高中数学幂函数指数函数与对数函数经典练习题.docx

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高中数学幂函数指数函数与对数函数经典练习题

高中数学-幂函数、指数函数与对数函数（经典练习题）

高中数学精英讲解

幂函数、指数函数、对数函数

【第一部分】知识复习

【第二部分】典例讲解

考点一：

幂函数

例1、比较大小

例2、幂函数，（m∈N），且在（0，＋∞）上是减函数，又，则m=

A．0

B．1

C．2

D．3

例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．

∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵

∴．又是偶数，∴，∴．

（2），．

当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；

当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．

例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系

变式训练：

A．y=－3x2

B．y=3x2

C．

D．y=x2＋x－1

6、若f（x）在［－5，5］上是奇函数，且

f（3）

（1），则（

A．f（－1）f

（1）

C．f（－1）

（1）

D．f（－3）>f（－5）

7、若y=f（x）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f（x）图象上的是（）

A．（a，－f（a））

B．（－a，－f（a））C．（－a，－f（－a））D．（a，f（－a））

9、

若函数f（x）=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）

且f（－1）=0，则满足f（x）>0的的取值范围是（）

DACADABACD

9、

，函数为偶函数，则有f（－x）=f（x），即x2－ax=x2

＋ax，所以有a=0．

10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f（x）在上单调递增，则当

x<－1时，f（x）<0，当－10，又f

（1）=－f（－1）=0，故当01时，f（x）>0．则满足f（x）>0的．

12、解：

考点二：

指数函数

已知函数

（1）证明函数f（x）在其定义域内是增函数；

（2）求函数f（x）的值域．

例5、如果函数（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．

例1、解析：

y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=ax向下移动．而当01时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又

图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．故选B．

答案：

B

例2、分析：

在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分.根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．

解答：

令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：

∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是（－∞，0]∪[1,2]．

小结：

当遇到y=f（ax）类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解．

例3、分析：

求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．

解答：

因为方程有负实数根，即x<0，

解此不等式，所求a的取值范围是

例4、分析：

对于

（1），利用函数的单调性的定义去证明；对于

（2），可用反解法求得函数的值域．

因为x1

>0,＋1>0,所以f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∞，＋∞）上是增函数．

（2）设，则，因为102x>0，所以，解得－1

以函数f（x）的值域为（－1，1）．

例5、分析：

考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．

解：

设t=ax>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．

x2

若a>1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈，∴当t=a时，ymax=a2＋2a－1=14．

解得a=3或a=－5（舍去）．

x

若0

∴所求的a值为3或．

变式训练：

1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

函数

是（

奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数

D．非奇非偶函数

2、

A．

3、

A．

4、

A．

5、

A．

6、

A．

7、

A．

8、

A．

函数的值域是（）

B．C．D．

已知,则函数的图像必定不经过（）

第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

函数的定义域为（）

B．C．D．

已知，则下列正确的是（）

奇函数，在R上为增函数

B．偶函数，在R上为增函数

9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．

10、下列说法中，正确的是（）

①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有；

③是增函数；④的最小值为1；

⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．

A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤

11、若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a>0且a≠1的）图象有两个公共点，则a的取值范围

12、函数的定义域是．

13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=ax－2＋1的图象恒过定点

14、函数y=的递增区间是.

15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=（）x－1－4（）x＋2的最大值和最小值．

16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．

17、设a是实数，

（1）试证明对于a取任意实数，f（x）为增函数；

（2）试确定a的值，使f（x）满足条件f（－x）＝－f（x）恒成立．

18、已知f（x）＝（a>0且）．

1）求f（x）的定义域、值域．

（2）讨论f（x）的奇偶性．（3）讨论f（x）的单调性．

答案及提示：

1-10DADADDDACB1、可得0

2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.

3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<－1.

4、通过图像即可判断.

5、

7、即为函数的单调减区间，由，可得，

，则函数在上为减函数，故所求区间为

8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，

函数

函数.

9、可得

11、0

10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数．

提示：

数形结合.由图象可知0<2a<1，0

13、（2,2）提示：

当x=2时，y=a0＋1=2．

14、（－∞，1］

提示：

∵y=（）x在（－∞，＋∞）上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=（x－1）2＋1的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递增区间是（－∞，1］．

15、解：

由9x－10·3x＋9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.

∴0≤x≤2，令（）x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4（t－）2＋1.

当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.

16、解法一：

设y=5－|x＋1|，则00且f

（1）≤0，得－3≤m<0.

解法二：

∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈（0，1］，∴m=（y－2）2－4∈［－3，0）．

即f（x1）

f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数．

（2）由f（－x）=－f（x）得，解得a=1，即当a=1时，f（－x）=－f（x）

18、解：

（1）定义域为R．

．

∴值域为（－1，1）．

∴f（x）为奇函数．

（3）设，则

当a>1时，由，得，

，

∴当a>1时，f（x）在R上为增函数．

同理可判断当0

考点三：

对数函数

例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．

例2、已知函数f（x）=lg（ax2＋2x＋1）（a∈R）.

（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）

若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围.

例4、已知f（x）=loga（ax－1）（a>0，a≠1）.

（1）求f（x）的定义域；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）求函数y=f（2x）与y=f1（x）的图象交点的横坐标.

－1，3）；

≤4.

例1解：

由－x＋2x＋3>0，得x－2x－3<0，∴－1

∴f（x）≥=－2，即函数f（x）的值域为[－2，＋∞）；

∵g（x）=－（x－1）2＋4的对称轴为x=1.

∴当－1

当1≤x<3时，g（x）为减函数，∴f（x）为增函数．

即f（x）在（－1，1]上为减函数；在[1，3）上为增函数．

例2、分析：

令g（x）=ax2＋2x＋1，由f（x）的定义域为R，故g（x）>0对任意x∈R均成立，问题转化为g（x）>0恒成立，求a的取值范围问题；若f（x）的值域为R，则g（x）的值域为B必满足B（0，＋∞），通过对a的讨论即可．

解答：

（1）令g（x）=ax2＋2x＋1，因f（x）的定义域为R，∴g（x）>0恒成立．

2）因f（x）的值域为R，设g（x）=ax2＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）

若a<0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；

若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.

若a>0，则△=4－4a≥0，∴a≤1.

综上所述，当f（x）的值域为R时，有0≤a≤1.

例3、分析：

题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据

对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.

解答：

当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.

∴当x=2时，y有最小值－.

当x=8时，y有最大值2.

例4、分析：

题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，

讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f（2x）=f－1（x）的解．

解答：

（1）ax－1>0得ax>1.

∴当a>1时，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

当0

（2）令g（x）=ax－1，则当a>1时，g（x）=ax－1在（0，＋∞）上是增函数.

即对0

而y=logax在（0，＋∞）上是增函数，

∴logag（x1）

∴f（x）=loga（ax－1）在（0，＋∞）上是增函数；

当0

即对x1g（x2）>0．

而y=logax在（0，＋∞）上是减函数，

∴logag（x1）

∴f（x）=loga（ax－1）在（－∞，0）上是增函数.

综上所述，f（x）在定义域上是增函数．

2xx

（3）∵f（2x）=loga（a2x－1），令y=f（x）=loga（ax－1），

则ax－1=ay，∴ax=ay＋1，∴x=loga（ay＋1）（y∈R）．

∴f－1（x）=loga（ax＋1）（x∈R）

由f（2x）=f－1（x），得loga（a2x－1）=loga（ax＋1）．

∴a2x－1=ax＋1，即（ax）2－ax－2=0.

∴ax=2或ax=－1（舍）

∴x=loga2.

－1

即y=f（2x）与y=f1（x）的图象交点的横坐标为x=loga2．

变式训练：

、选择题

1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象是（）

2、将y=2x的图象（象．

），再作关于直线

y=x对称的图象，可得函数

y=log2（x＋1）和图

A．先向左平行移动1个单位

B．先向右平行移动1个单位

C．先向上平行移动1个单位

D．先向下平行移动1个单位

3、函数

的定义域是（

A．（1，＋∞）

B．（2，＋∞）

C．（－∞，2）

D．（1，2]

A．10x＋3＋1

B．10x－3－1

C．10x＋3－1

D．10x－3＋1

A．（－∞，1）B．（2，＋∞）

C．（－∞，）D．（

＋∞）

6、已知f（x）=|logax|，其中0

8、已知01，且ab>1，则下列不等式中正确的是（）

B．

C．

A．

D．

9、函数f（x）的图象如图所示，则y=log0.2f（x）的图象示意图为（

10、关于x的方程（a>0，a≠1），则（）

A．仅当a>1时有唯一解B．仅当0

C．必有唯一解D．必无解

二、填空题

11、函数的单调递增区间是.

12、函数在2≤x≤范4围内的最大值和最小值分别是

1）写出y=g（x）的解析式；

（2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f（x）－g（x）|≤，1试求a的取值范围.答案及提示：

1-10DDDDABBBCC

1、当a>1时，y=logax是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确.∴应选D.

2、解法1：

与函数y=log2（x＋1）的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.

解法2：

在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2（x＋1）的图象，直接观察，即可得D.

3、由≥0，得0

5、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选A.

6、不妨取，可得选项B正确．

7、由f（－x）=f（x）知f（x）为偶函数，答案为B.

8、由ab>1，知，故且，故答案选B.

10、当a>1时，0<<1，当01，

作出y=ax与y=的图象知，两图象必有一个交点.

11、答案：

（－∞，－6）

提示：

x2＋4x－12>0，则x>2或x<－6.

当x<－6时，g（x）=x2＋4x－12是减函数，

在（－∞，－6）上是增函数

12、答案：

11，7：

∵2≤x≤4，∴

则函数

，

∴当

时，

y最大为11；当

时，y最小为7.

13、答案：

∞，

]

提示：

原方程等价于

由③得

.∴当x>0时，

9a≤，即a≤.

又∵x

≠3，∴a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）

.∴a≤.

14、解：

要使f（x）<0，即

当a>b>0时，有x>

当a=b>0时，有x∈R；

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Ql⅛二Sj

∴0

由|f（x）－g（x）|≤1，即

∴r（x）=x2－4ax＋3a2在[a＋2，a＋3]上是增函数.

∴h（x）=loga（x2－4ax＋3a2）在[a＋2，a＋3]上是减函数.

∴当x=a＋2时，h（x）max=h（a＋2）=loga（4－4a），

当x=a＋3时，h（x）min=h（a＋3）=loga（9－6a）.

13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是.

14、已知（a>0，b>0），求使f（x）<0的x的取值范

围.

15、设函数f（x）=x*2－x＋b，已知log2f（a）=2，且f（log2a）=b（a>0且a≠1），

（1）求a，b的值；

（2）试在f（log2x）>f

（1）且log2f（x）

（1）的条件下，求x的取值范围．

16、已知函数f（x）=loga（x－3a）（a>0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g（x）图象上的点.