第一章 1201.docx

1、第一章 1201第一章 1.2.21.2.2充要条件目标定位1.理解充要条件的含义.2.通过具体命题，掌握判断充要条件的方法.3.会证明具体问题中的必要性和充分性.自 主 预 习充要条件一般地,如果既有pq，又有qp就记作pq. 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.即 时 自 测1.思考题(1)如何证明充要条件？提示：分清充分性和必要性.(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”有什么区别？提示：这两种说法的充分性与必要性不同，“p是q的充要条件”的充分性是pq，必要性是qp，

2、而“p的充要条件是q”恰恰相反.2.设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由ABA可知，AB；反过来AB，则ABA，故选C.答案C3.“x1”是“log(x2)0”的()A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析由x1x23log(x2)0，log(x2)0x21x1，类型二充要条件的证明(互动探究)【例2】 求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.思路探究探究点一证明充分性时，条件和结论分别是什么？提示：条件：k2；结论：方程x2(2k

3、1)xk20的两根均大于1.探究点二在0的条件下，能否推出？若不能，该怎样推证？提示：证明充分性：当k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210.x11，x21.必要性：若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则即解得k2.综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.规律方法一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp

4、；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即pq.【训练2】 求关于x的方程ax2x10至少有一个负实根的充要条件.解(1)当a0时，解得x1，满足条件；(2)当a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a0；若方程有两个负的实根，则必须满足0a.综上，若方程至少有一个负的实根，则a.反之，若a，则方程至少有一个负的实根.因此，关于x的方程ax2x10至少有一个负实根的充要条件是a.课堂小结1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别；p是q的充要条件

5、，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则pq证的是必要性，由qp证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.1.对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当ab0时，得ab，所以ab，但若ab，不一定有ab0.答案A2.函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()A.m2 B.m2 C.m1 D.m1解析当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以f(x)x2mx1

6、的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.答案A3.已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a_，解析由13a(a2)0得a3或1，而a3时，两条直线重合，所以a1.答案14.证明：a，b，c成等差数列的充要条件是ac2b.证明充分性：ac2bbacba，b，c成等差数列；必要性：a，b，c成等差数列bacbac2b.基 础 过 关1.“x，y均为奇数”是“xy为偶数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当x，y均为奇数时，一定可以得到xy为偶数；但当xy为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数

7、.答案A2.设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析an为等比数列，ana1qn1，由a1a2a3，得a1a1q0，q1或a10，0q0恒成立的充要条件.解当a0时，2x10不恒成立.当a0时，ax22x10恒成立a1.所以不等式ax22x10恒成立的充要条件是a1.7.已知关于x的方程x2mx2m30，求使方程有两个大于1的实根的充要条件.解设方程x2mx2m30的两根分别为x1，x2，由题意知m6.即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m6.8.已知x，y都是非零实数，且xy，

8、求证：0.证明(1)必要性：由，得0，即y，得yx0.(2)充分性：由xy0及xy，得，即.综上所述，0.能 力 提 升9.在ABC中，“ABC为钝角三角形”是“0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个都有可能是钝角，不一定有0；但当0时，A为钝角，ABC一定是钝角三角形.答案B10.设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析存在负数，使得mn，则mnnn|n|20，因而是充分条件，反之mn

9、0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.答案A11.下列不等式：x1；0x1；1x0；1x1.其中，可以为x21的一个充分条件的所有序号为_.解析由于x21，即1x1，显然不能使1x1一定成立，满足题意.答案12.关于x的不等式|2x3|a的解集为R的充要条件是_.解析由题意知|2x3|a恒成立，|2x3|0，a0.答案a013.求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)ac0.方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x20，方程的两根异号.即方程ax2bxc0有一正根和一负根.必要性：(由方程有一正根和一负根推

10、证ac0)方程ax2bxc0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0，综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0两种情况，当xy0时，不妨设x0，得|xy|y|，|x|y|y|，等式成立.当xy0，即x0，y0或x0，y0，y0时，|xy|xy，|x|y|xy，等式成立.当x0，y0时，|xy|(xy)，|x|y|xy(xy)，等式成立.总之，当xy0时，|xy|x|y|成立.必要性：若|xy|x|y|且x，yR，得|xy|2(|x|y|)2，即x22xyy2x2y22|x|y|，|xy|xy，xy0.综上可知，xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件.