所以，当y=1时，x=6-4/3=14/3,舍去；当y=2时，x=6-8/3=10/3，舍去；
当y=3时，x=6-12/3=2,符合;当y=4时，x=6-16/3=2/3，舍去。
所以,3x+4y=18的正整数解为：
x=2
y=3
再例：
①、如果x=3是方程组ax-2y=5的解，求a-b的值。
y=-12x+by=3
②、甲、乙两人共解方程组ax+5y=15,①由于甲看错了方程①中的a，得到的方程组的解
4x-by=-2,②
为x=-3，乙看错了方程②中的b,得到的方程组的解为x=5,试计算aA2009+
y=-1,y=4,
（-b/10）A2010的值。
二、二元一次方程组的解法——消元（整体思想就是：
消去未知数,化“二元”为“一元”）
1、代入消元法：
由二元一次方程组中的一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
注：
代入法解二元一次方程组的一般步骤为：
1、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表
示出来；
2、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！
）,消去一个未知数，得到一个一元
一次方程；
3、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；
5、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。
2、加减消元法：
两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。
注：
加减法解二元一次方程组的一般步骤为：
1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。
例：
解方程组：
1、4y—（2y+x+16）/2=-6x②、x/2+y/3=13/2
2y+3x=7-2x-yx/3-y/4=3/2
3、用换元法解方程组：
根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出方程组中未知数的解。
例：
i、解方程组:
5/（x+1）+4/（y-2）=2
ii、已知方程组
2a-3b=13
3a+5b=30.9
7/（x+1）-3/（y-2）=13/20
的解是ab==18..32，则方程组2（x+2）-3（y-1）=13
b=1.23（x+2）+5（y-1）=30.9
的解是：
（）
x=8.3x=10.3x=6.3
A、y=1.2B、y=2.2C
、y=2.2D
x=10.3、y=0.2
4、用整体代入法解方程组：
例：
解方程组：
2x-y=6①
（x+2y）（4x-2y）=192②
解：
将②变形为：
（x+2y）X2（2x-y）=192
③，把①代入③得：
（x+2y）X2X6=192,即x+2y=
再把①和④组成新的方程组：
2x-y=6解得：
x+2y=16
x=5.6
y=5.2
5、另外几种类型的例题：
（1）、若Im+n-5|+（2m+3n-5）
2=0,求（m-n）2的值。
2）、已知代数式
x2+ax+b，当x=-1
时，它的值是5，当x=1时，它的值是-1，求当x=2时，代数
式的值。
4）、已知方程组
3x-5y=2m
2x+7y=m-18
的解x、y互为相反数，求m、x以及y的值。
5）、关于x、y的方程组
2x-y=k
3x+y=k+1
的解，也是方程2x+y=3的解，求k的值。
3）、已知方程组5x+y=3
与
x-2y=5
有相同的解，求m，n的值。
mx+5y=4
5x+ny=1
（6）、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售。
该公司的加工能力是：
每天可以精加工6
吨或者粗加工16吨。
现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？
如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
三、实际问题与二元一次方程组
1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：
审题并找出数量关系式—>设元（设未知数）—>根据数量关系式列出方程组—>解方程组—>检验并作答（注意：
此步骤不要忘记）2、列方程组解应用题的常见题型：
（1）、和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系式是：
较大量-较小量=相差量，总量=倍数x倍量；
（2）、产品配套问题：
解这类题的基本等量关系式是：
加工总量成比例；
（3）、速度问题：
解这类问题的基本关系式是：
路程=速度x时间，包括相遇问题、追及问题等；
（4）、航速问题：
①、顺流（风）：
航速=静水（无风、时的速度+水（风）速；
2、逆流（风）：
航速=静水（无风、时的速度-水（风）速；
（5）、工程问题：
解这类问题的基本关系式是：
工作总量=工作效率X工作时间，（有时需把工作总量看作1）；
（6、、增长率问题：
解这类问题的基本关系式是：
原量x（1+增长率）=增长后的量，原量x（1-减少率）
=减少后的量；
（7）、盈亏问题：
解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量；
（8）、数字问题：
解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示；
（9）、几何问题：
解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；
（10）、年龄问题：
解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。
例1:
一批水果运往某地，第一批360吨，需用6节火车车厢加上15辆汽车，第二批440吨，需用8节火车车厢加上10辆汽车，求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？
例2:
甲、乙两物体分别在周长为400米的环形轨道上运动，已知它们同时从一处背向出发，25秒后相
遇，若甲物体先从该处出发，半分钟后乙物体再从该处同向出发追赶甲物体，则再过3分钟后才赶上甲，
假设甲、乙两物体的速度均不变，求甲、乙两物体的速度。
例3:
甲、乙二人分别以均匀速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度比乙大，当二人反向运动
时，每150秒相遇一次，当二人同向运动时，每10分钟相遇一次，求二人的速度。
例4:
有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3:
7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4:
1,
今要得到酒精与水的比是3:
2的酒精溶液50kg，求甲、乙两种溶液各取多少kg？
例5:
一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50个，或制作桌腿300
条，现有5立方米木料，请问，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？
此时，可以制成多少张方桌？
例6:
某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟,
如果他以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离。
例7:
某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、蔬菜三种农作物，已知种植各种农
作物每公顷所需劳动力人数
及投入资金如右表：
已知该农场计划投入资金
67万元，应该怎样安排这三
种农作物的种植面积才能使
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
所有职工都有工作而且投入资金正好够用?
例&某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人
的旅游团到该酒店租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？
年级
捐款数额
5/22
（元）
捐助贫困中学生人数
（名）
捐助贫困小学生人数
（名）
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
例9:
某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生
的学习费用需要b元。
某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与使用这些捐款恰好资助受捐助中学生和小学生人数的部分情况如右表：
（1）、求a、b的值；
（2）初三年级的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请分别计算出初三年级的捐款所资助的中学生
和小学生人数。
四、三元一次方程组的解法
1、概念：
由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方程中含有的未知数的次数都是
次，这样的方程组叫三元一次方程组注：
三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足“方程组中共含有三个未知数”的条件即可。
2、解三元一次方程组的基本思想:
y的值是多少?
三元一次
方程组
消元
>
（代入法、加减法）
二元一次方程组
消元
>
（代入法、加减法）
元一次方程
例1:
解方程组
3x+4y+z=14
x+5y+2z=17
2x+2y-z=3
3x+4z=7
2x+3y+z=9
5x-9y+7z=8
例2：
在y=ax
2+bx+c中，当x=1时,
y=0;x=2时，y=3;x=3时,y=28，求a、
b、c的值。
当x=-1时,
例3:
甲、乙、丙三数之和是26,甲数比乙数大1,甲数的两倍与丙数的和比乙数大18,求这三个数。
例4:
小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每
小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米，那么小明从家到学校需要1小时，从学校
回家只需要44分钟。
求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
第二章整式的乘法
1同底数幕的乘法：
am-an=am+n，底数不变，指数相加•
2•幕的乘方与积的乘方：
（am）n=amn，底数不变，指数相乘；（ab）n=anbn，积的乘方等于各因式乘方的积
3•单项式的乘法：
系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里
4.单项式与多项式的乘法：
m（a+b+c）=ma+mb+mc,用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
5.多项式的乘法：
（a+b）•（c+d）=ac+ad+bc+bd，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加•
6.乘法公式：
（1）平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；
（2）完全平方公式：
1（a+b）2=a2+2ab+b2,两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍；
222
2（a-b）=a-2ab+b,两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍；
2222
探③（a+b-c）=a+b+c+2ab-2ac-2bc，略.
7.配方:
2
（1）若二次三项式x2+px+q是完全平方式，则有关系式：
—q；
2
探
（2）二次三项式ax2+bx+c经过配方，总可以变为a（x-h）2+k的形式，利用a（x-h）2+k
1可以判断ax2+bx+c值的符号；②当x=h时，可求出ax2+bx+c的最大（或最小）值k.
、、宀2112
探（3）注意：
x22x2.
x2x
&同底数幕的除法：
am+an=am-n，底数不变，指数相减.
9.零指数与负指数公式：
1
（1）a°=1（a丰0）；a-n=「（a丰0）.注意：
0°,0-2无意义；
an
（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：
0.000020仁2.01X10-5.
第三章因式分解
1.因式分解
定义：
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：
多项式几个整式的积
1
例：
一ax
3
1bx
1
x（ab）
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法:
（1）提公因式法：
1定义：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的
形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：
多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数一一取各项系数的最大公约数
字母一一取各项都含有的字母
指数取相同字母的最低次幕
例：
12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是.
解析：
从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部
分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c，故多项式的公因式是2a3b2c.
2提公因式的步骤
第一步：
找出公因式；
第二步：
提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：
提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要
先提取符号。
例1：
把12a2b18ab224a'b3分解因式.
解析：
本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幕是ab,故公因式为6ab。
解：
12a2b18ab224a'b3
22
6ab（2a3b4ab）
例2：
把多项式3（x4）x（4x）分解因式
解析：
由于4x（x4），多项式3（x4）x（4x）可以变形为3（x4）x（x4）,我们可以发现多项
式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后，再将多项式写成积的形式•解：
3（x4）x（4x）
=3（x4）x（x4）
=（3x）（x4）
2例3：
把多项式x22x分解因式
解：
x22x=（x22x）x（x2）
（2）运用公式法
定义：
把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
a•逆用平方差公式：
22
a2b2（ab）（ab）
b.逆用完全平方公式：
a2
2ab
b2（a
b）2
c.逆用立方和公式：
a3b3
（a
b）（a2
ab
b2（）拓展）
d•逆用立方差公式：
a3b3
（a
b）（a2
ab
b2（）拓展）
注意：
①公式中的子母可代表
个数、
一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：
主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项
式，可考虑完全平方公式。
例1：
因式分解
2a
14a
49
解：
a2
14a
49=
（a
7）2
例2：
因式分解
2a
2a（b
c）
（b
c）2
解：
a2
2a（b
c）
（b
c）2=
（abc）2
（3）分组分解法（拓展）
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；
例：
把多项式abab1分解因式
解：
abab1=（aba）（b1）=a（b1）（b
1）（a1）（b1）
2将多项式分组后能运用公式进行因式分解
22
例：
将多项式a22ab1b2因式分解
22
解：
a22ab1b2
22
=（a22abb2）1
2
（ab）21（ab1）（ab1）
4）十字相乘法（形如x2（pq）xpq（x
p）（xq）形式的多项式，可以考虑运用此种方法）
方法：
常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数
x2（pq）xpq
2
X（pq）xpq（xp）（xq）
例：
分解因式x2x30
补充点详解
我们可以将-30分解成pxq的形式，
使p+q=-1,pxq=-30,我们就有p=-6,
q=5或q=-6,p=5。
q=50
所以将多项式x2（pq）xpq可以分
解为（xp）（xq）
2
分解因式x52x100
补充点详解
我们可以将100分解成pxq的形式，
使p+q=52,pxq=100,我们就有p=2,
或q=2,p=50。
所以将多项式x2（pq）xpq可以分
解为（xp）（xq）
x
5
x
2
x
-6
x
50
x2x30
（x6）（x5）
x252x100
（x50）（x2）
3.因式分解的一
-般步骤：
如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
“三分组”、
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。
因此，可以概括为：
“一提”“二套”、
“四十字”。
注意：
因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
例题解析
提公因式法
提取公因式：
如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面
确定公因式的方法：
系数一一取多项式各项系数的最大公约数；
字母（或多项式因式）一一取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幕
【例1】分解因式：
⑴15aab"1I0abba"（n为正整数）
⑵4a2n1bm6an2bm1（m、n为大于1的自然数）
【巩固】
分解因式：
（X
2n
y）
1（xz）（x
、2n
y）2（y
x）2n（yz），n为正整数.
【例2】
先化简再求值，
yx
yxy
2
xyx，
其中x2，y-.
2
求代数式的值：
（3x
2
2）（2x1）
（3x2）（2x
22
1）x（2x1）（23x），其中x-
3
【例3】已知：
bca
2
2，求—a（ab
3
c）b（-c
3
2a
3
1
-c（2b2c
3
2a）的值
分解因式：
x3（x
yz）（yza）
2
xz（zx
y）
2
xy（z
xy）（xz
a）.
公式法
平
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