电磁场与电磁波试题.docx

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电磁场与电磁波试题

1.如图所示，有一线密度

 的无限大电流薄片置于

平面上，周围媒质为空气。

试求场中各点的磁感应强度。

解：

根据安培环路定律,在面电流两侧作一对称的环路。

则

由 

2.已知同轴电缆的内外半径分别为

和

其间媒质的磁导率为

，且电缆长度

，忽略端部效应，求电缆单位长度的外自感。

解：

设电缆带有电流

则                  

3.在附图所示媒质中，有一载流为

的长直导线，导线到媒质分界面的距离为

。

试求载流导线单位长度受到的作用力。

解：

镜像电流  

镜像电流在导线处产生的

值为

 单位长度导线受到的作用力

 力的方向使导线远离媒质的交界面。

4. 图示空气中有两根半径均为a，其轴线间距离为d 

的平行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷量分别为

和

 ，若忽略端部的边缘效应，试求

（1） 圆柱导体外任意点p的电场强度

的电位

的表达式；

（2） 圆柱导体面上的电荷面密度

与

值。

解：

 以y轴为电位参考点，则

5.图示球形电容器的内导体半径

，外导体内径

，其间充有两种电介质

与

，它们的分界面的半径为

。

已知

与

的相对

6.

电常数分别为

。

 求此球形电容器的电容

。

解

6.一平板电容器有两层介质，极板面积为

一层电介质厚度

，电导率

，相对介电常数

，另一层电介质厚度

，电导率

。

相对介电常数

，当电容器加有电压

时，求

（1） 电介质中的电流；

（2） 两电介质分界面上积累的电荷；

（3） 电容器消耗的功率。

解：

（1）

（2）

（3）  

7.有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场中的磁感应强度分布（

线）。

解：

线上、下对称。

1.已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为:

和

求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。

解：

得       

   合成波为右旋圆极化波。

8.图示一平行板空气电容器，其两极板均为边长为a的正方形，板间距离为d，两板分别带有电荷量

与

，现将厚度为d、相对介电常数为

，边长为a的正方形电介质插入平行板电容器内至

处，试问该电介质要受多大的电场力？

方向如何？

解：

（1）当电介质插入到平行板电容器内a/2处，则其电容可看成两个电容器的并联

静电能量 

当 

 时，

其方向为a/2增加的方向，且垂直于介质端面。

9.长直导线中载有电流

，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互位置如图所示。

设

时，线框与直导线共面

时，线框以均匀角速度

绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势。

解：

长直载流导线产生的磁场强度

时刻穿过线框的磁通

感应电动势

 参考方向

时为顺时针方向。

10.无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为

 试求

（1） 

的值;

（2）电场强度瞬时矢量

和复矢量（即相量）

。

解：

（1） 

由 

得 

 故得 

（2）  

11.证明任一沿

传播的线极化波可分解为两个振幅相等, 旋转方向相反的圆极化波的叠加。

证明：

设线极化波 

其中:

和

分别是振幅为

的右旋和左旋圆极化波。

12. 图示由两个半径分别为

和

的同心导体球壳组成的球形电容器，在球壳间以半径

为分界面的内、外填有两种不同的介质，其介电常数分别为

和

，试证明此球形电容器的电容为      

证明：

设内导体壳外表面所带的电荷量为Q，则

 两导体球壳间的电压为

13.已知

求

（1） 穿过面积

在

方向的总电流

（2）在上述面积中心处电流密度的模；

（3）在上述面上

的平均值。

解：

（1）

（2） 面积中心, 

  , 

（3） 

的平均值

14.两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其中

，

。

略去端部效应，试求两线圈间的互感。

解：

设线框

带有电流

，线框的回路方向为顺时针。

线框

产生的

为

15.已知

，今将边长为

的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿

、

和

方向时，求框中的感应电动势。

解：

（1）线框的法线沿

时由

得 

（2） 线框的法线沿

时

线框的法线沿

时

16.无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度

 为；

 其中

、

为常数，求位移电流密度

。

解：

因为 

 由

得 

17.利用直角坐标系证明

2.证明左边=

=右边

18.求无限长直线电流的矢量位

和磁感应强度

。

解：

直线电流元产生的矢量位为

积分得

当

．附加一个常数矢量

则

则由

19.图示极板面积为S、间距为d的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S、厚度为a、介电常数为

的介质板。

设左右两极板上的电荷量分别为

与

。

若忽略端部的边缘效应，试求

（1）此电容器内电位移与电场强度的分布；

（2）电容器的电容及储存的静电能量。

解：

1）

，

  2）

20.在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为

求

（1）平面波的传播方向；

（2）频率；

（3）波的极化方式；

（4）磁场强度；

（5）电磁波的平均坡印廷矢量

。

解：

（1）平面波的传播方向为＋ｚ方向

（2）频率为

（3）波的极化方式因为

，

故为左旋圆极化．

（4）磁场强度

（5）平均功率坡印廷矢量

21.利用直角坐标，证明

证明：

左边=

=右边

22.求矢量

沿

平面上的一个边长为

的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与

轴和

轴相重合。

再求

对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解：

又

所以

故有

23.同轴线内外半径分别为

和

，填充的介质

，具有漏电现象，同轴线外加电压

，求

（1）漏电介质内的

；

（2）漏电介质内的

、

；

（3）单位长度上的漏电电导。

解：

（1）电位所满足的拉普拉斯方程为

由边界条件

所得解为

（2）电场强度变量为

，　　　

则漏电媒质的电流密度为

（3）单位长度的漏电流为

单位长度的漏电导为

24.如图 所示，长直导线中载有电流

，一 矩形导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框中的感应电动势。

解：

载流导线产生的磁场强度的大小为

 穿过线框的磁通量

 线框中的感应电动势

参考方向为顺时针方向。

25.空气中传播的均匀平面波电场为

，已知电磁波沿ｚ轴传播，频率为f。

求

（1）磁场

；

（2）波长

；

（3）能流密度

和平均能流密度

；

（4）能量密度

。

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

26.平行板电容器的长、宽分别为

和

，极板间距离为

。

电容器的一半厚度（

）用介电常数为

的电介质填充，

（1）板上外加电压

，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

（2）若已知板上的自由电荷总量为

，求此时极板间电压和束缚电荷；

（3）求电容器的电容量。

解：

（1）设介质中的电场为

，空气中的电场为

。

由

，有

又由于

由以上两式解得

故下极板的自由电荷面密度为

上极板的自由电荷面密度为

电介质中的极化强度

故下表面上的束缚电荷面密度为

上表面上的束缚电荷面密度为

（2）由

得到

故

（3）电容器的电容为

26.频率为

的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（

）方向传播，介质的特性参数为

、

，

。

设电场沿

方向，即

；当

，

时，电场等于其振幅值

 。

试求

（1）

和

；

（2）波的传播速度；

（3）平均波印廷矢量。

解：

以余弦形式写出电场强度表示式

把数据代入

则

（2）波的传播速度

（3）平均坡印廷矢量为

27.在由

、

和

围成的圆柱形区域，对矢量

验证散度定理。

解：

在圆柱坐标系中

所以

又

故有

28.求

（1）矢量

的散度；

（2）求

对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求

对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解：

（1）

（2）

对中心在原点的一个单位立方体的积分为

（3）

对此立方体表面的积分

故有

29.计算矢量

对一个球心在原点、半径为

的球表面的积分，并求

对球体积的积分。

解：

又在球坐标系中

所以

30.求矢量

沿

平面上的一个边长为

的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与

轴和

轴相重合。

再求

对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解：

又

所以

故有

31.证明

（1）

；

（2）

；（3）

。

其中

，

为一常矢量。

解：

（1）

（3）设

则

故

32.两点电荷

位于

轴上

处，

位于

轴上

处，求

处的电场强度。

解：

电荷

在

处产生的电场为

电荷

在

处产生的电场为

故

处的电场为

33.两平行无限长直线电流

和

，相距为

，求每根导线单位长度受到的安培力

。

解：

无限长直线电流

产生的磁场为

直线电流

每单位长度受到的安培力为

式中

是由电流

指向电流

的单位矢量。

同理可得，直线电流

每单位长度受到的安培力为

34.一个半径为

的导体球带电荷量为

，当球体以均匀角速度

绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度

。

解：

球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度

绕一个直径旋转时，球面上位置矢量

点处的电流面密度为

将球面划分为无数个宽度为

的细圆环，则球面上任一个宽度为

细圆环的电流为

细圆环的半径为

，圆环平面到球心的距离

，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

35.半径为

的球体中充满密度

的体电荷，已知电位移分布为

其中

为常数，试求电荷密度

。

解由

，有

故在

区域

在

区域

36.一个半径为

薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为

为的体电荷，球壳上又另充有电荷量

。

已知球内部的电场为

，设球内介质为真空。

计算：

（1）球内的电荷分布；

（2）球壳外表面的电荷面密度。

解：

（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为

（2）球体内的总电量

为

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷

，而且在球壳外表面上还要感应电荷

，所以球壳外表面上的总电荷为2

，故球壳外表面上的电荷面密度为

37.中心位于原点，边长为

的电介质立方体的极化强度矢量为

。

（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；

（2）证明总的束缚电荷为零。

解：

（1）

同理

（2）

38.一半径为

的介质球，介电常数为

，其内均匀分布自由电荷

，证明中心点的电位为

解：

由

可得到

即

故中心点的电位为