勾股定理.docx

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勾股定理

勾股定理

如雅斯贝尔斯所说:

"教育是人的灵魂的教育，而非理智知识和认识的堆积。

"①从这个意义上说，教育的重要本质特征就是它的人文性，人文教育是不可以从教育中包括大学教育中抽出的，

一、勾股定理的概念及应用

1、勾股定理的概念：

如果直角三角形的两直角边长分别为

，

，斜边长为

，那么

．我国把它称为勾股定理．即是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的应用：

（一）直接运用勾股定理求边；对直角三角形已知任意两边可得另一边的长度。

如：

同理可知，若已知直角三角形的斜边，一直角边，可求得另一直角边。

（二）先构造，再运用；

（三）勾股定理的实际应用；

（1）、一个门框，长1m，高2m，有一块长3m,宽2.2米的薄木板能否从门框内通过？

为什么？

由于薄木板长3米，宽2.2米，可以看到薄木板横着进，竖着进都不

能从门框内通过，只能试试斜着能否通过，对角线

是斜着能通

过的最大长度，求出

，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能

通过。

二、勾股定理的历史

勾股定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于2500年前发现的。

毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。

这是欧几里得（Euclid,约公元前330－前275）《几何原本》卷I第47命题。

欧几里得从纯粹的几何图形之间的关系，阐述勾股定理，即“将两个直角边上的正方形剖分为若干块，可拼凑成斜边上的大正方表”，这种阐述完全不涉及到数。

在中国，我们的祖先早就知道了勾股定理，比毕达哥拉斯发现这一结果要早上许久。

中国流传下来最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记述了一段精彩的对话：

“昔者周公问于商高曰：

……古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？

商高曰：

数之法，出于圆方．圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一．故折矩以为勾广三，股修四，径隅五．……故禹之所以治天下者，此数之所生也．”知在公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是5．中西方对定理文字记载的比较:

（1）在西方是通过一个几何命题给出的,在中国是借助一个实际问题的描述得到;

（2）在西方对定理得描述完全以几何的形式进行,在中国则是以一格代数问题出现;（3）在西方有逆定理,在中国没有逆定理。

二、勾股定理的证明：

1、赵爽的弦图法：

“弦图”运用图形面积的出入相补证明了勾股定理，这一简洁优美的证明，与古代希腊数学家对勾股定理的证明东西相映生辉，显示了中国古代数学家的智慧与成就。

而经过艺术处理的弦图被选作北京国际数学家大会的会徽。

勾股圆方图，赵爽：

“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”即是如果用

表示“勾”，

表示“股”，

表示“弦”，则有

和

又有“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘，为中黄实，加差实亦成弦实．”如上图：

意思是说，勾股相乘

等于两个红色三角形的面积（朱实二：

）。

其二倍

就等于四个红色三角形的面积（朱实四：

）．勾股之差

自乘

，等于中央黄色小正方形的面积（中黄实），与前面的四个红色三角形拼在一起恰好等于以弦为边的大正方形的面积（弦实）．用公式表示为，

另：

故勾股定理得证．数学家赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒 等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的。

独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。

2、刘徽的面积割补法：

设

分别为句、股、弦，依术乃有：

．就是所谓句股定理。

刘徽以割补术论证这一定理，魏晋之际的数学家刘徽在《九章术注》中,根据几何图形粉、合、移、补所拼凑成的信徒星期面积不变的原理证明了勾股定理,刘徽对此术作注时称:

“短面曰勾,长面曰股,相与结角曰弦,勾短其股，股短期弦,将以施于诸率,故先具此术以见其源,勾自乘为朱方,股自乘为股方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也,合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”

3、毕达哥拉斯（Pythagoras）的面积剖分法

由时间先后推断,最早证明勾股定理者是毕达哥拉斯（他的证明原稿已失传）,据说为（下图）的面积剖分法。

四个全等的直角三角形加一个正方形拼成一个大正方形,大正方形的面积等于

证明了勾股定理。

4、欧几里得（Euclid）的逻辑推理法

古希腊数学家欧几里得在他的《几何原本》第一卷地命题47中给出了毕达哥拉斯定理的一个极其巧妙的证明（如图1）,有人把这个图形称为“修士的头巾”,也有人称为“新娘的轿椅”,其证明的梗概如下:

如图直角三角ABC,AB和AC是直角边,以边AB、AC和BC分别作正方形ABGF、ACKH和BCED,要证

即要证两直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形的面积,做辅助线FC、AD,作AL⊥DE．可证得△ABD≌△FBC,即两个三角形面积相等,从而得到正方形ABGF的面积=矩形BDLI的面积。

同样可得到正方形ACKH的面积=矩形CELI的面积,从而正方形BCDE的面积=方形ABFG的面积+正方形ACKH的面积,即

即证明了毕达哥拉斯定理。

5、婆什迦罗（Bhaskara）的相似三角形法

古印度数学兼天文学家婆什迦罗给出了毕达哥拉斯的另一种奇妙的证明,即画出直角三角形斜边上的高（如下图）,其中的两个小直角三角形与大直角三角形相似,我们得到

即毕达哥拉斯定理的又一证明方法。

6、加菲尔德（J.A.Garfield）的梯形面积法

更有创造性的是美国第十七任总统加菲尔德,在1876年独立地发现了毕达哥拉斯定理的又一个很漂亮的证明方法,即用两种不同的方法计算直角梯形的面积,即可得证（如下图）,梯形面积等于△Ⅰ、△Ⅱ和△Ⅲ三部分的和,即梯形面积=△Ⅰ+△Ⅱ+△Ⅲ,于是

对以上证明方法进行比较分析:

勾股定理的证明有着丰富无比的文化内涵,可以给人许多启发,其中赵爽的弦图证法和欧几里得的证法最为典型。

赵爽的弦图法极富创意,证法建立在一种不证自明、形象直观的原理上,即“出入相补”原理。

他的证明过程可以借助实物进行操作,使现实问题数学化,最终达到对数学定理的意义构建。

而欧几里得证法则完全脱离实物的支撑,给我们展示的是对数学美和数学理性的追求,它在更高层次上使人的思维得到锻炼。

在西方欧几里得的证明是纯几何式的逻辑演绎,同时具有一定的构造型特征。

婆什迦罗的相似三角形证法和加菲尔德的梯形面积法证法则简单明了,非常直观。

在中国对勾股定理的证明具有数与行相结合,几何问题代数化的特点。

在具体内容上有一点是共同的,就是他们均表现出构造性。

四、勾股定理的地位

勾股定理是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理。

许多重要的数学、物理理论中都能发现它的踪迹，甚至连邮票、t-恤、诗歌、散文、音乐剧中也能看到它的身影。

欧几里得几何、代数几何、微积分、黎曼几何、爱因斯坦相对论，一个个我们熟悉的数学发现的背后无不渗透着勾股定理的影响，古典数学和现代数学的历史轨迹竟然一脉相承，从未走远。

历史的变迁、科学史上的重要发现，都随着勾股定理的长袖善舞而一一展开。

如果我们仅仅知道定理内容与证明的话，而不知它的历史与意义，那么我们会失掉许多，我们就不能说受过良好的文化教育。

勾股定理被认为是人类历史上的第一个数学定理，它在历史的地位是独特的，它的重要性还在于它与广泛的问题相联系，有着非凡的教育学意义。

勾股定理是欧氏平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，开普勒（kepler）称“几何学中的宝藏”。

它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系，从而将原来对几何学的感性认识精确化，真正意义的几何学才可以确立，尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何及三角学的建立，使数学的几何与代数两大门类结合起来，为数学更进一步的发展开拓了宽广的道路，勾股定理以及处理数据的数学方法，这种思考模式和现代天体物理学思考模式一致。