勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法.docx

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勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法

勾股定理（毕达哥拉斯定理）及各种证明方法

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组方程a²+b²=c²的正整数组（a,b,c）。

（3,4,5）就是勾股数。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理

命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

。

勾股定理的逆定理

命题2如果三角形的三边长a，b，c满足

，那么这个三角形是直角三角形。

为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.

即

，整理得

.

【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于

.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴

ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

∴

.∴

.

【趣闻】：

在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是伽菲尔德便问他们在干什么？

只见那个小男孩头也不抬地说：

“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？

”伽菲尔德答到：

“是5呀。

”小男孩又问道：

“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？

”伽菲尔德不加思索地回答到：

“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。

”小男孩又说道：

“先生，你能说出其中的道理吗？

”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。

他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。

”证法。

【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于

，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=

.同理可证，矩形MLEB的面积=

.

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴

，即

.

【证法5】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90º，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.

∴AD∶AC=AC∶AB，即

.

同理可证，ΔCDB∽ΔACB，

从而有

.∴

，即

【证法6】（邹元治证明）

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.

∴∠HEF=180º―90º=90º.

∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.

又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于

.

∴

.∴

.

【证法7】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.

如图，以B为圆心a为半径作圆，

交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.

因为∠BCA=90º，点C在⊙B上，

所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得

=

=

=

，

即

，∴

.

【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴

=

=r+r=2r,即

，∴

.

∴

，

即

，

∵

，

∴

，又∵

=

=

=

=

，∴

，

∴

，

∴

，

∴

.