2．（2019·济南模拟）现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是（ B ）
A．6 B．7.8
C．9 D．12
[解析] P（ξ＝6）＝，P（ξ＝9）＝，P（ξ＝12）＝，则E（ξ）＝6×＋9×＋12×＝7.8.
3．（2019·广西名校联考）设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E（ξ）＝（ B ）
A．1 B．5
C．2 D．
[解析] 由x2－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为，，，，，∴ξ的数学期望E（ξ）＝0×＋1×＋4×＋9×＋16×＝5.故选B．
4．（2018·辽宁六校协作体联考）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则E（X）＝__2___.
[解析] 由题意得X～B（100,0.02），∴E（X）＝100×0.02＝2.
5．随机变量ξ的取值为0,1,2，若P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，则D（ξ）＝_____.
[解析] 设P（ξ＝1）＝p，则ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
p
－p
由E（ξ）＝1，得p＋2（－p）＝1，可得p＝，所以D（ξ）＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（2－1）2×＝.故填
6．装有某种产品的盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直到抽到正品为止，已知抽取次数ξ为随机变量，则抽取次数ξ的数学期望E（ξ）＝_____.
[解析] 由题意可知，抽取次数ξ的概率分布列如下：
ξ
1
2
3
4
P
则E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
考点1 离散型随机变量的均值与方差——多维探究
角度1 二项分布的均值、方差问题
例1 （2019·沈阳模拟）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75,80），[80,85），[85,90），[90,95），[95,100]（单位：
小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（1）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；
（2）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．
[解析]
（1）依题意，培训时间在[90,95）小时的人数为200×0.06×5＝60，
在[95,100）小时的人数为200×0.02×5＝20，故满足题意职工人数为80人，所求概率估计为P＝＝.
（2）依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
P（X＝0）＝C（）3＝，
P（X＝1）＝C（）（）2＝，P（X＝2）＝C（）2（）＝，
P（X＝3）＝C（）3＝，
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∵X～B（3，），
∴E（X）＝3×＝，D（X）＝3××＝.
角度2 非二项分布的均值、方差问题
例2 （2019·青岛一模）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：
滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E（ξ），方差D（ξ）．
[解析]
（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为（1－－）＝，（1－－）＝.
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
（2）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则
P（ξ＝0）＝×＝，
P（ξ＝40）＝×＋×＝.
P（ξ＝80）＝×＋×＋×＝，
P（ξ＝120）＝×＋×＝，
P（ξ＝160）＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P
E（ξ）＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D（ξ）＝（0－80）2×＋（40－80）2×＋（80－80）2×＋（120－80）2×＋（160－80）2×＝.
名师点拨 ☞
利用均值与方差解决实际问题的方法
（1）求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值；②求ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④由均值的定义求E（ξ）；⑤由方差的定义求D（ξ）．
（2）二项分布的期望与方差
如果ξ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量．
〔变式训练1〕
（1）（角度2）（2019·包头模拟）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
①若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；
②若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列及数学期望E（ξ），并求该商家拒收这批产品的概率．
（2）（角度1）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
①求顾客抽奖1次能获奖的概率；
②若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
[解析]
（1）①记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A，用对立事件来算，有P（A）＝1－P（）＝1－0.24＝0.9984.
②ξ可能的取值为0,1,2，
P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝.
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率P＝1－P（B）＝1－＝.
所以商家拒收这批产品的概率为.
（2）①记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
因为P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，
所以P（B1）＝P（A1A2）＝P（A1）·P（A2）＝×＝，
P（B2）＝P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝P（A1）P（）＋P（）P（A2）
＝P（A1）[1－P（A2）]＋[1－P（A1）]·P（A2）＝×（1－）＋（1－）×＝.
故所求概率为P（C）＝P（B1＋B2）＝P（B1）＋P（B2）＝＋＝.
②顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，
由
（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B（3，）．
于是P（X＝0）＝C（）1（）3＝，
P（X＝1）＝C（）0（）2＝，
P（X＝2）＝C（）2（）1＝，
P（X＝3）＝C（）3（）0＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E（X）＝3×＝.
考点2 均值与方差在决策中的应用——师生共研
例3 （2019·贵州调研）某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：
新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：
通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情史发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
[解析] 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1
300
－150
P
∴E（X1）＝300×＋（－150）×＝200.
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P
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