九年级数学寒假专题九二次函数.docx
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九年级数学寒假专题九二次函数
专题九二次函数
★河南近10年中招热点命题规律
结合近10年中考试卷分析，此类题目多结合三角形和四边形进行考查，综合性较强，题目难度较大，题型、题序以及分值都很稳定，每年均在第23题以及解答题的形式命题。
一般为3问，第1问常考查待定系数法确定抛物线的解析式；第2问结合三角形周长、面积、线段长等问题考查列关系式及最值问题；第3问多是几何图形的探究问题。
★解题技巧：
考点考查
常考类型举例
题型特征
处理思路
问题背景研究
求坐标或函数解析式，求角度和线段
已知点坐标、解析式或几何图形部分信息
研究坐标、解析式、研究边角、特殊图形。
模型套路运用
线段长表达的应用：
求面积、周长的函数关系式等
速度已知，所求关系式和运动时间相关
1、分段：
动点转折分段、图形碰撞分段；
2、利用动点路程表达线段长；
3、设计方案表达关系式。
坐标系下，所求关系式和坐标相关
1、利用坐标及横平竖直线段长；
2、根据线段表达不同分类；
3、设计方案表达面积或周长。
求线段和（差）的最
有定点（线）、不变特征、或不变关系
利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。
套路整合及
分类讨论
点的存在
点的存在满足某种关系
1、分析动点、定点或不变特征；
2、根据几何特征或函数特征列方程求解
图形的存在
特殊三角形、特殊四边形的存在
1、分析动点、定点或不变关系（如平行）；
2、根据特殊图形的判定、性质，确定分类；
3、根据几何特征或函数特征建等式。
三角形相似、全等的存在性
1、找定点，分析目标三角形边角关系；
2、根据判定、对应关系确定分类；
3、根据几何特征建等式求解。
一、二次函数的表达式
①一般式：
（a、b、c为常数，a≠0）
②顶点式：
（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：
（其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次
方程
的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。
二、二次函数的图像与性质
函数
（a≠0）
（a≠0）
a＞0
a＜0
a＞0
a＜0
图
象
开口
开口
开口
开口
性
对称轴是x＝
顶点是（）
对称轴是x＝
顶点是（）
对称轴是x＝
顶点是（）
对称轴是x＝
顶点是（）
质
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大
抛物线有点，
当x=时，
y有最值，
y=
抛物线有点，
当x=时，
y有最值，
y=
抛物线有点，
当x=时，
y有最值，
y=
抛物线有点，
当x=时，
y有最值，
y=
字母
字母特征
图像特征
a
b
c
考点一：
二次函数图像与性质
1．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（ ）个
①c＞0；②若点B（﹣
，y1）、C（﹣
，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；
③2a﹣b=0；④
＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．
A．2B．3C．4D．5
2．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过（﹣2，0），则下列结论：
①bc＞0；②b+2a=0③a+c＞b；④16a+4b+c=0；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞﹣1D．x＜﹣1
4．已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥﹣1B．b≤﹣1C．b≥1D．b≤1
5．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣x﹣6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
6．抛物线y=ax2+bx+c开口向上，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则当ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 ．
7．已知点A（4，y1），B（
，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 ．
8．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为 ．
考点训练二：
二次函数线段、周长问题
1．如图，抛物线y=ax2+bx+1经过点（2，6），且与直线y=
x+1相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；
（3）在
（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．
2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0），直线y=﹣
x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方抛物线上一个动点，过P作PE⊥x轴交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=
时，在抛物线的对称轴上找一点G，使PG+GB最小，求点G的坐标；
（3）若E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：
FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒
个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．
4．如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标（4，3），
．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若点P在第四象限内的抛物线上，求△ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）若点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的
倍，求点M的坐标．
考点训练三：
二次函数面积问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=
x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：
10？
若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
2．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
3．如图，抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？
如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？
求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．
4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x=﹣1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小唐探究点P的位置时发现：
当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB=NB的关系，请求出点P的坐标；
（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？
若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
5．如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：
y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．
（2）①求证：
抛物线l经过点C．
②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．
（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．
考点训练四：
三角形、四边形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：
线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？
如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，抛物线与y轴交于C点，已知A（﹣1，0）．
（1）直线AN：
y=x+1交抛物线于另一点N，求N点坐标；
（2）已知D（2，0），点P是第一象限内抛物线上的点，当∠PDC=2∠DCO时，求P点横坐标；
（3）如图2，将抛物线沿x轴正方向平移，平移后的抛物线交y轴于点F，与x轴的右交点为E点，G为AC的中点，延长GO交EF于点H，是否存在这样的拋物线，使得GH⊥EF？
若存在，求出平移后的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
4．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？
若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；
（4）设点M是x轴上的动点，试问：
在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？
若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
5．如图，抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B两点，与y轴交于C（0，2）点，点D与点C关于抛物线的对称轴l对称．连接AC，AD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是抛物线上一点．若∠PDA与∠OAC互余，求点P的坐标．
（3）在抛物线对称轴l上是否存在一点Q．使△QAD为直角三角形？
若存在，请直接写出所有Q点坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当点P运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC的面积；
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？
若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
考点训练五：
三角形相似问题
1．如图，抛物线y=ax2+bx+1与直线y=﹣ax+c相交于坐标轴上点A（﹣3，0），C（0，1）两点．
（1）直线的表达式为 ；抛物线的表达式为 ．
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标．
2．如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=
，求点Q的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？
若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，已知直线y1=
x+b和抛物线y2=﹣
x2+ax+b都经过点B（0，1）和点C，过点C作CM⊥x轴于点M，且CM=
．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿OM向点M运动，过点P作PE⊥x轴分别交抛物线和直线于点E，F．当点P运动多少秒时，四边形EFMC为菱形？
（3）在
（2）的条件下，在直线AC上确定一点Q，使得以点E、F、Q为顶点的三角形与△AMC相似，并求出点Q的坐标．
1．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
2．如图，直线y=﹣
x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣
x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3与直线y=x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．
（1）求m，n的值及抛物线的解析式；
（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y=x+3上，求线段OP的长度；
（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，直线y=﹣
x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=
x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
5．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：
当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：
对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．
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