广东省中山市学年高二上学期期末数学试题解析版.docx
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广东省中山市学年高二上学期期末数学试题解析版
中山市2019-2020年高二级期末数学试卷
1.“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
先考虑充分性,当x>0时,,当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.
再考虑必要性,当时,如果x>0时,成立,当x=1时取等.当x<0时,不等式不成立.所以x>0.
故选C.
2.在等差数列中,若的值是()
A.15B.16C.17D.18
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知直接利用等差数列的性质求解.
【详解】在等差数列{an}中,由a1+a2+a3=3,
得3a2=3,即a2=1,
又a5=9,
∴a8=2a5-a2=18-1=17.
故选C.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的性质,是基础题.
3.如图在一个的二面角的棱上有两点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且均与棱垂直,若,,,则的长为().
A.2B.3C.D.4
【答案】B
【解析】
分析】
由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求.
【详解】解:
,
,
,,
,,
.
,
,
故选:
.
【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4.已知等比数列的各项均为正数,前项和为,若,则
AB.C.D.
【答案】C
【解析】
由得,,解得,从而,故选C.
5.《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.现有如下图形:
是半圆的直径,点在半圆周上,于点,设,,直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
是半圆的半径,为圆的直径,,由射影定理可知,,在中,,,当与重合时,,所以,故选D.
6.已知点是双曲线(,)的右支上一点,是右焦点,若(是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线的离心率为
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用(是坐标原点)是等边三角形求出坐标,代入双曲线方程,可得关系,然后求解离心率即可.
【详解】因为(是坐标原点)是等边三角形,
所以由三角函数定义,得点A(ccos,csin),即A(c,c),
代入双曲线方程,
可得 b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1,故选D.
【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,关键就是确立一个关于的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,从而可解决问题,其中,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
7.如图,为了测量某湿地两点之间的距离,观察者找到在同一条直线上的三点.从点测得,从点测得,,从点测得.若测得,(单位:
百米),则两点之间的距离为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在中根据三角形内角和为可求得,从而得到;在中利用正弦定理可求得;在中利用余弦定理可求得结果.
【详解】在中,,,则
在中,,,则
由正弦定理得:
在中,,,
由余弦定理得:
故选:
【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的距离类问题的求解,涉及到正弦定理、余弦定理的应用;关键是能够将所求长度放到三角形中,通过求解三角形中的边长和角度,通过余弦定理求得结果.
8.设动点到点和的距离分别为和,,且存在常数,使得,则动点的轨迹的方程为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用余弦定理找出边角关系,再根据和的关系求出曲线方程.
【详解】由题知在中,,
根据余弦定理有,
整理有,
即,
故点的是以,为焦点的双曲线,且,
又因为,
所以,
所以双曲线中,,,
故双曲线方程为.
故选:
A.
【点睛】本题主要考查了求点的轨迹方程,双曲线的定义,余弦定理,属于基础题.
9.若,则下列结论中正确的是()
A.B.C.D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先根据求出,关系,再根据,关系判断选项是否正确.
【详解】由题知,
所以,
对于A选项,由于在上单调递减,
所以当时,可以得到,故A正确,
对于B选项,因为,不等式两边同乘负数得,
故B正确,
对于C选项,因为,所以,
故C错误,
对于D选项,由于在上单调递增,
所以当时,可以得到,故D正确,
故选:
ABD.
【点睛】本题主要考查了根据函数单调性判断函数值的大小,不等式的基本性质,属于基础题.
10.在中,角所对的边的长分别为,则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是()
A.B.
C.D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据选项的边角关系,结合正弦定理,判断选项是否为直角三角形.
【详解】对于A选项,,
利用正弦定理角化边有,
整理得,
有,
因为,所以,
故选项A正确,
对于B选项,可知当三角形为等边三角形时,等式同样成立,
故选项B错误,
对于C选项,,根据半角公式有,
,
整理得,
故选项C正确,
对于D选项,,
因为在任意的三角形中都有,
所以两式相加可得,
整理得,
故选项D正确.
故选:
ACD.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用,属于基础题.
11.已知点和点,直线,的斜率乘积为常数,设点的轨迹为,下列说法正确的是()
A.存在非零常数,使上所有点到两点,距离之和为定值
B.存在非零常数,使上所有点到两点,距离之和为定值
C.不存在非零常数,使上所有点到两点,距离之差的绝对值为定值
D.不存在非零常数,使上所有点到两点,距离之差的绝对值为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】
首先求出点的轨迹方程,然后分类讨论,即可判断出选项是否正确.
【详解】设点坐标,
因为直线,的斜率乘积为常数,
所以,
可知当,轨迹圆,
当,轨迹为椭圆,
当,轨迹为双曲线,且焦点在轴上,
对于A选项,点的轨迹为焦点在轴上的椭圆,且焦点的距离为,
由轨迹方程知,椭圆的长轴长为,长轴长小于焦距,这样的椭圆不存在,
故A错误,
对于B选项,点的轨迹为焦点在轴上的椭圆,且焦点的距离为,
由轨迹方程知,椭圆的长轴长为,短轴长为,
有,故B正确,
对于C选项,点的轨迹为焦点在轴上的双曲线,且焦点的距离为,
由轨迹方程知,双曲线的实轴长为,虚轴长为,
有,故C错误,
对于D选项,点的轨迹为焦点在轴上的双曲线,
但题中轨迹方程焦点在轴上,故满足条件的非零常数不存在,
故D正确.
故选:
BD.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,双曲线的定义,点的轨迹方程,属于一般题.
12.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,斐波那契数列被誉为是最美的数列,斐波那契数列满足:
,,.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论正确的是()
A.B.
C.D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题中递推公式,求出,,数列的前项和,数列的奇数项和,与选项对比即可.
【详解】对于A选项,因为斐波那契数列总满足,
所以,
,
,
类似的有,,
累加得,
由题知,
故选项A正确,
对于B选项,因为,,,
类似的有,
累加得,
故选项B正确,
对于C选项,因为,,,
类似的有,
累加得,
故选项C错误,
对于D选项,可知扇形面积,
故,
故选项D正确,
故选:
ABD.
【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质,属于一般题.
13.命题:
,是__________(填“全称命题”或“特称命题”),它是_________命题(填“真”或“假”).
【答案】
(1).特称命题
(2).假
【解析】
【分析】
根据题中命题判断命题类型,再根据命题是否成立判断命题的真假.
【详解】由题知命题:
,中条件为,
故命题为特称命题,
又因为方程中,
故方程没有根,所以命题为假命题.
故答案为:
特称命题;假.
【点睛】本题主要考查了特称命题的判断,命题真假的判断,属于基础题.
14.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有,则x=________.
【答案】
【解析】
【分析】
四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为1,即可求出x的值.
【详解】已知且M,A,B,C四点共面,
则,解得x=
【点睛】本题考查了空间向量的共面问题,向量共面定理的推论:
对空间内任一点P与不共线的三点A,B,C共面的充要条件是,存在唯一的有序数组{x,y,z},使得,且x+y+z=1,其中O为空间内任一点.
15.已知直线经过抛物线的焦点,与交于两点,若,则的值为__________.
【答案】
【解析】
:
由得设则又直线经过抛物线的焦点
解得
又|
即答案为.
16.若数列满足:
,若数列的前99项之和为,则__________.
【答案】
【解析】
分析:
知道数列的前99项之和为,故要求,可先求数列的前100项之和.由条件可得,,,以上式子相加可求得,再根据即可求得结果.
详解:
由可得
以上各式相加可得.
因为数列的前99项之和为,所以.
点睛:
(1)知道数列的前项之和,求.注意与之间的关系
(2)数列求和问题,注意求和的方法有:
裂项抵消、错位相减法、倒序相加、公式法.
17.如图,是直角斜边上一点,,记,.
(1)证明;
(2)若,求的值.
【答案】
(1)根据两角和差的公式,以及诱导公式来得到证明.
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由题意得,即可化简得证;
(2)在中,由正弦定理得,在由
(1)中,可求得方程,即可求解角的值.
试题解析:
(1)如图:
∵,∴,
即.
(2)在中,由正弦定理得
,∴
由
(1)得,∴,
即,解得或
∵,∴,所以.
考点:
正弦定理;三角恒等变换.
18.两城市和相距,现计划在两城市外以为直径的半圆上选择一点建造垃圾处理场,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城和城的总影响度为城和城的影响度之和,记点到城的距离为,建在处的垃圾处理场对城和城的总影响度为,统计调查表明:
垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为4,对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为,当垃圾处理场建在的中点时,对城和城的总影响度为0.065;
(1)将表示成的函数;
(2)判断上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小?
若存在,求出该点到城的距离;若不存在,说明理由;
【答案】
(1);
(2)存在,该点到城市A的距离时,总影响度最小;
【解析】
【分析】
(1)根据“垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为4,对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为”,建立函数模型:
,再根据当时,,求得即可.
(2)总影响度最小,即为:
求的最小值时的状态,令,将函数转化为:
,再用基本不等式求解.
【详解】
(1)由题意得,
又当时,,
,.
(2),
令,则,
当且仅当,即时,等号成立,
弧上存在一点,使建在此处的垃圾处理场对城和城