e50t（V）

t所以电容电压Vc（t）Vc（）Vc（0）Vc（）e"

图2-9例2-4的电路

（2）ic（t）

电容电流ic（t）可用三要素法，也可由ic（t）c竽求得

dvCic⑴C-dT

（3）求ii（t）、电流ii（t）、

i2（t）

icR3

ii（t）

i2ic

（t）。

可用三要素法，也可有ic

1e50t284e50t

50t1e50t4

（t）、

（t）求得

50t‘

（mA）

50t

（mA）

1e50t（mA）

Vc（）Vc（0）81250t

（a）

（c）

（b）

例2-4的电压、电流的变化曲线

（t）的变化曲线如图2-10所示。

1（R1

R3）C

（0.50.5）103

0.1106

0.1ms

图2-10

vc（t）、ic（t）、i1（t）和i2

例2-5在图2-11（a）的电路中，开关S原处于位置3，电容无初始储能。

在t=0时，开关接到位置

1,经过一个时间常数的时间，又突然接到位置2。

试写出电容电压vc（t）的表达式，画出变化曲线，并

求开关S接到位置2后电容电压变到0V所需的时间。

解：

（1）先用三要素法求开关S接到位置1时的电容电压VC1

Vc1（0）vc1（0）0

Vc1（）Vs110V

丄t

则vC1（t）vC1（）vC1（0）vC1（）e110（1e0J）V（t以ms计）

（2、在经过一个时间常数t1后，开关S接到位置2,用三要素法求电容电压VC2

Vc2（

1）

VC2（1

）

10（1

e1）6.32V

Vc2（

）

（R2

R3）c

（1

0.5）

1030.11060.15ms

t1t0.1

则Vc2（t）VC2（）VC2

（1）VC2（）e2（511.32e拆）V

所以，在0Wt时电容电压的表达式为

10（1e0.1）V（0t0.1mA）

t0.1

（-511.32e0.15）V（t0.1mA）

在电容电压变到0V时，即

t0.1

511.32e°.150

解得t0.10.15ln0.22ms

11.32

VC（t）的变化曲线如图2-11（b）所示

（a）（b）

Vi的脉冲幅路相当于电压为

过程很快峰值为V

当于电容

出Vo是

比，因此习

图2-11例2-5的电路和vc的变化曲线

2.4微分电路与积分电路

RC一阶电路在周期性矩形脉冲信号（脉冲序列信号）作用下的电路是常见的一种电路。

2.4.1微分电路

把RC联成如图2-12（a）所示电路。

输入信号Vi是占空比为50%的脉冲序列。

所谓占空比是指tw/T

的比值，其中tw是脉冲持续时间（脉冲宽度），T是周期。

度为V，其输入波形如图2-12（b）所示。

在OWt

由RC电路的零状态响应，我们知道其输出

VoVe0ttw

当时间常数T<

的正尖脉冲，波形如图2-12（b）所示。

在T>t>tw时，输入信号vi为零，输入端短路，电路相初始电压值为V的零输入响应，其输出电压为

ttw

VoVeTttw

当时间常数T<

个峰值为-V的负尖脉冲，波形如图2-12（b）所示。

因为T<

而voiRRC-dVCRC竺（2-10）

dtdt

上式表明，输出电压Vo近似与输入电压Vi的微分成正惯上称这种电路为微分电路。

在电子技术中，常用微分电路把矩形波变换成尖脉冲，作为触发器的触发信号，或用来触发可控硅（晶

闸管），用途非常广泛。

应该注意的是，在输入周期性矩形脉冲信号作用下，RC微分电路必须满足两个条件：

①T<

才能把矩形波变换成尖脉冲。

当电路参数RC不满足T<

当T>>tw时,

电路的充放电过程极慢，此时电容C两端电压几乎不变，电路中的电容起了“隔直、通交”的耦合作用，

故称此电路为耦合电路。

晶体管放大电路中的阻容耦合就是这样的。

2.4.2积分电路

如果把RC联成如图2-13（a）所示电路，而电路的时间常数t电路的输出Vo将是和时间t基本上成直线关系的三角波电2-13（b）所示。

由于T>>tw，因此在整个脉冲持续时间内（脉宽tw时

容两端电压VC=Vo缓慢增长。

当VC还远未增长到稳态值，消失（t=tw=T/2）。

然后电容缓慢放电，输出电压vo（即

VC）缓慢衰减。

VC的增长和衰减虽仍按指数规律变化，由于

变化曲线尚处于指数曲线的初始阶段，近似为直线段。

所以

三角波电压。

>>tw，则此RC电路在脉冲序列作用下,

压，

因为充放电过程非常缓慢,

所以有

T/2

（b）

图2-13RC积分电路

及输入和输出波形

间内）

而脉

电容

T>>tw,

输出Vo

，电

冲已

电压

苴

丿、

为

上式表明，输出电压比。

因此称为RC积分电路。

积分电路在电子技术中也被广

idt

（2-11）

RCV'dt

Vo近似地与输入电压Vi对时间的

积分成泛应用。

应该注意的是，在输入周期性矩形脉冲信号作用下，RC积分电路必须满足两个条件:

①T>>tw；②从电容两端取输出电压V。

。

才能把矩形波变换成三角波。

2.5

RL电路的暂态分析

图

闭合后的结点电流方程为

电路的暂态分析可类似于RC电路的暂态分析来进行。

2-14（a）所示为一个RL电路。

设t=0时开关S闭合，则S

iR+il=Is

其中

iR詈,VlL讐

Rdt

代入上式得

Ldi[

该式是以电感电流

感电流的解析表达式即三要素公式为

RdtiLIs

Il为变量的一阶常系数非齐次线性微分方程。

因此可以得出一阶

RL电路过渡过程

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