【答案】D
2.已知数列{"”}满足«n+1=3an（neN*）,且a}=2,则绚+召+他+…+绻=（）
A.丁一1B.3"C.3心一1D.3心
【答案】A
3.已知x,yeR,贝rW+|y|>0,»是“兀>0“（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【答案】D
5・设人川是两条不同的直线，Q是一个平而，则下列说法正确的是（）
A.若Illa,加ua,贝
B.若Illa,mlla»贝）11//m
C.若/丄加，〃7UQ,贝ij/丄Q
D.若/丄a，Illm，则加丄a
【答案】D
‘2x-）J0
6.
已知实数忑y满足条件b+2y>0,则z=2x+y的最大值是（）
B.-+4
2
n八
D.-+2
2
俯视图
A.兀+4
C.兀+2
【答案】A9已知双曲线孑一召WOQ。
）的左、右焦点分别鮎入。
为坐标原点，点P是貝右支上第一
象限内的一点，直线PO、PF’分别交该双曲线左、右支于另两点人3•若|丹订=20坨|,且ZA&B=60。
则该双曲线的离心率是（）
【答案】A
10•对任意x>0,若不等式—+«lnx+e2>ar恒成立（e为自然对数的底数），则正实数。
的取值范用是
x
（）
22
A.（0,e]B.（0,e2]C・[二,e]D.[-,e2]
ee
【答案】B
二、填空题：
本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
2
11.已知复数乙=——（其中i为虚数单位），则I:
|z|=・
1+i|I
【答案】
（1）.1+/
（2）.迈12・已知抛物线y2=mx（m^0）的焦点为F,准线方程为x=-2，点PCv0,4）是抛物线上的一点，则实
数m=,IPF1=.
【答案】
（1）.8
（2）.4
13.已知△ABC中，角所对的边分别为ab,c,c=4,A=扌，且△ABC的而积为JJ，则b=；cosC=.
【答案】
（1）.1
（2）._並
13
15.已知平面向量Z与乙的夹角为120。
乙在方上的投影是-1,且满足（2a+b）丄（d-3b）,则
\a+2b1=・
【答案】-
2
3
16.甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为二，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元,
4
设甲所获的奖金总额为X元，则甲所获奖金总额的方差£＞（%）=・
【答案】60
17.如图，在多而体ABC-DEF中，已知棱AE.B0CF两两平行，AE丄底而DE丄DF，四
边形ACFE为矩形，AE=DE=DF=2BD=3,底而△DEF内（包括边界）的动点P满足AP、BP与底面DEF所成的角相等•记直线CP与底而DEF的所成角为0，则lan0的取值范用是
三■解答题：
本大题共5小题，共74分•解答应写出文字说明■证明过程或演算步骤.
18.在厶ABC中，角A,3,C所对的边分别为已知函数f（x）=2cosxsinGv-^）（A-eR）.
（1）求/（菩）的值：
1厶
（2）求函数y=fM的单调递增区间.
【答案】
（1）-——:
（2）[k/r（A:
gZ）.
21212
19・如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB//CD,AD=DC=-AB=2.BC=2®2
PC=3.
（1）求证：
AD丄PC；
（2）求AB与平^PAD所成角的正弦值.
3
【答案】
（1）证明见解析：
（2）二.
4
（1）取4D中点0,连结OPOCAC•因为==BC=2氐
2
由平几及解三角形知识得cosZBAC匚一卩。
）亠cosZACD=AL+2、2,,解得
2x4xAC2x2xAC
AC=2,所以ZADC=60。
，
因此△ADC为正三角形，故AD丄OC,又因为△PAD也是正三角形，因此AD丄OP,又OC^\OP=O.
所以AD丄平而POC,而PCu平而POC,所以AD丄PC.
因为AB//CD,所以AB与平而PAD所成角即CD与平而PAD所成角，记作0・
由
（1）得AD丄平而POC,又ADu平而PAD‘所以平而PAD丄平而POC,
平面PADC\平面POC=P0、故过点C作CH丄平而PAD，则垂足H必在直线PO匕此时0=ZCDH,在正△PAD中，PO=^AD=^・而OC=QPC=3,
2
3
所以在△POC中，由余弦泄理可得ZPOC=120°，所以CH=（7Csin60o=-,又CD=2,
2
所以sin0=sinZCDH=雲=二所以AB与平而PAD所成角的正弦值为-・
CD44
方法二:
由
（1）知AD丄平而POC,又ADu平而ABCD,所以平面POC丄平而ABCD,
平面POCA平面ABCD=0C•故过点0作直线Oz丄OC,则Oz丄平面ABCD,
又AD丄CO,故可如图建立空间直角坐标系•又OD=XOC=EOP=®ZPOC=120°,可求
得各点坐标：
0（0,0,0）,D（l,0,0）,C（O，V3,O）,P（0.-^,-）
22
3
又耐abhcd,故仙与平而咖所成角的正弦值警•
31
20.已知数列｛©｝满足4=二，5=2,77>2,ne/V.
2Un^\
（1）证明：
数列｛丄”为等差数列，并求数列｛"”｝的通项公式；
n
（2）若5=上一,记数列｛q｝的前〃项和为7；,求证：
-<7；,<1.
77-24
【答案】
（1）iiE明见解析，=—:
（2）证明见解析.
n-i
/?
+1
所以人=Cl+C2+・・・+S-l+q
（1111I,】
2・，2-23-2”・2心⑺+1）・2“（舁+1）・2〃'
即人=1一（“+；）•尹,显然人V—另一方而，
丁丁（1“1、11n+2八
”z（〃+1）・2"〃・2心〃・2心（〃+1）・2“料・（〃+1）・2"
33
故数列｛人｝是递增数列，所以Tn>T｝=-9因此，-<7；,<1.
（2）分直线厶的斜率为零、直线厶的斜率不为零两种情况讨论，当直线厶斜率不为零时，可设直线厶的方
程为x=ny+t.A（nyx+t.y{）9B（ny2+t,y2）9由kQA+kQR=2kQT可得
（2川一12〃—加2）”儿+（/—6）（f—6—4〃）（”+儿）=0,联立直线厶的方程与椭圆的方程消元可得
代入即可求解.
22c^7
【详解】
（1）设椭圆c的方程为4+4=k«>/^>o）,由题意可求得|pf；|=-,|p/s|=-crb~33
由椭圆定义可知2心眄+1昭1=4,所以a=2,而c=l,故b2=a2-c2=3
故所求椭圆C的方程7吟+专"
（2）假设存在实数/•使得直线QA.QT.QB的斜率成等差数列，即满足!
^%=2咕
1当直线厶的斜率为零时，此时直线厶与椭圆C的交点是椭圆C长轴的端点
14
不妨设A（-2,0）,5（2,0），此时乞=一一,kQB=7,kQT=——
2/—6
142
由于*qa+A"=2kqt,故1=2,解得f=—
2r-63
2当直线厶斜率不为零时，可设直线【2的方程为工=◎'+1
Z+£=i
A（〃X+f,yi）,B（ny2+t,y2）,联立方程组］43
X=77V+t
*
整理得（3n2+4）y2+6nty+3r-12=0
3n2+4
故X+4+力+4亠
◎+f-6ny2+r-6r-6
整理得（2nt一12川一Sn2）y}y2+（t-6）（r—6—4n）（y{+y2）=0
将（町代入上式可得，整理得八（/一6-4仍（&-4）=0,对于任意〃该等式恒成立
2
故6/-4=0,解得/=§
2综合①②，可知存在实数/=-,使得直线QA.QT.QB的斜率成等差数列
3
22.已知函数/（x）=（n?
+l）lnx,g（x）=mx2+x9rneR・
⑴当…时,曲线血）5小希"网在“2处的切线与直线亠。
平行,求函数y=0（x）在［©'］上的最大值（£为自然对数的底数）:
（2）当加=1时，已知Ovcvb,证明：
斗
a_bg（a）+g（b）-a-b
4
【答案】
（1）—+1：
（2）证明见解析.
2
（1）当〃2=0时，^（x）=lnx+—-1,因此^（%）=--—
XXX
而曲线y=0（x）在x=2处的切线与直线x+2y—l=0平行,
故0
（2）冷号冷，解得“4.
4.兀一4
所以0（x）=lnx+_-l,0（x）=_
故当时，0（x）vO,即函数y=0⑴在［匕4）上递减，当xe（4,?
］时，0&）>0,即函数y=0（x）在（4”］上递增，
所以［0（尤）］皿=mdx{0（e）,°（f）},而0（e）=£,0（，）=£+1,故0（02）_0（£）=竺工>0,即0（/）>飒砂，所以函数在［匕专上的最大值为£+1.
（2）当〃2=1时，f（x）=2\nx,g（x）=x2+x,由于OvovZ?
O证明Inin仁b-a
成立O址明叹一认>>+/成立'
b2（?
-1）匕
O证明ln—>—成立.令x=-,
"佝+1°
a
即只需证明Inx>2D（x>1）成立
+1
O证明（x2+l）lnx-2x+2>0（x>l）即可，下而证明该不等式成立.
设F（x）=（x2+1）Inx-2x+2（x>1）,求得F（x）=2xlnx+x+—-2,x
所以当x>1时，F（x）>2xInx+2-2=2xInx>0,
因此函数〉=F（x）是（h+s）上的增函数，故F（x）>F（l）=0,
这就证明了当兀>1时，（x2+l）lnx—2x+2>0恒成立，故原命题成立.
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