数学二元一次方程组教案.docx
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数学二元一次方程组教案
第八章二元一次方程组
单元备课
教学内容：
本章主要内容包括：
本章主要内容包括：
二元一次方程组及其相关概念，二元一次方程组的解法，利用二元一次方程组分析和解决实际问题。
分析实际问题中的数量关系并用二元一次方程组表示是始终贯穿这些内容的主线，而且始终渗透着“数学建模”和“化归”的思想方法。
通过丰富实例，从算式到方程建立二元一次方程组，展开方程是刻划现实生活的有效数学模型；通过观察、归纳引出不等式的两条性质，为进一步讨论较复杂的二元一次方程组的解法准备理论依据；从实际问题出发，运用等式的性质解方程，归纳“加减消元”、“代入消元”、等法则，逐步展现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
本教案对列方程解决实际问题的内容作了较集中的归类讨论。
教学目标：
〔知识与技能〕
1、理解二元一次方程组及有关概念和等式的基本性质；
2、熟练掌握二元一次方程组的解法（数字系数）并学会运用二元一次方程组解决简单的实际问题。
〔过程与方法〕
经历解二元一次方程组和列二元一次方程组解决实际问题的过程，明确解二元一次方程组和列二元一次方程组的基本步骤，初步树立数学建模思想和体会化归思想的运用。
〔情感、态度与价值观〕
在解决实际问题中，体会数学的应用价值，激发学习数学的欲望，提高分析问题和解决问题的能力。
重点难点
1.重点是二元一次方程组的解法和运用。
2.难点是列二元一次方程组解决实际问题。
3.解题过程的规范性。
课时分配
二元一次方程组…………………………………………2课时
消元…………………………4课时
实际问题与二元一次方程组…………………………8课时
三元一次方程组解法举例…………………………4课时
小测验…………………………………………4课时
合计…………………………………………22课时
单元教学反思：
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
教学目标：
1.认识二元一次方程和二元一次方程组.
2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.
教学重点：
理解二元一次方程组的解的意义.
教学难点：
求二元一次方程的正整数解.
教学方法指导探究，合作交流
教学资源ppt课件
教学过程：
一、温故而知新
回忆：
什么叫方程？
含有未知数的等式叫做方程。
如x2+1=3，m-2=4等
什么叫一元一次方程？
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
如y+6=9，3x+9=15等
二、问题导入
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，
某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
途径1：
你能用学过的一元一次方程解决这个问题吗？
解：
设胜x场，则负（10-x）场，根据题意得：
2x+（10-x）=16
2x+10-x=16
2x-x=16-10
x=6
10-x=4
答：
这个队胜6场，负4场
途径2：
能设两个未知数吗？
比如设胜x场，负y场；
你能根据题意列出方程吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程x＋y＝10
2x＋y＝16表示.
观察这两个方程，它们有什么特点？
它们与一元一次方程有什么不同？
答：
（1）两个未知数；
（2）含有未知数的项的次数是1
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
牛刀小试：
请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？
并说明理由。
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝10
2x＋y＝16
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
三、探究新知：
满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？
把它们填入表中.
x
y
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
通常记作：
······
若不考虑实际意义你还能再找出几个方程的解吗？
一般地，一个二元一次方程有无数个解。
不难发现x=6,y=4既是x+y=10的解，也是2x+y=16的解，
也就是说是这两个方程的公共解，我们把它们叫做二元一次方程组的解
即x=6,y=4是的解
归纳：
二元一次方程（组）的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.它的解有无数个。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
记作：
四、典型例题：
例1 <<孙子算经>>是我国古代较为普及的算书,许多问题浅显有趣.其中下卷第31题“鸡兔同笼”问题流传尤为广泛,飘洋过海传到了日本等国.
著名的“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
”
分析：
设鸡有x只，兔y只，根据题意，得
鸡
兔
合计
头
x
y
35
足
2x
4y
94
则有:
五、回顾小结：
学习了本节课你有哪些收获？
六、作业布置：
课本89页第1，2，3题
第二课时练习课
例2方程x∣a∣–1+（a-2）y=2是二元一次方程，试求a的值.
例3 已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
（1）
x－y＝6
2x＋31y＝－11
哪几对数值使方程
x－y＝6的左、右两边的值相等？
（2）哪几对数值是方程组 的解？
例4 求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
1．写出一个解为
的二元一次方程组__________．
2．a－b=2，a－c=
，则（b－c）3－3（b－c）+
=________．
3．已知
都是ax+by=7的解，则a=_______，b=______．
4．若2x5ayb+4与－x1－2by2a是同类项，则b=________．
5．方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，则m________．
6．方程组
=4的解为________．
7．已知方程组
的解相同．求（2a+b）2004的值．
8．已知x=1是关于x的一元一次方程ax－1=2（x－b）的解，y=1是关于y的一元一次方程
b（y－3）=2（1－a）的解．在y=ax2+bx－3中，求当x=－3时y值．
教学反思
8．2 消元
教学目标：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
4.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛
5.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
重点：
1、用代入消元法解二元一次方程组.2、用代入法、加减法解二元一次方程组.
难点：
1、探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
2、会用二元一次方程组解决实际问题
教学方法指导探究，合作交流
教学资源ppt课件
第一课时新授课
教学过程：
一、知识回顾
1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解？
2、什么是二元一次方程组及二元一次方程组的解？
二、提出问题，创设情境
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队
为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是
多少？
在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组.
这个问题能用一元一次方程解决吗？
三、讲授新课
1、那么怎样求解二元一次方程组呢?
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么
关系?
2、提出问题：
从上面的学习中体会到代入法的基本思路是什么？
主要步骤有哪些呢？
归纳:
基本思路：
“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：
将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式
表现出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一
次方程。
这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
3、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）2x－y＝3
（2）3x＋y－1＝0（3）5x-3y=x+y（4）-4x+y=-2
4、例题分析：
例1例2
5、课堂练习：
教科书P98第2题
四、课堂小结
问题1、解方程组的基本思路是什么？
问题2、解方程组的方法是什么？
五、作业布置：
教科书P99第3、4题P103第1、2题
第二课时
教学过程
一、创设情境，导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。
甲借给乙10元钱，乙借给丙8
元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，
欠多少？
二、师生互动，课堂探究
（一）提高问题，引发讨论
①②
我们知道，对于方程组
可以用代入消元法求解。
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消
元方法吗？
（二）导入知识，解释疑难
1.问题的解决
上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得
（2x+y）-（x+y）=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4。
另外，由①－②也能消去
未知数y，得（x+y）-（2x+y）=22-40即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
①②
2.想一想：
联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
分析：
这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，
从而求出未知数x的值。
解：
由①＋②得19x=11.6x=
把x=
代入①得y=-
∴这个方程组的解为
3.加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，
就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加
或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，
简称加减法。
4.例题讲解
①②
用加减法解方程组
分析：
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能
消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
议一议：
本题如果用加减法消去x应如何解？
解得结果与上面一样吗？
5.做一做
①②
解方程组
分析：
本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。
6.想一想
（1）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?
（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
师生共析:
（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:
在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以
把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直
接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
第二步:
如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数
（选最小公倍数较小的一组系数）,求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个
系数的整数倍,该系数即为最小公倍数）,然后将原方程组变形,使新方程组的这组
系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数）,再加减消元.
第三步:
对于较复杂的二元一次方程组,应先化简（去分母,去括号,合并同类项
等）,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边
的形式,再作如上加减消元的考虑.
（三）归纳总结,知识回顾
本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组
中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.
四、作业布置P98练习
第三课时
一、创设情境,导入新课
七年级（3）班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时
间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上
（如下表）.
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
●
●
2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下
的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补
上吗?
二、师生互动,课堂探究
（一）指出问题,引发讨论
你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?
（经过学生思考、讨论、交流）
（二）导入知识,解释疑难
1.例题讲解（见P101）
分析:
如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么
2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小
收割机1小时收割小麦_______公顷.
解:
设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种
工作方式中的相等关系,得方程组
①②
去括号,得
②-①,得11x=4.4
解这个方程,得x=0.4
把x=0.4代入①,得y=0.2
这个方程组的解是
答:
1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
3.练一练:
P102练习第2、３题.
（三）归纳总结,知识回顾
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画
现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
布置作业P1036、7、9题
第四课时练习课
1．解方程组
（1）
2．甲、乙两人同解方程组
时，甲看错了方程①中的a，解得
，乙
看错了②中的b，
的值．
3.某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元，按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等．求该电器每台的进价、定价各是多少元？
4．一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？
能配成多少张方桌．
5．甲、乙二人在上午8时，自A、B两地同时相向而行，上午10时相距36km，二人继续前行，到12时又相距36km，已知甲每小时比乙多走2km，求A，B两地的距离．
教学反思
8.3实际问题与二元一次方程组
教学目标：
1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性。
3、通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型
重点：
1、能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；
2、让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题
难点：
1、正确发找出问题中的两个等量关系
教学方法指导探究，合作交流
教学资源ppt课件
教学课时4课时
教学过程：
第一，二课时新授课
一、复习
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
二、新课：
1.看一看课本105页探究1
问题：
1题中有哪些已知量？
哪些未知量？
2题中等量关系有哪些？
3如何解这个应用题？
本题的等量关系是
（1）30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg
（2）（30+12只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为940
2.看一看：
课本106页探究2
问题：
1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：
1.5”是什么意思？
2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：
4”是什么意思？
3、本题中有哪些等量关系？
提示：
若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？
思考：
这块地还可以怎样分？
4.教材106页：
探究3：
如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂
从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。
公
路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公
路运费15000元，铁路运费97200元。
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多
少元？
5、例：
甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12
吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B
两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费
分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？
第三四课时练习课
1、某山区有23名中、小学生因贫困失学要捐助。
资助一名中学生的学习费用需
要a元，一名小学生的学习费用需要b元。
某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款
数额与用其捐助贫困中学生和小学生的部分情况如下表：
捐款数额
（元）
捐助贫困中学生人数（名）
捐助贫困小学生人数（名）
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
（1）求a、b的值。
（2）初三学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐
助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不必写出计算过程）。
2、某公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1人～50人
51～100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50
多人，乙班不足50人。
如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个
班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。
问：
甲、乙两个班分别有多少人？
3、某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加
11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是
多少人？
4、有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。
50吨，5辆大车与6辆
小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
5、某工厂第一车间比第二车间人数的
少30人，如果从第二车间调出10人到第
一车间，则第一车间的人数是第二车间的
，问这两车间原有多少人？
6、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前
2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？
原计划每天运输多少吨？
7、某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植
植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入奖金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能
使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
问题：
题中有几个已知量？
题中求什么？
分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？
教学反思
8.4三元一次方程组解法举例
教学目标：
1.了解三元一次方程组的概念.2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．
教学重点：
（1）使学生会解简单的三元一次方程组．
（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
教学难点：
针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
教学方法指导探究，合作交流
教学资源ppt课件
教学课时2课时
教学过程：
第一课时新授课
一、创设情景，导入新课
前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，
列出二元一次方程组来求解。
实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，
对于这样的问题，我们将如何来解决呢？
【引例】小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，
其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
提出问题：
1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关
系你能列出方程组吗？
【列表分析】（师生共同完成）
（三个量关系）每张面值×张数=钱数
1元
x
x
2元
y
2y
5元
z
5z
合计
12
22
注
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y
解：
（学生叙述个人想法，教师板书）
设1元，2元，5元的张数为x张，y张，z张.
根据题意列方程组为：
【得出定义】（师生共同总结概括）
这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并
且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
二、探究三元一次方程组的解法
【解法探究】怎样解这个方程组呢？
能不能类比二元一次方程组的解法，设
法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
（展开思路，畅所欲言）
例1.解方程组
分析1：
发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.
分析2：
方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标.
【方法归纳】根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型一：
有表达式，用代入法.
针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消
元构成二元一次方程组的目的.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组
类型二：
缺某元，消某元.
教师提示：
当然我们还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”
目的，同学可以课下自行尝试一下.
三、课堂小结
1.解三元一次方程组的基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”
化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一
元一次方程．
即三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
2.解题要有策略，今天我们学到的策略是：
有表达式，用代入法；缺某元，
消某元.
四、布置作业
1.解方程组
你能有多少种方法求解它？
本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。
2.教材114页练习1
（1），2；习题8.4—1.
第二课时练习课
1.甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.
2.两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车
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