第一章 1201.docx

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第一章1201

第一章1.2.2

1.2.2　充要条件

目标定位　1.理解充要条件的含义.2.通过具体命题，掌握判断充要条件的方法.

3.会证明具体问题中的必要性和充分性.

自主预习

充要条件

一般地,如果既有p

q，又有q

p就记作p

q.

此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

概括地说,如果p

q,那么p与q互为充要条件.

即时自测

1.思考题

（1）如何证明充要条件？

提示：

分清充分性和必要性.

（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”有什么区别？

提示：

这两种说法的充分性与必要性不同，“p是q的充要条件”的充分性是p⇒q，必要性是q⇒p，而“p的充要条件是q”恰恰相反.

2.设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由A∩B＝A可知，A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.

答案　C

3.“x＞1”是“log

（x＋2）＜0”的（　　）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析　由x＞1⇒x＋2＞3⇒log

（x＋2）＜0，log

（x＋2）＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，

类型二　充要条件的证明（互动探究）

【例2】求证：

方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.

[思路探究]

探究点一　证明充分性时，条件和结论分别是什么？

提示：

条件：

k<－2；

结论：

方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两根均大于1.

探究点二　在Δ≥0的条件下，

能否推出

？

若不能，该怎样推证？

提示：

⇒

证明　充分性：

当k<－2时，

Δ＝（2k－1）2－4k2＝1－4k>0.

设方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两个根为x1，x2.

则（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝k2＋2k－1＋1＝k（k＋2）>0.

又（x1－1）＋（x2－1）＝（x1＋x2）－2＝－（2k－1）－2＝－2k－1>0，

∴x1－1>0，x2－1>0.

∴x1>1，x2>1.

必要性：

若方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

⇒

即

解得k<－2.

综上可知，方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.

规律方法　一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.

【训练2】求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.

解　

（1）当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；

（2）当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，

则必须满足

⇒0

.

综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤

.

反之，若a≤

，则方程至少有一个负的实根.

因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤

.

[课堂小结]

1.充要条件的判断有三种方法：

定义法、等价命题法、集合法.

2.充要条件的证明与探求

（1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别；

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.

（2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.

答案　A

2.函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（　　）

A.m＝－2B.m＝2C.m＝－1D.m＝1

解析　当m＝－2时，f（x）＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.

答案　A

3.已知直线l1：

x＋ay＋6＝0和l2：

（a－2）x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________，

解析　由1×3－a×（a－2）＝0得a＝3或－1，

而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.

答案　－1

4.证明：

a，b，c成等差数列的充要条件是a＋c＝2b.

证明　充分性：

a＋c＝2b⇒b－a＝c－b⇒a，b，c成等差数列；

必要性：

a，b，c成等差数列⇒b－a＝c－b⇒a＋c＝2b.

基础过关

1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数.

答案　A

2.设{an}是等比数列，则“a1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析　{an}为等比数列，an＝a1·qn－1，由a10，q>1或a1<0，0

答案　C

3.设x∈R，则“x＞

”是“2x2＋x－1＞0”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析　因为{x|2x2＋x－1＞0}＝{x|x＞

，或x＜－1}，所以{x|x＞

}

{x|2x2＋x－1＞0}，故选A.

答案　A

4.设a,b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件.

解析　由数量积的定义可得cosθ＝±1，所以a∥b.

答案　充分必要

5.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

解析　已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1，3；当n＝4时，方程有整数根是2.

答案　3或4

6.求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件.

解　当a＝0时，2x＋1>0不恒成立.

当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立⇔

⇔a>1.

所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1.

7.已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件.

解　设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1，x2，由题意知

⇔

⇔

⇔

⇔m≥6.

即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6.

8.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：

<

的充要条件是xy>0.

证明　

（1）必要性：

由

<

，得

－

<0，即

<0，

又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.

（2）充分性：

由xy>0及x>y，

得

>

，即

<

.

综上所述，

<

的充要条件是xy>0.

能力提升

9.在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“

·

<0”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　当△ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个都有可能是钝角，不一定有

·

<0；但当

·

<0时，A为钝角，△ABC一定是钝角三角形.

答案　B

10.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析　存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.

答案　A

11.下列不等式：

①x<1；②0

其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________.

解析　由于x2<1，即－1

答案　②③④

12.关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________.

解析　由题意知|2x－3|＞a恒成立，∵|2x－3|≥0，

∴a<0.

答案　a<0

13.求证：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

证明　充分性：

（由ac<0推证方程有一正根和一负根）

∵ac<0，

∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，

则x1x2＝

<0，∴方程的两根异号.

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.

必要性：

（由方程有一正根和一负根推证ac<0）

∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，

则由根与系数的关系得x1x2＝

<0，即ac<0，

综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

探究创新

14.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明　充分性：

如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，

|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立.

当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时.

又当x>0，y>0时，

|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立.

当x<0，y<0时，|x＋y|＝－（x＋y），

|x|＋|y|＝－x－y＝－（x＋y），∴等式成立.

总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立.

必要性：

若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

得|x＋y|2＝（|x|＋|y|）2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，

∴|xy|＝xy，

∴xy≥0.

综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.