届浙江省嘉兴市高三上学期期末数学试题.docx

1、届浙江省嘉兴市高三上学期期末数学试题嘉兴市20202021学年第一学期期末检测高二数学满分150分，时间120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知集合A = xy = g（x-）, B = xl-lx3,则（）A.xl-lx3） B. x 1 x3）D. xlx 3C. x2x0”是*0啲（)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5设/，川是两条不同的直线，Q是一个平面，则下列说法正确的是（）A.若 II an .贝 ij/mB.若 lHa, ml la,贝UllmC.若/

2、丄加，7UG,贝|J/丄aD.若/丄a，/？，则加丄a2x-y06.已知实数x*满足条件x + 2y0,则z = 2x+y的最大值是（）3x+y0小0）的左、右焦点分別为 f 0为坐标原点，点P是英右支上第一 cr lr象限内的一点，直线PO, PF2分别交该双曲线左、右支于另两点AB,若PF=2PF2t且厶耳8 = 60。，则该双曲线的离心率是（）10.对任意x0,若不等式+ lnx + e2ar恒成立(e为自然对数 底数)，则正实数。的取值范围是x()22A. (0 B. (Og C. -,e D. -,e2e e二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.211

3、已知复数乙=(其中i虚数单位)，则 : |z|= 1+ i 1 112.已知抛物线y2=mx(m0)的焦点为准线方程为x = -2，点P(x(p4)是抛物线上的一点，则实数川= , PF= .13.已知 ABC中，角A,B.C所对的边分别为ab,c, c = 4, A =扌，且 ABC的而积为JJ，则b = ； cosC = .14.已知(1 + 加力(1+*)5=5+。$ + 6(2兀2+ +。6%6若。2=5，贝 ；山+ += 15.已知平面向疑方与乙 夹角为120, ba上的投影是一1，且满足(2 + 5)丄(方一 3厉，贝9a + 2b 1= 316.甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的

4、概率为丁，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元,4设甲所获的奖金总额为X元，则甲所获奖金总额的方差(%)= 17.如图，在多而体ABC-DEF中，已知棱AE、BD,CF两两平行，AE丄底而DEF，DE丄DF，四边形ACFE为矩形，AE = DE = DF = 2BD = 3,底面 内(包括边界)动点P满足AP、BP与底Ifil DEF所成的角相等记直线CP与底而DEF的所成角为0，则lan 0的取值范用是1/ P 、D F三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在厶ABC中，角所对的边分别为she,已知函数f(x) = 2cosxsin(x

5、 - )(x e R).(1)求/(話)的值；1厶(2)求函数y = /(x)的单调递增区间.19.PC = 3如图，四棱锥 P-ABCD 中， PAD 为正三角形，AB/CD, AD = DC = -AB = 2. BC = 2贰 2(1)求证：AD丄PC；(2)求AB与平面PAD所成角的正弦值.3120.已知数列满足=2 , n2, /eTV42I(1)证明：数列亠为等差数列，并求数列的通项公式；毎T(2)若q=务，记数列的前项和为人，求证：-7；,1.77-2 421.已知中心在坐标原点的椭圆C，其焦点分别为斤(1,0),耳(1，)，点P(-彳，孕)为椭圆C上一点.（1） 求椭圆C的方程

6、：（2） 过点Q（6,-4）的直线A与尤轴交于点ra,O）,由点T（t.0）引另一直线厶交椭圆c于A, B两点是否存在实数使得直线QA.QT.QB的斜率成等差数列，若存在，求出/的值：若不存在，说明理由.22.已知函数/(x) = (/? +1)Inx, g(x) = inx2 +x9 meR.当心时,曲线心1（小希刈在“2处的切线与直线*亠。平行,求函数y = 0（切在/上的最大值（“为自然对数的底数）:（2）当加=1时，已知Ovdv/?,证明:a_b g(a) + g(b)_a -b嘉兴市20202021学年第一学期期末检测高二数学满分150分，时间120分钟.一、选择题：本大题共10小题

7、，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知集合 A = xly = lg(x-1), B = x-x3,则 ACB=()A. xl-lx3) B. x 1 x3)C.x2x 3 D. xx 0,是“兀0“ ( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【答案】D5设人川是两条不同的直线，Q是一个平而，则下列说法正确的是（）A.若Illa,加ua,贝B.若 Illa, ml la 贝）11/mC.若/丄加，7UQ,贝ij/丄QD.若/丄a，I llm，则加丄a【答案】D2x-）J06.已知实数忑y满足条

8、件b + 2y0,则z = 2x + y的最大值是（）B. - + 42n 八D. - + 22俯视图A.兀+4C.兀+ 2【答案】A 9已知双曲线孑一召WOQ。）的左、右焦点分别鮎入。为坐标原点，点P是貝右支上第一象限内的一点，直线PO、PF分别交该双曲线左、右支于另两点人3 若|丹订=20坨|,且ZA&B = 60。,则该双曲线的离心率是()【答案】A10对任意x0,若不等式+ lnx + e2ar恒成立(e为自然对数的底数)，则正实数。的取值范用是x( )2 2A. (0,e B. (0,e2 C二,e D. -,e2e e【答案】B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题

9、4分，共36分.211.已知复数乙=(其中i为虚数单位)，则I : |z|= 1+ i | I【答案】 (1). 1 + / (2).迈 12已知抛物线y2=mx(m0)的焦点为F,准线方程为x = -2，点PCv0,4)是抛物线上的一点，则实数 m = , I PF 1= .【答案】 (1).8 (2).413.已知 ABC中，角所对的边分别为ab,c, c = 4, A =扌，且 ABC的而积为JJ，则 b = ； cosC = .【答案】 (1).1 (2). _並1315.已知平面向量Z与乙的夹角为120。,乙在方上的投影是-1,且满足(2a+ b)丄(d-3b),则a + 2b 1=

10、 【答案】-2316.甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为二，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元,4设甲所获的奖金总额为X元，则甲所获奖金总额的方差（%）= 【答案】6017.如图，在多而体ABC-DEF中，已知棱AE.B0CF两两平行，AE丄底而DE丄DF，四边形ACFE为矩形，AE = DE = DF = 2BD = 3,底而 DEF内（包括边界）的动点P满足AP、BP与底 面DEF所成的角相等记直线CP与底而DEF的所成角为0，则lan0的取值范用是三解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.18.在厶ABC中，角A,3,C所对的边分别为已知函

11、数f（x） = 2cosxsinGv-）（A- e R）.（1）求/（菩）的值：1厶（2）求函数y = fM的单调递增区间.【答案】(1)- :(2) k/r (A: g Z).212 1219如图，四棱锥 P-ABCD 中， PAD 为正三角形，AB/CD, AD = DC = -AB = 2. BC = 2 2PC = 3.（1） 求证：AD丄PC；（2） 求AB与平PAD所成角的正弦值.3【答案】（1）证明见解析：（2）二.4（1）取4D中点0,连结OPOCAC因为= = BC = 2氐2由平几及解三角形知识得cosZBAC 匚一卩。）亠cosZACD = AL + 2、2,解得2x4x

12、AC 2x2xACAC = 2 ,所以 ZADC = 60。，因此 ADC为正三角形，故AD丄OC,又因为 PAD也是正三角形，因此AD丄OP,又OCOP = O.所以AD丄平而POC,而PCu平而POC,所以AD丄PC.因为AB/CD,所以AB与平而PAD所成角即CD与平而PAD所成角，记作0由（1）得AD丄平而POC ,又ADu平而PAD 所以平而PAD丄平而POC,平面PADC平面POC = P0、故过点C作CH丄平而PAD，则垂足H必在直线PO匕 此时 0 = ZCDH,在正 PAD 中，PO = AD = 而OC = Q PC = 3,23所以在 POC中，由余弦泄理可得ZPOC =

13、 120，所以CH=(7C sin60o = -,又CD = 2,2所以sin 0 = sin ZCDH =雲=二 所以AB与平而PAD所成角的正弦值为-CD 4 4方法二:由(1)知AD丄平而POC ,又ADu平而ABCD,所以平面POC丄平而ABCD,平面POCA平面ABCD = 0C故过点0作直线Oz丄OC ,则Oz丄平面ABCD,又AD丄CO,故可如图建立空间直角坐标系又OD = X OC = E OP = ZPOC = 120,可求得各点坐标：0(0,0,0), D(l,0,0), C(O，V3,O), P(0.-,-)2 23又耐abhcd,故仙与平而咖所成角的正弦值警3 120.

14、已知数列满足4=二，5=2 , 772, ne/V .2 Un(1)证明：数列丄”为等差数列，并求数列”的通项公式；n(2)若5=上一,记数列q的前项和为7；,求证：-7；,T=-9因此，-7；,/o),由题意可求得|pf；| = -, |p/s| = - cr b 3 3由椭圆定义可知2心眄+ 1昭1=4,所以a = 2,而c = l,故b2=a2-c2=3故所求椭圆C的方程7吟+专(2)假设存在实数/使得直线QA.QT.QB的斜率成等差数列，即满足!%=2咕1当直线厶的斜率为零时，此时直线厶与椭圆C的交点是椭圆C长轴的端点14不妨设 A(-2,0), 5(2,0)，此时乞=一一,kQB=7

15、, kQT =2/ 614 2由于 *qa + A = 2kqt ,故 1 = 2 ,解得 f =2r-6 32当直线厶斜率不为零时，可设直线【2的方程为工= +1Z+=iA(X+f,yi), B(ny2+t,y2),联立方程组4 3X = 77V + t*整理得(3n2 + 4)y2 + 6nty + 3r-12 = 03n2+4故X+4 +力+4亠 +f-6 ny 2 + r - 6 r-6整理得(2nt 一 12川一 Sn2)yy2 +(t-6)(r64n)(y + y2) = 0将(町代入上式可得，整理得八(/一6-4仍(&-4) = 0,对于任意该等式恒成立2故6/-4 = 0,解得

16、/ = 2 综合，可知存在实数/ = -,使得直线QA.QT.QB的斜率成等差数列322.已知函数/(x) = (n? + l)lnx, g(x) = mx2 +x9 rneR当时,曲线血)5小希网在“2处的切线与直线亠。平行,求 函数y = 0(x)在 上的最大值(为自然对数的底数):(2)当加=1时，已知Ovcvb,证明： 斗 a_b g(a)+ g(b)-a-b4【答案】(1) + 1：(2)证明见解析.2(1)当2 = 0时，(x) = lnx + -1,因此(%) = - X X X而曲线y = 0(x)在x = 2处的切线与直线x + 2y l= 0平行,故0(2)冷号冷，解得“4

17、.4. 兀一4所以0(x) = lnx + _-l, 0(x) = _故当时，0(x)vO,即函数y = 0在匕4)上递减， 当xe(4,?时，0&)0,即函数y = 0(x)在(4”上递增，所以0(尤)皿=mdx0(e),(f),而 0(e) = , 0(，) = + 1, 故0(02)_0()=竺工0,即0(/)飒砂， 所以函数在匕专上的最大值为+1. (2)当 2 = 1 时，f(x) = 2nx , g(x) = x2 +x ,由于 OvovZ?,O证明Inin仁 b-a成立O址明叹一认 +/成立b 2(?-1) 匕O证明ln 成立.令x = -,佝 + 1 a即只需证明Inx 2D (x 1)成立+1O证明(x2+l)lnx-2x + 20(xl)即可，下而证明该不等式成立.设 F(x) = (x2 +1)In x-2x + 2(x 1),求得 F (x) = 2xlnx + x + -2, x所以当 x 1 时，F (x) 2xInx + 2-2 = 2xInx 0,因此函数=F(x)是(h + s)上的增函数，故F(x) F(l) = 0,这就证明了当兀1时，(x2 + l)lnx 2x + 20恒成立，故原命题成立.