高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用夯基提能作业本文I.docx

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高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用夯基提能作业本文I

2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用夯基提能作业本文（I）

1.（xx北京朝阳二模）“x>0,y>0”是“+≥2”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.当x>0时,函数f（x）=有（　　）

A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2

3.（-6≤a≤3）的最大值为（　　）

A.9B.C.3D.

4.已知函数f（x）=4x+（x>0,a>0）在x=3时取得最小值,则a=　　　　. 

5.已知a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为　　　　. 

6.（xx北京石景山一模）某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计为　　　　米. 

7.（xx北京丰台一模）设a+b=M（a>0,b>0）,M为常数,且ab的最大值为2,则M等于　　　　. 

8.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求

（1）xy的最小值;

（2）x+y的最小值.

9.某厂家拟在明年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-（k为常数）,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知明年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将明年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;

（2）该厂家明年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

B组　提升题组

10.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是（　　）

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,+∞）D.（-∞,-2]

11.若直线2ax+by-2=0（a>0,b>0）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是（　　）

A.2-B.-1

C.3+2D.3-2

12.设=（1,-2）,=（a,-1）,=（-b,0）（a>0,b>0,O为坐标原点）,若A,B,C三点共线,则+的最小值是（　　）

A.4B.C.8D.9

13.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+

A.（-1,4）B.（-∞,-1）∪（4,+∞）

C.（-4,1）D.（-∞,0）∪（3,+∞）

14.定义运算“⊗”:

x⊗y=（x,y∈R,xy≠0）.当x>0,y>0时,x⊗y+（2y）⊗x的最小值为　　　　. 

15.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为　　　　. 

16.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定（平面图如图所示）,如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;

（2）若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

答案精解精析

A组　基础题组

1.A

2.B　∵x>0,∴f（x）=≤=1.

当且仅当x=,即x=1时取等号.

所以f（x）有最大值1.

3.B　因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.

4.答案　36

解析　∵x>0,a>0,∴f（x）=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号,则由题意知a=4×32=36.

5.答案　

解析　由a+2b=3得a+b=1,

又a>0,b>0,

∴+=

=++≥+2=.

当且仅当a=2b=时取等号.

6.答案　100

解析　设矩形的长为x米,宽为y米,则由题意得2x+πy=400,则xy=·2xπy≤=,当且仅当2x=πy=200时,等号成立,所以当矩形的面积最大时,矩形的长为100米.

7.答案　2

解析　∵a+b=M（a>0,b>0）,

∴ab≤

=

.

∵ab的最大值为2,∴=2,又M>0,

∴M=2.

8.解析　

（1）由2x+8y-xy=0,

得+=1.

又x>0,y>0,

所以1=+≥2=,

得xy≥64,

当且仅当x=16,y=4时,等号成立.

所以xy的最小值为64.

（2）由2x+8y-xy=0,得+=1,

则x+y=·（x+y）=10++≥10+2=18.

当且仅当x=12且y=6时等号成立,

所以x+y的最小值为18.

9.解析　

（1）由题意知,当m=0时,x=1,

∴1=3-k⇒k=2,

∴x=3-,

每件产品的销售价格为1.5×（元）,

∴y=1.5x·-8-16x-m

=-+29（m≥0）.

（2）∵m≥0时,+m+1≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,

∴y≤-8+29=21.

故该厂家明年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.

B组　提升题组

10.D　∵1=2x+2y≥2=2（当且仅当2x=2y时等号成立）,

∴≤,∴2x+y≤,∴x+y≤-2.

11.C　易知圆心为（1,2）,由题意知圆心（1,2）在直线2ax+by-2=0上,∴a+b=1,

∴+=（a+b）=3++≥3+2.当且仅当=,

即a=2-,b=-1时等号成立.

12.D　∵=-=（a-1,1）,

=-=（-b-1,2）,

若A,B,C三点共线,

则有∥,

∴（a-1）×2-1×（-b-1）=0,∴2a+b=1,

又a>0,b>0,

∴+=·（2a+b）

=5++≥5+2=9,

当且仅当即a=b=时等号成立.

13.B　∵不等式x+

∴0,y>0,且+=1,∴x+==++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取等号,

∴=4,故m2-3m>4,

解得m<-1或m>4.∴实数m的取值范围是（-∞,-1）∪（4,+∞）,故选B.

14.答案　

解析　x⊗y+（2y）⊗x=+===+,

∵x>0,y>0,∴+≥2=,

当且仅当=,即x=y时等号成立,

故所求的最小值为.

15.答案　[4,12]

解析　∵2xy=6-（x2+4y2）,又2xy≤,∴6-（x2+4y2）≤,∴x2+4y2≥4（当且仅当x=2y时取等号）.又∵（x+2y）2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12（当且仅当x=-2y时取等号）.综上可知,4≤x2+4y2≤12,即z=x2+4y2的取值范围为[4,12].

16.解析　

（1）设总造价为f（x）元,污水处理池的宽为x米,则长为米.

总造价f（x）=400×+248×2x+80×162

=1296x++12960

=1296×+12960,

∵x>0,∴f（x）≥1296×2+12960=38880,

当且仅当x=,即x=10时取等号.

∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.

（2）由限制条件知

∴≤x≤16.

设g（x）=x+,则g'（x）=1-,因为g'（x）=1-在上恒大于零,故g（x）在上是增函数,

∴当x=时,g（x）取最小值,即f（x）取最小值,为1296×+12960=38882.

∴当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38882元.

2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用夯基提能作业本文

1.下列不等式一定成立的是（　　）

A.lg>lgx（x>0）

B.sinx+≥2（x≠kπ,k∈Z）

C.x2+1≥2|x|（x∈R）

D.>1（x∈R）

2.当x>0时,函数f（x）=有（　　）

A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2

3.（-6≤a≤3）的最大值为（　　）

A.9B.C.3D.

4.若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为（　　）

A.1B.2C.3D.4

5.已知直线ax+by-6=0（a>0,b>0）被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2,则ab的最大值是（　　）

A.9B.C.4D.

6.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是　　　　. 

7.已知0

8.已知y=x-4+（x>-1）,当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于　　　　. 

9.

（1）当x<时,求函数y=x+的最大值;

（2）设0

10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:

（1）xy的最小值;

（2）x+y的最小值.

B组　提升题组

1.若正数a,b满足a+b=2,则+的最小值是（　　）

A.1B.C.9D.16

2.不等式x2+x<+对任意a,b∈（0,+∞）恒成立,则实数x的取值范围是　　　　. 

3.（xx湖北武汉调研）已知x>0,y>0,且2x+5y=20.

求:

（1）u=lgx+lgy的最大值;

（2）+的最小值.

4.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定（平面图如图所示）,如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;

（2）若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

答案精解精析

A组　基础题组

1.C　lg>lgx⇒x2+>x（x>0）,即4x2-4x+1>0.当x=时,4×-4×+1=0,∴A错;

当sinx=-1时,sinx+=-2<2,∴B错;x2+1≥2|x|⇒（|x|-1）2≥0,∴C正确;当x=0时,=1,∴D错.

2.B　∵x>0,∴f（x）=≤=1.

当且仅当x=,即x=1时取等号.

所以f（x）有最大值1.

3.B　因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.

4.A　因为正实数x,y满足x+y=2,

所以xy≤==1,所以≥1;

又≥M恒成立,

所以M≤1,即M的最大值为1.

5.B　将圆的一般方程化为标准方程为（x-1）2+（y-2）2=5,圆心坐标为（1,2）,半径为,故直线过圆心,即a+2b=6,∴a+2b=6≥2,可得ab≤,当且仅当a=2b=3时等号成立,即ab的最大值是,故选B.

6.答案　（-∞,-2]

解析　∵1=2x+2y≥2=2（当且仅当2x=2y时等号成立）,∴≤,∴2x+y≤,∴x+y≤-2.

7.答案　

解析　x（4-3x）=（3x）（4-3x）≤·=,

当且仅当3x=4-3x,即x=时,取等号.

8.答案　3

解析　y=x-4+=x+1+-5,因为x>-1,所以x+1>0,>0,

所以由基本不等式,得y=x+1+-5≥2-5=1,

当且仅当x+1=,即x=2时取等号,

所以a=2,b=1,则a+b=3.

9.解析　

（1）y=（2x-3）++=-+.

当x<时,3-2x>0,

此时+≥2=4,

当且仅当=,即x=-时取等号.

于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.

（2）∵00,

∴y==·≤·=,

当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,

∴函数y=的最大值为.

10.解析　

（1）由2x+8y-xy=0,得+=1,

又因为x>0,y>0,

所以1=+≥2=,

所以xy≥64,

当且仅当x=16,y=4时,等号成立,

所以xy的最小值为64.

（2）由2x+8y-xy=0,得+=1,

则x+y=·（x+y）=10++≥10+2=18,

当且仅当x=12,y=6时,等号成立,

所以x+y的最小值为18.

B组　提升题组

1.B　+

=·

=

≥

=.当且仅当=,即a=,b=时取等号,故选B.

2.答案　（-2,1）

解析　由于不等式x2+x<+对任意a,b∈（0,+∞）恒成立,则x2+x<,因为+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立,所以x2+x<2,求解此一元二次不等式知-2

3.解析　

（1）因为x>0,y>0,

所以由基本不等式,得2x+5y≥2.

因为2x+5y=20,所以2≤20,xy≤10,

当且仅当2x=5y时,等号成立.

因此有解得

此时xy有最大值10.

所以u=lgx+lgy=lg（xy）≤lg10=1.

所以当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.

（2）因为x>0,y>0,

所以+=·

=

≥7+2=.

当且仅当=时,等号成立.

由

解得

所以+的最小值为.

4.解析　

（1）设总造价为f（x）元,污水处理池的宽为x米,则长为米.

f（x）=400×+248×2x+80×162

=1296x++12960

=1296+12960,

∵x>0,∴f（x）≥1296×2+12960=38880,

当且仅当x=,即x=10时取等号.

∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.

（2）由限制条件知

∴≤x≤16.

设g（x）=x+,则g'（x）=1-,

因为g'（x）=1-在上恒大于零,

故g（x）在上是增函数,

∴当x=时,g（x）取最小值,即f（x）取最小值,为1296×+12960=38882.

∴当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38882元.