平行线经典四大模型典型例题与练习.docx
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平行线经典四大模型典型例题与练习
平行线四大模型
平行线的判定与性质
l、平行线的判定
根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．
判定方法l：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：
同位角相等，两直线平行．
判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：
内错角相等，两直线平行，
判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：
同旁内角互补，两直线平行，
如上图：
若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
另有平行公理推论也能证明两直线平行：
平行公理推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2、平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：
两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：
两直线平行，内错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：
两直线平行，同旁内角互补
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本讲进阶平行线四大模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型
结论1：
若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；
结论2：
若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型
结论1：
若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：
若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型
结论1：
若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：
若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型
结论1：
若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：
若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
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巩固练习平行线四大模型证明
（1）已知AE//CF,求证∠P+∠AEP+∠PFC=360°
.
（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．
（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.
（4）已知∠P=∠CFP-∠AEP,求证AE//CF.
模块一平行线四大模型应用
例1
（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3=．
（2）如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．
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（3）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=.
（4）如图，射线AC∥BD，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=．
练
（1）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．
（2）（七一中学2015-2016七下3月月考）
如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=.
例2
如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.
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练
如图，已知AB∥DE，∠FBC=1∠ABF，∠FDC=1∠FDE.
nn
（1）若n=2,直接写出∠C、∠F的关系；
（2）若n=3，试探宄∠C、∠F的关系；
（3）直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式表示）.
例3
如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：
∠E=2（∠A+∠C）.
练
如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.
例4
如图，∠3==∠1+∠2，求证：
∠A+∠B+∠C+∠D=180°．
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练
（武昌七校2015-2016七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2=90°，
M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．
A.120°B.135°C.145°D.150°
模块二平行线四大模型构造
例5
如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则
∠GHM=.
练
如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+∠CHG=.
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例6
已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=l0°，求证：
AB∥EF．
练
已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.
（1）如图（l），已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、⋯、∠An，∠B1、∠B2⋯∠Bn-1之间的关系．
（2）如图
（2），己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．
（3）如图（3），已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、⋯、∠An之间的关系．
如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．
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挑战压轴题
（粮道街2015—2016七下期中）
如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
（1）
若∠EFB=55°，∠EDP=30°，求∠MPD的度数；
（2）
当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的平分线交于
Q,问：
Q
是否为定值？
若是定值，
请
DPB
求出定值；若不是，说明其范围；
（3）
当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于
Q，问
Q
的值足否定值，请
DPB
在图2中将图形补充完整并说明理由．
第一讲平行线四大模型（课后作业）
1.如图，AB//CD//EF,EH⊥CD于H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）.
A.180°
B.270°
C.360°
D.450°
2．（武昌七校2015-2016七下期中）
若AB∥CD，∠CDF=2∠CDE，∠ABF=2
∠ABE，则∠E：
∠F=（）．
3
3
A．2:
1B．3:
1C．4:
3D．3:
2
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3.如图3，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=.
4.如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=．
5．如阁所示，AB∥CD，∠l=ll0°，∠2=120°，则∠α=.
6．如图所示，AB∥DF，∠D=116°，∠DCB=93°，则∠B=.
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为.
8．如图，AB∥CD，EP⊥FP,已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．
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9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.
10．已知，直线AB∥CD．
（1）如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？
请说明理由；
（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？
请说明理由；
（3）如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.
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