高考数学压轴专题备战高考《空间向量与立体几何》分类汇编附答案解析.docx
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高考数学压轴专题备战高考《空间向量与立体几何》分类汇编附答案解析
新数学《空间向量与立体几何》试卷含答案
一、选择题
1.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
64A.
3
B
.16
8、.3—
C.
28D.16
&2
3
3
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，
还原直观图，
得到一个圆锥和一个圆柱，
计算体积，即可.
【详解】
结合三视图，
还原直观图，
得到
故体积Vr2h-r2l224-222,3168^3，故选B.
333
【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等.
2.如图，在长方体ABCDAiBiCiDi中，ABADJ3,AA-1,而对角线AB上存
在一点P，使得APD-P取得最小值，则此最小值为（）
A.7B.3C.1+.3D.2
【答案】A
【解析】
【分析】
把面AAB绕AB旋转至面BAM使其与对角面ABCD!
在同一平面上，连接M。
！
并求出，就
是最小值.
【详解】
把面AA\B绕AB旋转至面BAM使其与对角面ABCD!
在同一平面上，连接M。
！
.MDi就
是|AP||DiP|的最小值，
Q|AB||AD|3,|AA|1,tanAAiB乜3,AAiB60°.
1
所以MAiDi=90O+60O=150°
MDiA1D1A1M2A^D1A|McosMA1D1
【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题.
3.在以下命题中：
rrr,rrr
1三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，贝Va，b，c共面；
rrrr
2若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
uuuuuuuuuuruuuur
3对空间任意一点0和不共线的三点A,B,C，若OP2OA2OB2OC，则P,
A,B,C四点共面
4若ar，br是两个不共线的向量，且间的一个基底
rrr
5
rrrrrr
rcarbr（,R,,0），则{a,b,c}构成空
ab,bc,ca构成空间的另一个基底；
若a,b,c为空间的一个基底，则
【分析】根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.
【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量ar，br，cr不能构成空间的一个基底，则ar，br，
cr共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量ar，br与任何一个向量都不能构成空间的一个基
底，则a,b共线，故②正确；
3由22221，根据共面向量定理知P,A,B,C四点不共面，故③错误；
rrrrrrrrr
4由cab，当1时，向量c与向量a，b构成的平面共面，则a,b,c不
能构成空间的一个基底，故④错误；
rrrrrr
5利用反证法：
若ab,bc,ca不构成空间的一个基底，
rrrrrrrrrrrr
设abxbc1xca，整理得cxa1xb，即；,b,C共面，又因
rrrrrrrrr
a,b,c为空间的一个基底，所以ab,bc,ca能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：
①②⑤正确.
故选：
D.
【点睛】本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
4.已知平面aA3=l,m是a内不同于I的直线，那么下列命题中错误的是（）
A.若m//伏贝Um//IB.若m//1，贝Um//3
C.若m丄3则m丄ID.若m丄I，则m丄3
【答案】D
【解析】
【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】
A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
故选：
D.
【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题•
meng,底面为矩形的屋脊状的几
•已知该刍甍的三视图如
5.《九章算术》卷五商功中有如下问题：
今有刍甍（音
何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何图所示，则此刍甍的体积等于（）
中间棱柱的体积V3123,
2
所以该刍甍的体积是1235.
故选：
B
【点睛】本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型
6.如图，棱长为1的正方体ABCDABCP,O是底面ABiGDi的中心，贝UO到平
面ABGD1的距离是（）
1
A.-
2
【答案】B
【解析】
【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明AD平面ABC1D1，故平面ABC1D1的一个法向量
uuur
为：
DA1，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则:
11
（o,o,i）,a（i,o,o）,b（i,i,o）,g（o,i,i）
uuuu11
ODi（2,2,0）
由于AB平面ADD1A,,AD1平面ADD1A1
ABAD，又AD1A1D,ABIAD1
AD平面ABC1D1
LULU
故平面ABCQ的一个法向量为：
DA,（1,0,1）
O到平面ABCP的距离为：
uuuuUULU1-
d|ODuJDA1|2丄
IDA1|V24
故选：
B
【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能
BAA!
CAA160，则异
力，属于中档题•
7.三棱柱ABCAB1G中，底面边长和侧棱长都相等，
求角的余弦值•
【详解】
5丄―uuvvuuvvujuvv
设棱长为1,AAc,ABa，ACb
vv1由题意得：
ab
2
ac，Bc^
UJLV
QAB
JUV
BC
1
2uuvBBi
UUUV
AB
BC^aV
VV2vvvvVV2
abaacbcacc
1^11
2
UUUV■-
又AB1
即异面直线ABi与BCi所成角的余弦值为:
本题正确选项：
B
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转
化为向量夹角的求解问题•
&如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1,CC1的中点，以下四个结论：
①直线DM与CG是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线•其中正确的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果
共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面
【详解】
1：
CC1与DM是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
2：
若AM、BN平行，又AD、BC平行且AMADA,BNBCB，所以平面
BNCP平面ADM，明显不正确，故错误；
③：
BNMB不共面，所以是异面直线，故正确;
④:
AM、DDi不共面，所以是异面直线，故正确;
以BA为X轴，以BD为Y轴，以BC为Z轴建立空间直角坐标系,
又因为ABBCBD4;
A4,0,0,B（0,0,0）,D（0,4,0）,C（0,0,4），又因为E、F分别为棱BC、AD的中点所以E（0,0,2）,F（2,2,0）
uuuuuruuur
故EF2,2,2,AD（4,4,0）,AC（4,0,4）.
令x1,则yz1；
所以n（1,1,1）
uuur
UUrEFn21
cosEF,n-uuur-:
IEF||n|爲2灵3
ULUTr设直线EF与平面ACD所成角为，则sincosEF,n
所以cos.1sin一—
3
故选：
C
【点睛】
本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目
故选B.
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将“1PJ”与“//且li//相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件•
【详解】
当“1PI2”时，h可能在或内，不能推出“i//且li//卩”当“i//且li//卩”时,
由于abI2，故“iPy所以“iPy是“J/且li//的必要不充分条件.
故选：
B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题
i2.设，取，打为两条不同的直线，二•■；为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（）
A.若口与，所成的角相等，贝U—
B.若’三迸胡，则*i
c.若:
川』，则一厂
D.若创住，口冷，则"〃呛
【答案】C
【解析】
试题分析：
若与「所成的角相等贝恰沙；或"，门相交或"，门异面；A错.
若认亠盘，川「，,厂—汀或片f,B错.若皿丄匚」,则反刁正确.D.若小■"-,/」y「相交或閲，，异面，d错
考点：
直线与平面，平面与平面的位置关系
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，取BC的中点M，连接MQ，则AC//MQ，所以QPM为异面直线PQ与
5
PQ与AC所成角可能为—
12
故选：
C.
【点睛】
本题主要考查了异面直线成角,生的应用能力和空间想象能力,
14.以下说法正确的有几个（）
①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共
点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条
直线，那么这两条直线平行；
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】B
【解析】
【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数
【详解】
①错误，如空间四边形确定一个三棱锥.②错误，直线可能和平面相交•③正确，根据公
理二可判断③正确•④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行•综上所述，正确的说法有1个，故选B.
【点睛】
本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题
15.等腰三角形ABC的腰ABAC5,BC6，将它沿高AD翻折，使二面角
【答案】D
【解析】
分析:
形,
又正弦定理可得，
2r30
sin600
2.3，即BE
23,
设球的半径为R,
且AD4,
在直角ADE中,
22
2RAD
DE2
4R
42（2.3）228,
所以R7，所以球的体积为V
4R3
4
7）32^3，故选d
3
3
3
点睛：
本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题,
注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有
（1）三条棱两两互相垂直时，
可恢复为长方体，禾U用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；
（2）直棱柱的
外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径•
16.
占
八、、：
已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是边0A,CB的中uuvuuuuuivuuv口
点G在线段MN上，且使MG2GN，用向量°A，OB，0C表示向量0G是
（）
uuu/
uuv
2uuv
2uuiv
uuu/
1uuv
2uuv
2
uuiv
A.OG
OA
OB
OC
B.OG
-OA
OB
OC
3
3
2
3
3
故选：
C.
【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程.
17.设，是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，且I,m，则（）
A.若//，则I〃mB.若m//a，则//
C.若m，贝yD.若，则I〃m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案
【详解】
A.
可能平行，可能相交，所以B不正确•
若//，则|与m可能平行，可能异面，所以A不正确.
B.
若m//a，贝V与
【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基
础题•
又•••//时，a与b平行或异面，即a与b没有公共点
•命题q:
//?
命题P:
a与b没有公共点，为真命题;
故P是q的必要不充分条件
故选B
所成角的余弦值为（）
【答案】D【解析】【分析】取AC的中点N，连接CiN，则AM//CiN,所以异面直线AM与BCi所成角就是直线
AM与C1N所成角，在BNC1中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】由题意，取AC的中点N，连接GN，则AM//C1N,
所以异面直线AM与BC1所成角就是直线AM与C1N所成角，
设正三棱柱的各棱长为2,则GN|J5,BC12丘,BN43,设直线AM与GN所成角为，
在BNC1中，由余弦定理可得cos"）2©2）2（3）2远,
2V52丁24
即异面直线AM与BG所成角的余弦值为一10，故选D.
4
A1
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20.—个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为
（）
A.6nB.12nC.32nD.48n
【答案】B
【解析】
【分析】
先作出几何图形，确定四个直角和边长，再找到外接球的球心和半径，再计算外接球的表面积•
【详解】由题得几何体原图如图所示,
其中SA!
平面ABC,BCL平面SAB,SA=AB=BC=2,
所以AC=2.、2,SC23,
设SC中点为0,则在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=3,
1在直角三角形SBC中，OB=_SC■3,
2
所以OA=OC=OS=OB谄，
所以点o是四面体的外接球球心，且球的半径为...3.
所以四面体外接球的表面积为4,32=12.
故选：
B
【点睛】
本题主要考查四面体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
和分析推理的能力•
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