1、第一章 1201第一章 1.2.21.2.2充要条件目标定位1.理解充要条件的含义.2.通过具体命题,掌握判断充要条件的方法.3.会证明具体问题中的必要性和充分性.自 主 预 习充要条件一般地,如果既有pq,又有qp就记作pq. 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.即 时 自 测1.思考题(1)如何证明充要条件?提示:分清充分性和必要性.(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”有什么区别?提示:这两种说法的充分性与必要性不同,“p是q的充要条件”的充分性是pq,必要性是qp,
2、而“p的充要条件是q”恰恰相反.2.设A,B是两个集合,则“ABA”是“AB”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由ABA可知,AB;反过来AB,则ABA,故选C.答案C3.“x1”是“log(x2)0”的()A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析由x1x23log(x2)0,log(x2)0x21x1,类型二充要条件的证明(互动探究)【例2】 求证:方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.思路探究探究点一证明充分性时,条件和结论分别是什么?提示:条件:k2;结论:方程x2(2k
3、1)xk20的两根均大于1.探究点二在0的条件下,能否推出?若不能,该怎样推证?提示:证明充分性:当k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1,x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10,x110,x210.x11,x21.必要性:若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,则即解得k2.综上可知,方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.规律方法一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即qp
4、;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即pq.【训练2】 求关于x的方程ax2x10至少有一个负实根的充要条件.解(1)当a0时,解得x1,满足条件;(2)当a0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则a0;若方程有两个负的实根,则必须满足0a.综上,若方程至少有一个负的实根,则a.反之,若a,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2x10至少有一个负实根的充要条件是a.课堂小结1.充要条件的判断有三种方法:定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别;p是q的充要条件
5、,则由pq证的是充分性,由qp证的是必要性;p的充要条件是q,则pq证的是必要性,由qp证的是充分性.(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.1.对于非零向量a,b,“ab0”是“ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当ab0时,得ab,所以ab,但若ab,不一定有ab0.答案A2.函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()A.m2 B.m2 C.m1 D.m1解析当m2时,f(x)x22x1,其图象关于直线x1对称,反之也成立,所以f(x)x2mx1
6、的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.答案A3.已知直线l1:xay60和l2:(a2)x3y2a0,则l1l2的充要条件是a_,解析由13a(a2)0得a3或1,而a3时,两条直线重合,所以a1.答案14.证明:a,b,c成等差数列的充要条件是ac2b.证明充分性:ac2bbacba,b,c成等差数列;必要性:a,b,c成等差数列bacbac2b.基 础 过 关1.“x,y均为奇数”是“xy为偶数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当x,y均为奇数时,一定可以得到xy为偶数;但当xy为偶数时,不一定必有x,y均为奇数,也可能x,y均为偶数
7、.答案A2.设an是等比数列,则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析an为等比数列,ana1qn1,由a1a2a3,得a1a1q0,q1或a10,0q0恒成立的充要条件.解当a0时,2x10不恒成立.当a0时,ax22x10恒成立a1.所以不等式ax22x10恒成立的充要条件是a1.7.已知关于x的方程x2mx2m30,求使方程有两个大于1的实根的充要条件.解设方程x2mx2m30的两根分别为x1,x2,由题意知m6.即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m6.8.已知x,y都是非零实数,且xy,
8、求证:0.证明(1)必要性:由,得0,即y,得yx0.(2)充分性:由xy0及xy,得,即.综上所述,0.能 力 提 升9.在ABC中,“ABC为钝角三角形”是“0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当ABC为钝角三角形时,角A,B,C中的任何一个都有可能是钝角,不一定有0;但当0时,A为钝角,ABC一定是钝角三角形.答案B10.设m,n为非零向量,则“存在负数,使得mn”是“mn0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析存在负数,使得mn,则mnnn|n|20,因而是充分条件,反之mn
9、0,不能推出m,n方向相反,则不是必要条件.答案A11.下列不等式:x1;0x1;1x0;1x1.其中,可以为x21的一个充分条件的所有序号为_.解析由于x21,即1x1,显然不能使1x1一定成立,满足题意.答案12.关于x的不等式|2x3|a的解集为R的充要条件是_.解析由题意知|2x3|a恒成立,|2x3|0,a0.答案a013.求证:一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明充分性:(由ac0推证方程有一正根和一负根)ac0.方程一定有两不等实根,设为x1,x2,则x1x20,方程的两根异号.即方程ax2bxc0有一正根和一负根.必要性:(由方程有一正根和一负根推
10、证ac0)方程ax2bxc0有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x20,即ac0,综上可知,一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0两种情况,当xy0时,不妨设x0,得|xy|y|,|x|y|y|,等式成立.当xy0,即x0,y0或x0,y0,y0时,|xy|xy,|x|y|xy,等式成立.当x0,y0时,|xy|(xy),|x|y|xy(xy),等式成立.总之,当xy0时,|xy|x|y|成立.必要性:若|xy|x|y|且x,yR,得|xy|2(|x|y|)2,即x22xyy2x2y22|x|y|,|xy|xy,xy0.综上可知,xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件.
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