孟华版自动控制原理课后习题答案.docx
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孟华版自动控制原理课后习题答案
孟华--自动控制原理--课后习题答案
第一章
（略）
2.1试分别写出图2.68中各无源电路的输入Ur（t）与输出Uc（t）之间的微分方程。
解:
+oJ_~~0+
I
urPgLlc
（a）W生h，C（&Uc）
Ri
S，i1i2
Uc
R2，
CU&
Uc
Ri
R2
Ci&
R2
Ri
R2
Ur
（b）Ci（&Uc）ii，土U1i2，ii12
Ri
C2l&1，Uci1R2U1，
（c）
R1R2C1C2U&（R|C1R1C2
R2CJ&UcRiR2CiC2&*
（RiCiR2C1）i&
Ur
UrUc
Ri
i1，G（UrUi）i2，
Ui1
iii2R,，UcC2
i1dt
Ui,
RiR2C1C2U&（RiC2R2C2
R2Ci）&UcR2CiC2U&
（R2C2R2C1）&
Ur
2.2试证明图2.69（a）所示电路与图2.69（b）所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2.69（b）中Xr（t）为输入，Xc（t）为输出，均是位移量。
（a）
（b）
+
UrUc
R
ii，Ci（&Uc）i2，
R1R2C1C2U&（RGR]C2
i1i2
R2C2）U&
i，Uc
Uc
B2（&&）K2X1,Bi（X&）Ki（Xr
Xc）
旦电X&（旦邑虫）X&
K1K2KiK2Ki
试分别求出图2.70中各有源电路的输入
2.3
解:
Ur
（a）C&
Uc瓦，Uc
1
C2
idt
51
iR2，
RR2C1C2i8&（RGR2C2）u&ur
B2（X
&）,
B1B2
Xc--
K1K2
Bi
（1邑）&Xr
KiK2
Uc（t）之间的微分方程。
Ur（t）与输出
（b）
图2.70习题2.3图
R2
Ri
Ur
（b）
uruc
瓦Cu&,R2Cu&uc
Ri
R2CU&ur
ur1urL—c
（c）
Uc睜CR1dt，RCuc
2.4
某弹簧的力-位移特性曲线如图
2.71所示。
在仅存有小扰动的情况下,
当工作点分别为
X。
=-1.2、0、2.5时，试计算弹簧在工作点附近的弹性系数。
理力牛顿〉
图2.71习题2.4图
40羽
ia
a-10-刘-30
解:
设力f与位移X的关系为f=g（X）。
取增量方程:
fdg（x）
dx
x,Xo=-1.2、
x0
0、2.5
dg（x）
dx
为工作点处的弹性系数，
x0
分别从曲线中量出为
3020
05叫
16
20,8
2
2.5设某系统的传递函数为G（s）,
在初始条件为零时，施加输入测试信号
r（t）=t（t丸）,
测得其输出响应为c（t）=1+sint+2
e-2t（t为）试确定该系统的G（s）。
解:
2.6
其中
解:
11
R（s）—，C（s）-
ss
系统的微分方程组如下:
1_s21s
勺，G（s）
c4c32c
3s3s5s2s
s32s2s2
X1（t）r（t）c（t）,X2（t）-
c
X3（t）
K2X2（t）,
X4（t）
X3（t）
dx5（t）
心&⑴,
K4X5
（t）T
X5（t）K5c（t）
讐c（t）
Ki，K2，K3，K4,K5,
KiXi（t）
T均为正常数。
试建立系统r（t）对c（t）的结构图。
2.7系统的微分方程组如下:
M）
r（t）
c（t）m（t）,X2（t）K1X1（t）
X3（t）
X2（t）
dx4（t）
X5（t）,T-X3
dt
X5（t）
X4（t）
2
©nNN2（t）,K°X5（t）dt
dc（t）dt
其中Ko，K1,K2，T均为正常数。
试建立系统结构图。
解:
2.8图2.72是一个模拟调节器的电路图。
试写出输入与输出之间的微分方程，并建立该调
解:
（a）
4%
Ri
ii，ii
U1dU1
匕5），
R2
i2
Ui
R3，
U2
1
C2
i2dt,
U2
R4
R5，
2.9
R1R3R4C1C2
R5
Uc
R-!
R3R4C2
R2R5Uc
Uc
Ur
图2.73是一个转速控制系统，输入量是电压Ua，输出量是负载的转速
，试写出其输
入输出间的微分方程，并画出系统的结构图。
解:
（a）uaiaRa
Ldiaadt
图2.73习题2.9图
-J
Ke,Md5,Md」石
LaJ
KiKe
1（RaJLaB）（-1）—ua
KiKeKiKeKe
2.10某机械系统如图2.74所示。
质量为m、半径为R的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连
过轴心），假定圆筒在倾角为的斜面上滚动（无滑动），试求出其运动方程和结构图。
图2.74习题2.10图
2.11试化简图2.75中各系统结构图，并求传递函数C（S）/R（S）。
（a）（b）
解:
（C）
图2.75习题2.11图
（a）G（S）
（b）G（s）
GGCIUH2）
1G1H1H1H2
G1G2G2G3
1G1G2H2G2H1
（c）G（s）
G1G2G3G4
1G2G3H3G1G2G3H2G3G4H4G1G2G3G4h1
2.13系统的信号流图如图2.77所示，试用梅逊公式求C（s）/R（s）。
习题2.13图
解:
J-1
（b）
（a）G（S）
0.5K
s33.5s2s0.5K
（b）G（s）
2.14试梅逊公式求图2.78所示结构图的传递函数C（S）/R（S）。
解:
（a）G（S）
G4
1g2h1
G1G2H1G2G5H2
G1G2G
G1G2G3G4G1G5G6（1G4H2）
1G1G2H1G1G2G3G1G5G4H2G1G2G4H1H2
（b）G（s）
G1G22G1G2
1G1G23G1G2
2.15已知系统结构图如图2.79所示，试写出系统在输入R（s）及扰动N（s）同时作用下输出
C（s）的表达式。
图2.79习题2.15图
解:
C（s）
[G1G2GG3（1G2H）]R（s）[1G2HG1G2G4GiG3G4（1G2H）]N（s）
1G1G2G2HG1G3G1G2G3H
2.16系统的结构如图2.80所示。
R1（s）
R2（s）
（1）求传递函数C1（s）/R1（s）,C2（s）/R1（s）,C1（s）/R2（s）,C2（s）/R2（s）；
（2）求传递函数阵G（s），其中，C（s）=G（s）R（s）,C（s）=C⑸，R（s）=
C2⑸
CMs）
&（s）
解:
G1G2G3（1G5H2）
Ri（s）1G5H2GsUG5G7G8
Ci（s）
R2（S）
G3G4G5G9
1G5H2G3H1G5G7G8
G12（s）
葩G3H1）_G22（s）
R2（s）1G5H2G3H1G5G7G8
（2）
2.17
G（s）
G11（s）G12（s）
G21（s）G22（S）
已知系统结构图如图2.81所示。
（1）试求传递函数C（s）/R（s）和C（s）/N（s）;
Go（s）o
（2）若要消除干扰对输出的影响，即C（s）/N（s）=O，试问应如何选取
图2.81习题2.17图
解：
（1）
（2）
C（s）
R（s）
C（s）
N（s）
Go（s）
QK2K3
K1K2K3s（Ts1）
KEGGoW）K3K4S
K1K2K3s（Ts1）
K4s
K1K2
3.1.已知系统的单位阶跃响应为
c（t）10.2e60t1.2e10t
（t0）
试求：
（1）系统的闭环传递函数①（s）=?
⑵阻尼比Z?
无自然振荡频率3n=?
12e10t
解：
（1）由c（t）得系统的单位脉冲响应为g（t）12e60t
（s）L[g（t）]叫
「12丄—
10s60S270s
600
（2）与标准（S）
2
n
S22n
60024.5,
70
—1.429
2、:
600
3.2.设图3.36（a）所示系统的单位阶跃响应如图
3.36（b）所示。
试确定系统参数K2和a。
（a）
fl
J（5+d）
（b）
图3.36习题3.2图
解：
系统的传递函数为
W（s）
K1
s（sa）K
1
s（s
K1_
a）
K1K2
2~
s
as
K1
2
n
s22n
又由图可知：
超调量Mp
43
~3~
代入得
解得:
ln3
峰值时间tp
「12；
0.1
K1
0.33,
n20.3333.321.98，
n.1
KK2
10
一1
0.1
33.3，K1
2
n1108.89，
K2
3.3.给定典型二阶系统的设计性能指标:
超调量p5%，调节时间ts3s，峰值时间tp1s，
试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解：
设该二阶系统的开环传递函数为
则满足上述设计性能指标:
ts
0.05
3
tp
n-1
得:
0.69,
.匚2
1「1
由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示:
3.4.设一系统如图3.37所示。
⑻求闭环传递函数C（s）/R（s），并在S平面上画出零极点分布图;
（b）当r（t）为单位阶跃函数时，求c（t）并做出c（t）与t的关系曲线。
解：
（a）系统框图化简之后有
零极点分布图如下:
（b）若rt
C（s）
8
35s
大致曲线图略。
C（s）
为单位阶跃函数,
2
（sj）（s
2
0.5s2.25
2s
（sj）（s
2
j）
Zi
2,si,2
*35
j）
2
235
s（s）
4
1
35
s
4
8s
235
35（s）
4
c（t）
1
35
4
8
35
3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为
8
35
8
35
352s（/
2
、35
s2
2
（予
8cos35
351
2
sin朋t
35
C（s）
R（s）s22nsn
分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。
⑴=2，n=5s'；
（2）1.2，n=5s1；
（3）说明当>1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。
解：
（1）（=2）>1，闭环极点岂2nnJ21105^3
w（s）RS
25
~2
s20s25
C（s）W（s）R（s）
251
s220s25s
11T1n（..21）5（2.3）25（2
c（t）
t
点1"1
e5（23）t
1643
e5（23）t
D
643
s,1.34,s218.66|s2/s1|13.95
5（23）t
e
c（t）111.07735e
64（3
ts2.29s
（2）
（=1.2）>1，闭环极点$2
n
65.0.44
25
2
s20s25
T1
1
5（1.2.0.44）
1
5（1.2.0.44）
c（t）1丁
T2「1
e百
T1T21
5（1.2044）t
e
1.20.44
5（1.2
e
1.20.44
ts
（3）答：
1.5时,
1.2,0.44
1
1.2,0.44
Si
5.0.44
2.68,s2
9.32
-（6.45
n
1.7）
-（6.451.2
5
1.7）1.2s
Sl,2
n,217.5
51.25oS11.91,S213.09,
|勺/®|6.855,两个闭环极点的绝对值相差
5倍以上，离原点较远的极点对应的暂态分量初值小、
衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的
5倍以上），因此可以忽略掉。
3.6.设控制系统闭环传递函数为
G（s）
2
n
S22nS
2，试在S平面上绘出满足下列各要求的系
n
统特征方程式根可能位于的区域:
（1）1>丸.707,n淳
（2）0.5>
（3）0.707>>0.5,n电
3.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变,测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度升为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线
（见图3.38）和所测数据，并假设传递函数为
G（s）（S）K
V（s）s（sa）
图3.38习题3.7图
可求得K和a的值。
若实测结果是：
加10V电压可得
1200r/min的稳态转速，而达到该值
50%的时间为1.2s,试求电机传递函数。
提示：
注意
V（s）
（s）K，其中（t）
sa
单位是
dt
rad/s
解：
由式上！
=
V（s）
可得
sa
K
（s）——V（s）
sa
K10
10K
1
~T~
s（—s
a
1）
10K11
（）assa
（t）空（1
at）
0（1
t
eT）
（1.2）0（1
1.2a）
0.5
0（1
1.2a、e）
0.5
ln2
1.2
0.58
10K
1200rmin20r/s
10
遷別1.16
10
电机传递函数为：
G（s）V（：
；為J；58）
s平面其
3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半
根的个数及纯虚根。
（1）
43
s3s
3s2
2s2
0
3
2
⑵
0.02s
0.3s
s20
0
⑶
54
s2s
2s3
44s2
11s
10
0
⑷
0.1s4
1.25s3
2.6s2
26s
25
0
答案:
（1）劳斯表如下：
s4132
s332
2
s732
s147
s02
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定
（2）劳斯表如下：
3
s0.021
2
s0.320
s113
s020
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定
（3）劳斯表如下：
5s
1
2
11
4s
2
44
10
3s
20
6
2s
2235
10
1s
23385
0s
10
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定
（4）劳斯表如下：
4s
0.1
2.625
3s
1.25
26
2s
0.52
25
1s
0s
劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定
3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是
G（s）
1
&0.1s1）（0.2s1）
采用比例控制器，比例增益为Kp，试利用劳斯判据确定Kp值的范围。
0.3
图3.39
习题3.9图
解：
G（s）
Kp
s（0.1s
1）（0.2s
1）
特征方程为：
D（s）
3
0.002s
0.3s2s
Kp
0
劳斯表如下:
3s
0.002
1
2s
0.3
Kp
10.3
s
0.002Kp
s0Kp
0.30.002Kp-0
要使系统稳定只需0.3，解得0Kp150。
Kp0
3.10.某控制系统的开环传递函数为
G（s）H（s）
K（s1）
s（Ts1）（2s1）
试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。
解：
由系统开环传函可知
劳斯表如下:
D（s）
s（Ts
1）（2s1）
K（s1）
2Ts3
（2
T）s2（K
1）sK0
3s
2T
K1
2s
2T
K
1o
2K
（1K）T
2
s
2T
0s
K
由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。
若第一列元素均大于0，即
T0
2T0
2K（1K）T20
K0
解得K0，2（K1）（K1）T
当K>1时0T巡9，当oK1时,T0。
K1
3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为
（1）G（s）
K*（s1）
s（s1）（s5）
⑵G（s）s（s1）（s5）
试确定使闭环系统稳定的开环增益K的取值范围（注意K^K*）
3
解：
（1）D（s）0.2s
2
0.8s（K1）sK
3
s
2
s
劳斯表如下：
1
s
0.2
0.8
3K4
4
K
解得：
使闭环系统稳定的开环增益
K的取值范围K
32
（2）D（s）0.2s0.8s
由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益
K取何值闭环系统都不稳定。
3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为
G（s）s（1s/3）（1s/6）
若要求闭环特征方程的根的实部均小于-1,问K值应取在什么范围？
如果要求实部均小于
况又如何？
解：
由反馈系统的开环传函
K
18K
匸2丿
s（s
3）（s
6）
s（1
次1
3
6
D（s）
s3
9s2
18s
18K
0
D（z）
（z
1）3
9（z
1）2
18（z
1）
18K
z3
6z2
3z
18K
10
0
（1）令sz1,得:
劳斯表如下:
3z
2z
1z
0z
13
618K10
2818K
6
18K10
欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零:
0得5K14
18K100
（2）令sz2,得：
D⑵
（z2）3
9（z
3z
3z26z
18K
如果要求实部均小于
2，
由特征方程可见，
何值，系统都不稳定。
99
2）218（z2）18K
80
a260，系统稳定的必要条件不成立，无论K取
3.13.单位反馈系统的开环传递函数为
G（s）
4
s（s22s2）
（1）求系统的单位阶跃响应;
⑵输入信号为r（t）=1（t），求系统的误差函数e（t）；
解：
（1）开环传递函数G（s）
4
s（s22s2）
闭环传递函数
W（s）
s（s22s2）4
4
2
（s2）（s2）
单位阶跃响应
C（s）
2
（s2）（s2）s
Ko
s
K2sK3
s22
Ko
1,K1
K2
K3
1
C（s）-
s
2s1
3s22
1
r~2
s
s22
_2
"3"
2
s22
c（t）
12t
e
3
2
cos.2t
3
（2）不考虑扰动作用
r（t）
1（t）
G（s）
2
s（0.5s2
s1）
Kp
limG（s）
s0
1_
K?
3.14.某控制系统的结构图如图
3.40
所示。
（1）当a=0时，试确定系统的阻尼比
Z无阻尼自然振荡频率
conn和单位斜坡信号作用时系统的
稳态误
（2）当系统具有最佳阻尼比（Z0.707）时，确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
（3）若要保证系统具有最佳阻尼比（Z0.707）,且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少？
解：
（1）当a=0时，G（s）
L，W（s）
8
s22s8
Kv
limsG（s）4，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr
1
kv
当Z=0.707时，
G（s）s（s28a）'
W（s）
8
s2（2
8a）s8'
28a,得a0.25,G（s）
s（s
8_
"4）
Kv
limsG（s）
s0
信号作用时系统的稳态误差
1
essrk
0.5。
（3）此时G（s）
s（s2Ka），W（s）
s2（2Ka）sK
联立上两式解得
Kv
!
imsG（s）
3
16
K
2Ka
Ka
3.15•已知单位反馈系统闭环传递函数为
C（s）
b0
R（s）s41.25s35.1s22.6s10
（1）求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数b°,bi应满足的条件;
（2）在
（1）求得的参数b0,b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。
解：
（1）等效单位负反馈开环传递函数
G（s）s41.25s35.1s2（2.6b1）s10b0
根据单位斜坡输入时，稳态误差为0得:
b°10即开环传递函数为
匕2.6
G（s）孑
2.6s10
2
（s21.25s
5.1）
（2）单位抛物线输入时
5
s
5
2
mo
s
2
s
叫
■Is
图3.41习题3.16图
1
N（s）0,巳⑸卫
R（s）
1
1s
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