角的平分线的性质.docx

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角的平分线的性质

角的平分线的性质

一.基础知识

1.角的平分线的性质

⑴内容

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

（2）书写格式

如图所示，

•••点F在ZE防的角平分线上，PDLOA.PELOB,

:

.PD=PE.

2.角的平分线的判泄

⑴内容

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

（2）书写格式

如图所示，

•:

PDIOA、PEVOB.PD=PE,

•••点F在乙AOB的角平分线上.

3.运用角的平分线的性质解决实际问题

运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离.

在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常岀现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可.

运用角平分线的性质解决实际问题时，一眾要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确立两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法.

4.运用角的平分线的判定解决实际问题

在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型（角的平分线）.然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.

解技巧巧用角的平分线的性质和判泄解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判泄是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.

5.综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：

I点在角的平分萄寸

性t判

质丨丨定

点到角两边的距离相等

对于角的平分线的性质和判左，一方而要正确理解和明确苴条件和结论，“性质”和“判左”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.

析规律构适角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线:

时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等.同样，欲证明某射线为角平分线时,只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可.

6.运用角的平分线的性质和判左解决探究型问题

在实际问题中，确泄.位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的问题，常常用到角的平分线的性质来解决.尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到.角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.

三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等,其实只要作出英中两条角平分线的交点，第三条角平分线一沱过此交点.

三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等.

三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距禽相等的点共有4个.

【例6】如下图所示，三条公路厶厶，厶两两相交于B,C三点,现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？

你能在图中找出来吗？

解：

三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等：

ZAC5ZABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判左左理，可以得到此点也在ZGL5的平分线上，且到公路厶，厶的距离相等：

同理还有ZBAC,Z朗的外角平分线的交点；ZBAC,Z⑹的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个・

1/\

11\/h

作法：

（1）如右图所示，作岀AABC两内角ZBAC.ZABC的平分线的交点01.

（2）分别作出ZACB,ZABC的外角平分线的交点02,ZBAC,ZBCA的外角平分线的交点03,ZBAC,ZCBA的外角平分线的交点04；故满足条件的修建点有四处，即点01,02,03,04处.

课堂练习

1.填空题

1.已知：

△遊中，Z庐90°,ZA.ZC的平分线交于点。

则AAOC的度数

为•

2.角平分线上的点到距离相等；到一个角的两边距离相等的

点都在■

3.ZAOB的平分线上一点M,M到创的距离为1・5cm则必到加的距离为

4.如图，炉60°,CD^OA于刀，CE丄OB于£且防⑦则ADOO.

5.如图，在△遊中，Z（=90°,肋是角平分线，DEA.AB于E且於3cm,

BD=ocm,则BOcm.

6.如图，CD为RtfXABC斜边上的高，Z场C的平分线分别交G?

、CB于点、E、F,

FG1AB,垂足为G,则CF_FG,CE.CF.

7.如图，已知初、仞相交于点£ZAEC及切的平分线所在的直线为尸0与

MN,则直线施V与尸0的关系是.

8.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到相等.

9.点0是△遊内一点，且点0到三边的距离相等，Z古60°，则的度数

为•

10.在△遊中，Z6^90°,AD平光乙BAC交BC予D,若於32且功：

CD=9:

7,

则#到初的距离为.

二、选择题

11.三角形中到三边距离相等的点是（

A.三条边的垂直平分线的交点C、三条中线的交点

12.如图，Z1=Z2,PDA-OA,PELOB,

（）

A.PD=PEB、OD=OE

13.

B、三条高的交点

D、三条角平分线的交点

垂足分别为D、E,下列结论错误的是

C、ZDPO=ZEPOD、PD=OD

如图，直线厶，1“厶表示三条相互交义的公路，现要建一个货物中转站,

要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

E,且/15=6cm,则的周长为（

第14题

16・如图在△宓中，Z/k存90°,庞平分ZABC,DELAB于D如果A（=3cm9

17・如图，已知AB=AC,

AB-AF,庞与6F交于点D则对于下列结论：

①HABE

空\ACF；②'BDF^'CDE；③0在Z34C的平分线上.其中正确的是（

18•如图，AB-AD.CHD、AC.甸相交于点。

则下列结论正确的是（

6/176/17

A.OA=OC

万•点0到月从G?

的距离相等

C.ZBD肛ZBDC

0•点0到少、Q的距离相等

19・△遊中，Z0900，点0为△/!

虑三条角平分线的交点，ODLBC予D、0E丄"'于EOF丄AB于尸，且於10m,BO8cm,AO^cm,则点0到三边M、AC.恭的距离为（）

力.2cm、2cm、2cm；B.3cm、3cm,3cm；

C.4cm,4cnb4cm；D.2cm、3cm、ocm

20.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）

儿两个三角形全等B.如果还有一角相等，两三角形就全等

C两个三角形一定不全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三

角形全等

三、解答与证明

21.如图，已知△遊中，AB=AC,0是必的中点，求证：

0到初、力。

的距离相等.

22・如图，已知BE1AC于ECF1AB于只BE、G7相交于点2若BHD.求证：

肋平分ABAC.

23.如图，已知庞平分ZABC,6F平分AACD.且交滋于E求证：

血平分Z

FAC.

24・如图，已知A^AC,AD^AE,加与亦相交于0⑴若DBLAC于DCEA.AB于E,试判断处与血的大小关系.并证明你的结论.

（2）若没有第

（1）中的条件，是否有这样的结论?

试说明理山.

25・如图，Z^Z6^90°〃是％的中点，勿/平分ZADC,求证：

册平分ZDAB.

重点题型讲解

1•如图.己知在ZiABC中，ZA、ZB的角平分线交丁点0,过0作0P丄BC丁・P,0Q丄AC丁Q,0R丄ABFR，AB=7,BC=8,AC=9・

（1）求证:

BC=2AD：

（2）求证:

AB二AE+CE：

（3）求证：

DE平分ZMDB

3•如图，点M（2.2〉，将一个9CT的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴.y轴正半轴Ta、B,AP平分ZOAB.交OMT点P,PN丄x轴丁N,把角尺绕点M旋转时：

AD、BE交丁•点H,连CH.

（3）求ZCHE的度数.（用含。

的式子表示）

家庭作业

1角平分线上的点到距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在

2、ZAOB的平分线上一点M,M到0A的距离为1.5cm.则M到0B的距离为

3、如图，ZAOB=60\CD丄0&于6CF丄0B于E,且CD=CE.则ZDOC二・

4、如图，在"BC中，ZC=90°,&D是角平分线，DE丄&8于&且DE=3cm,BD=5cm,则

BC二cm.

5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到柑等。

6、点0是ZiABC内一点，且点0到三边的距离相等，ZA=60\则ZBOC的度数为

7、在△&3C中，ZC=90%&D平分ZBAC交3C于D,若8C=32,且BD:

CD=9:

7,则D到

AB的距离为

8、三角形中到三边距离相等的点是（）

久PD=PE3、0D=0EC、ZDP0=ZEP0D、PD=0D

10.如图，直线/n/z>Is表示三条相互交叉的公路•现要建一个货物中转站，要求它到三

条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

=6cm,贝IjADEB的周长为（）

22、如图，MP丄NP,MQ为△M/VP的角平分线，MT=MP.连接g,则下列结论中不正确

第13题第14题

14.如图，已知AB=AC,AE=AF9BE与CF交于点D,则对于下列结论：

①

②△BDF^ZkCDF：

③D在ZBAC的平分线上.英中正确的是（）

4①B.②C.①和②D.①②③

15.'ABC中，ZC=90°,点O为AABC三条角平分线的交点，OD丄BC于D,OF丄&C于&

OF丄于F,且AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm.则点O到三边AB.AC.BC的距离为（）

4・2cm、2cm.2cm；

8.3cm,3cm93cm：

C・4cm,4cm,4cm：

D・2cm,3cm95cm

16、在RtAABC中，ZC=90%DE是AB的垂直平

AB丄AD,AD二4cm,求BC的长.

且ZBAD:

ZBAC=1:

3,求ZB的度数•

18、如图11.3—4,在厶ABC中Z890。

，AOBC,AD平分乙CAB.交BC于点D,

DE丄BE

求证：

（1）DE+BD二AC

（2）若AB二6cm,求ADBE的周长

19、如图11.3—6,已知：

AB=AC,BD二CD,DE丄AB^E.DF丄AC于F,

图11.3-6

求证：

DE二DF

20、如图11.3-3,在中上C=90。

初平分乙B4C,交BC于D,

若BC=10cm,BD=6cm,

求点D到AB的距离.

21、如图11・3—7,BN&AABC的平分线，P在BN±,D、E分别在AB.BC上,

Z_BDP+乙BE片曲役且乙BDP、乙BEP都不是直角,

求证:

PD二PE

22・如图11.3—10,已知0为乙BAC和"CD的平分线的交点,

0E_kAC于E,若0E二2

求0到AB与0到CD的距离之和.

23・如图11.3—11,已知BES.AC于E,CF丄AB于F,BE、CF相交于点D若BD二CD

求证：

仞平分乙BAC.