职高数学立体几何doc.docx
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职高数学立体几何doc
平面的基本性质
一、高考要求：
理解平面的基本性质.
二、知识要点：
1.平面的表示方法:
平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一
般用希腊字母α、β、γ、来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.
2.平面的基本性质:
（1）如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线上的所有点都在这个平面.这时我们
说,直线在平面或平面经过直线.用符号语言表示为:
如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?
α.
（2）经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:
推论1:
经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;
推论2:
经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
（3）如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经
过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交.用符号语言表示为:
如果A∈α,A∈β,
则α∩β=,且A∈.
3.有关概念:
如果空间的几个点或几条直线都在同一平面,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面,
则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.
三、典型例题：
例1:
已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相
交于点P.求证:
点B、D、P在同一直线上.
证明:
∵E∈AB,F∈AD又AB∩AD=A
∴E、F∈平面ABD
∴EF?
平面ABD
同理GH?
平面CBD
∵EF与GH相交于点P
∴P∈平面ABD,P∈平面CBD,又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.
例2:
如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:
a、b、m三条直线在同一平面.
证明:
∵a∥b∴a、b可以确定一个平面α.
∵m∩α=A,m∩β=B,∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m
∴m?
α.∴a、b、m三条直线在同一平面.
四、归纳小结：
1.证明点共线问题常用方法有二:
（1）证明这些点都是某两个平面的公共点;
（2）由其中
两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.
2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:
（1）确定平面;
（2）证明其余点、线在确定的平面,解题中应注意确定平面的条件.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1.下列说确的是（）
A.平面和平面只有一个公共点
C.不共面的四点中,任何三点不共线
B.
D.
两两相交的三条直线共面
有三个公共点的两平面必重合
2.在空间
下列命题中正确的是
（）
A.对边相等的四边形一定是平面图形
C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形
B.四边相等的四边形一定是平面图形
D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形
3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.1个或3个
4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的（）
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条
件
（二）填空题：
5.
空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定
个平面,三条直线相交于一点
它们
最多可确定
个平面.
6.
检查一桌子的四条腿的下端是否在同一个平面的方法是
.
（三）解答题：
7.已知A、B、C是平面α外三点,且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G,求证:
E、F、G三点共线.
8.已知1∥2∥3,且m∩1=A1,m∩2=A2,m∩3=A3,求证:
1、2、3、m四线共面.
直线与直线的位置关系
一、高考要求：
1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；
2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.
二、知识要点：
1.两条直线的位置关系有三种:
（1）平行:
没有公共点,在同一平面;
（2）相交:
有且仅有一个公共点,在同一平面;（3）异面:
没有公共点,不同在任何一个平面.
2.平行直线的传递性:
空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.
3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:
经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直
线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90o角的两条异面直线叫做相互垂直
的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异
面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距
离.
三、典型例题：
例1:
已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:
EFGH是平行四边形.
思考:
如果
AC=BD,四边形
EFGH的形状是
;
如果
AC⊥BD,
四边形
EFGH的形
状是;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状是.
例2:
如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.
（1）求证:
AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;
（2）求证:
EO⊥BD1,EO⊥AA1;
（3）求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;
（4）求异面直线AA1和BD1间的距离.
四、归纳小结：
1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的
大小不变.
2.两条异面直线所成的角θ满足0o＜θ≤90o,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为（）
（1）垂直于同一直线的两直线平行;
（2）到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;
（3）有三个角是直角的四边形是矩形;（4）自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中,结论正确的个数是（）
（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相
等;
（3）如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
（4）如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是
（）
（1）
不同在任何一个平面的两条直线是异面直线
;
（2）
既不平行也不相交的两条直线是异面直线
;
（3）
连结平面一点与平面外一点的直线和这个平面不经过该点的任意直线是异面直线
;
（4）
分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线
.
A.0个
B.1
个
C.2
个
D.3
个
4.下列命题中,结论正确的个数是（）
（1）
若a∥b,a∥c,则b∥c;
（2）
若a⊥b,a⊥c,则b∥c;
（3）
若a∥b,a⊥c,则b⊥c;
（4）
若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;
A.1个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
5.教室有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线（）
A.垂直
B.
平行
C.
相交
D.
异面
6.设a、b、c为空间三条直线
a∥b,a
、c异面,则b
与c的位置关系是（）
A.异面
B.
相交
C.
不相交
D.
相交或异面
7.设a、b、c为空间三条直线,且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,
则a与
b的位置关系是
（
）
A.平行B.
8.（2002高职-4）已知
A.不可能是平行直线
平行或相交C.
m,n是异面直线,直线
B.一定是异面直线
平行或异面D.平行或相交或异面
平行于直线m,则和n（）
C.不可能是相交直线D.一定是相交直线
（二）填空题：
9.平行于同一直线的两直线的位置关系是;垂直于同一直线的两直线的位置关
系是.
10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为.
11.空间两个角α和β
若α和β两边对应平行
当α=50o
时,则角β=
.
（三）解答题：
12..已知
A、B和
C、D分别是异面直线
a、b上的两点
求证:
AC和
BD是异面直线
（要求画出
图形,写出已知
求证和证明过程
）
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
（1）求直线DA1与AC的夹角;
（2）求直线DA1与AC的距离.
14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.
（1）求证:
DE是异面直线OA和BC的公垂线;
（2）求异面直线OA和BC的距离;
（3）求点O到平面ABC的距离.
直线与平面的位置关系
一、高考要求：
1.掌握直线与平面的位置关系.
2.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方法.
3.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与
平面所成的角及点到平面距离的概念.
二、知识要点：
1.直线与平面的位置关系有以下三种:
（1）直线在平面:
有无数个公共点;
（2）直线与平面相
交:
有且只有一个公共点
;（3）
直线与平面平行
:
没有公共点
.
2.直线与平面平行的判定
:
如果平面外一条直线与平面一条直线平行
那么这条直线与这
个平面平行
.
用符号语言表述为
:
如果
a∥b,b?
α,a
α,那么
a∥α.
直线与平面平行的性质
:
如果一条直线平行于一个已知平面
且过这条直线的平面和已知
平面相交,那么这条直线就和交线平行.
用符号语言表述为:
如果a∥α,a?
β,α∩β=b,那么a∥b.
3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:
（1）直线或线段的平行射影仍是按或线段;
（2）平行线的平行射影仍是平行线;
（3）在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.
4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.
5.直线与平面垂直的判定:
如果一条直线垂直于平面两条相交直线,那么这条直线就垂直
于这个平面.
用符号语言表述为:
如果⊥a,⊥b,a?
α,b?
α,a∩b=P,那么⊥α.
直线与平面垂直的性质:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互
相平行.
用符号语言表述为:
如果a⊥α,b⊥α,那么a∥b.
6.斜线及其在平面的射影:
一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的
线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面的射影.
这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面的射影所成的角称为这条斜
线与平面所成的角.
定理:
从平面外一点向平面引垂线和斜线.
（1）如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.
（2）如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.
7.三垂线定理及其逆定理:
三垂线定理:
平面的一条直线,如果和一条斜线在这个平面的射影垂直
这条斜线垂直.
用符号语言叙述为:
如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线
上的射影,而直线a?
α,且a⊥AO,那么a⊥PA.
三垂线逆定理:
平面的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直
条斜线在平面的射影垂直.
用符号语言叙述为:
如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线
上的射影,而直线a?
α,且a⊥PA,那么a⊥AO.
那么这条直线也和
AO是斜线PA在平面α
那么这条直线也和这
AO是斜线PA在平面α
三、典型例题：
例1:
已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证:
MN∥平面PAD;
（2）求证:
MN⊥CD;
（3）若∠PDA=45o,求证:
MN⊥平面PCD.
例2:
AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段
=8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.
已知这两条异面直线所成的角为
30o,AD
例3:
（99高职-22）（本题满分10分）已知平面α,A∈α、B∈α、Pα、?
关系中:
AB⊥,PA⊥α,PB⊥,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论
命题（用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分）,并予以证明.
α,在以下三个
构造一个真
四、归纳小结：
1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”，反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.
2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,
则线段或直线的像是一个点.
3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质
其中最重要的有
两个:
一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面
;另一个是,三
垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法
是计算空间中两条直
线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础
.它的证明的思想方法十分重要.
4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式
:
cosθ=cosθ1cosθ2.在公式的基础上得到
了“斜线和它在平面的射影所成的角是斜线和这个平面所有直线所成的角中最小的角”
的结
论.直线与平面所成的角θ满足
0o≤θ≤90o.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1.如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的是（
）
A.AB⊥PD
B.AB
⊥PC
C.OD⊥PC
D.AB
⊥PO
2.直线与平面α成
的角,直线a在平面α,且与直线
异面,则
与a所成角的取值围是
3
（）
2
B.
2
D.
A.0,
C.
3
3
3
3
3
2
2
3.由距离平面α为4cm的一定点P向平面α引斜线PA与平面α成30o的角,则斜足A在平面α的轨迹图形是（）
A.半径为
4
3cm的圆
B.
半径为4
2
cm的圆
C.半径为
4
3cm的圆
D.
半径为2
2
cm的圆
3
4.设a、b是两条异面直线,在下列命题中正确的是（）
A.有且仅有一条直线与a、b垂直B.有一个平面与a、b都垂直
C.过直线a有且仅有一个平面与b平行D.过空间任一点必可作一条直线与a、b都相交
5.下列命题中正确的是（）
A.若一条直线垂直于一个平面的两条直线,则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
6.两条直线a、b与平面α成的角相等，则a、b的关系是（）
A.平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能
7.PA,PB,PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线PC与平面PAB所成角的
余弦值为（）
A.1B.6C.3D.3
2332
8.直线a是平面α的斜线,b?
α,当a与b成60o
的角,且b与a在α的射影成
45o角时,a
与α所成的角是（）
A.60o
B.45
o
C.90
o
D.135
o
9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA⊥ABCD且PA=1,P到对角线
BD的距离为（
）
A.13
B.
17
C.
1
9
D.
1
129
5
5
2
5
10.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离为（）
A.5
B.
25
C.
3
5
D.
4
5
11.在直角三角形ABC中,
∠B=90o,∠C=30o
D是BC边的中点,AC=2,DE⊥平面ABC,且DE=1,
则E到斜边AC的距离是（）
5
B.
7
C.
11
D.
19
A.
2
2
4
2
12.已知SO⊥平面α,垂足O,△ABC?
α,点O是△ABC的外心,则（）
A.SA=SB=SCB.SA⊥SB,且SB⊥SC
C.∠ASB=∠BSC=∠CSAD.SA⊥BC
（二）填空题：
13.如图,C为平面PAB外一点,∠APB=90o,∠CPA=∠CPB=60o,且PA=PB=PC=1,则C到平面
PAB的距离为.
14.在空间四边形ABCD中,如果AB⊥CD,BC⊥AD,那么对角线AC与BD的位置关系
是.
15.两条直线a、b在同一个平面上的射影可能是.
（三）解答题：
16.证明直线与平面平行的判定定理.
17.从平面外一点P向平面引垂线PO和斜线PA,PB.
（1）如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面的射影长OA:
OB=4:
3,求点P到平面的距离;
（2）如果PO=k,PA、PB与平面都成30o角,且∠APB=90o,求AB的长;
（3）如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠APB=60o,求AB的长.
18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P.
（1）P到三角形三顶点的距离都是23a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面
3
成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;
（2）P到三角形三条边的距离都是6a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面
6
成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.
19.已知直角△ABC在平面α上,D是斜边AB的中点,DE⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,
求EA,EB,EC的长.
20.如图,平面α∩β=CD,EA⊥α,EB⊥β,且A∈α,B∈β.
求证:
（1）CD⊥平面EAB;
（2）CD⊥直线AB.
21.已知PO⊥平面ABO,PB⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.
求证:
cosα=cosβcosγ.
22.已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）求直线DA1与AC1的夹角;
（2）求证:
AC1⊥平面A1BD.
平面和平面的位置关系
一、高考要求：
1.掌握平面和平面的位置关系.
2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.
二、知识要点：
1.平面和平面有以下两种位置关系:
（1）平行:
没有公共点;
（2）相交:
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