微分中值定理论文.docx

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微分中值定理论文

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微分中值定理论文

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引言

通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。

对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。

由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。

通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。

微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性,和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。

中值定理的内容及联系

基本内容[4][5]

对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。

而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。

它们分别是“罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）定理”。

这三个定理的具体内容如下：

Rolle定理

若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使。

Lagrange定理

若在上连续，在内可导，则至少存在一点，使

Cauchy定理

设，在上连续，在内可导，且，则至少存在一点

，使得

。

三个中值定理之间的关系

现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。

那它们之间具体有什么样的关系呢？

我们又如何来探讨呢？

这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。

首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。

相反，如果在拉格朗日定理中添加这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。

通过这一发现，可以得到这样的一个结论：

拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。

继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？

我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的的话，发现定理成为了拉格朗日定理。

这使得我们发现他们二者之间的联系，拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。

我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。

总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。

我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。

如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？

在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。

若用几何解释：

“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。

定理的推广[6][7]

前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。

从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数在上是连续，在内是可导。

那么我们如果把定理中的闭区间，把它推广到无限区间或，再把开区间推广到无限区间或的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？

通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。

定理1若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使成立。

证明：

令，则，即可得到关于参数函数

当时，则

即，，再令

在上连续，在内可导，且，由Rolle定理可得到，使成立

令，有，而.

，使成立

证毕

定理2若在上连续，在内可导，并且，至少存在一点，使成立。

定理2的证明可以参照定理1。

定理3若在上连续，在内可导，并且，则至少存在

一点，使

成立。

证明：

设，则，即可得到关于参数函数

当时，则

即，，再令

在上连续，在内可导，由Lagrange定理得

，使成立

即

令，有，而，

，使

成立.

证毕

定理的应用

通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。

我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。

我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。

利用定理证明方程根（零点）的存在性

例1若在上连续，在内可导，证明在内方程。

分析：

由于题目是要求方程是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为。

那么方程有根的话，则原方程也有根。

变形之后的方程有存在，所以可以利用不定积分把方程，转变为。

现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道在区间上连续，在区间内可导，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数在上连续,在内可导，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。

证明:

令，

显然在上连续,在内可导，

而.

根据Rolle定理,至少存在一点，

使.

证毕

本文主要在于辅助函数的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。

对于构造辅助函数我们可以得到，所以选在利用罗尔定理证明。

这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。

下来我们继续看两道例题：

设在，在，证明：

在内存在一点，

使成立。

分析：

对于等式，则可以两边同除以，即等式左端为，这个商式可看为函数在上的改变量与自变量的改变量之商，则会考虑利用Lagrange定理，那么可构造辅助函数。

证明:

，则在，在，

由Lagrange定理，存在一点，使，

即，

即

证毕

设在，在，证明:

在内存在一点，

使成立。

分析:

等式两边同除以，即该等式的左端为，这个商式可看为函数与在闭区间上的改变量之商，则我们会想到利用柯西定理来证明，那么构造辅助函数。

证明：

令，对，在上运用Cauchy定理，

得，

即，

即.

证毕

用定理求极限

在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程。

但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。

而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。

例1求，其中。

分析：

由于题目中有和，则可以试着构造辅助函数，那么就可以得到在连续，在可导，即可以利用Lagrange定理解题了。

解：

根据题意，由Lagrangge定理，有

其中，

已知，试求。

解：

令，则对于函数在上满足Lagrangge定理可得：

，

当时，把得到的上述个不等式相加得：

即

故

证明不等式

对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。

故不等式的证明对数学是很重要的。

当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。

“我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式”。

下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用。

例1设，对的情况，求证。

分析：

证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。

那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？

我们来看下不等式，不难发现当时，等式两边就相等了，所以接下来排除，分两步讨论。

在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢？

不妨设，。

利用Cauchy定理即可证明。

证明：

当时结论显然成立，当时，取或，在该区间设

，，由Cauchy定理得：

或

即

当时，，

即

又

故，即

当时，，

则

故，即

由此，不等式得证

例2已知在满足，且在内取最大值，试证：

。

分析：

若能找到点，使，则要证的结论便转化为变量的形式：

，

则根据Lagrangge定理证之即可。

然而对于的寻找，应该从题目中条件的在开区间内取到最大值入手。

定理推广的应用

对于中值定理推广到无限区间上，在于求解一些题目，如果应用了中值定理的该推广会比较方便的得到解题，下面我们来看一个例子：

例1如果函数，求证：

，使得。

分析：

对于该题目我们通常会采用这样一种证法，令，有

，即可得证。

这种证明的方法，可以说是利用极限方法来证明的，我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。

若要运用中值定理来证明是否可以呢？

下面给出该方法。

证明：

由题得在连续，在可导，且可得：

那么，由推广定理的定理1，得到：

，使得

证毕

例2设在上可得，且，证明：

，使得

。

证明问题相当于要找，使，因函数在内可导，故，即

又，即

所以

由定理2知，使得，即题目得证。

证毕

中值定理的应用广泛，本文从几个方面介绍了该定理的运用。

通过以上的例题让大家知道，应用这几定理的关键和解题的难点，是在于对辅助函数的构造。

在论文中通过一些题目的解题过程让大家了解到对于一道题目来说，他的解题的方法具有多样性，对于方法的选择是解题过程繁简的关键，选择一种简便的方法可以使我们快速有效的作答。

也希望通过这几道例子能让大家对定理加深理解和应用。

结论

本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习，和一些相关学科内容的知识的学习，并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容，其中还包括自己对这些内容的理解，还通过多方面的了解和研究，且在和老师和同学们的一起探讨下，我们了解到微分中值定理的内在联系，也对微分中值定理的推广做了探讨，接着对微分中值定理的应用做了归纳总结。

对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，三个定理之间的联系为主要的研究对象，希望通过本课题能让大家加深了对的这三个定理的理解和应用，也希望通过例题的解析，能使得大家在应用微分中值定理上更加的娴熟。

参考文献：

[1]盛晓兰.例谈微分中值定理的证题技巧[J].技术监督教育学刊,2009，1：

16-19.

[2]党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用[J].廊坊师范学院学报（自然科学版）,2010,1:

28-31.

[3]刘章辉.微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报（自然科学版）,2007,23

（2）:

79-81.

[4]欧阳光中朱学炎.复旦大学数学系.数学分析第三版上册[M].北京:

高等教育出版社,2007.184-225.

[5]阿黑波夫萨多夫尼奇丘巴里阔夫.数学分析讲义第3版[M].北京:

高等教育出版社,2006.94-95.

[6]纪华霞.微分中值定理的几个推广结论[J].高等函授学报（自然科学版），2006,19（6）:

33-38.

[7]杨万必龙鸣.微分中值定理的推广[J].2005,23

（1）:

31-33.