高中数学导数专题讲义答案版.docx
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高中数学导数专题讲义（答案版）
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最新导数专题讲座内容汇总导数专题一、单调性问题【知识点】一、导函数代数意义：
利用导函数的正负来判断原函数单调性；
二、分类讨论求函数单调性：
含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：
第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；
第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；
当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；
第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；
第四步、（列表）根据第五步的草图列出，随变化的情况表，并写出函数的单调区间；
第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：
1.最高次项系数是否为0；
2.导函数是否有极值点；
3.两根的大小关系；
4.根与定义域端点讨论等。
五、求解函数单调性问题的思路：
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或恒成立；
（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；
（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法
（1）参变分离；
（2）导函数的根与区间端点直接比较；
（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。
七、求解函数单调性问题方法提炼：
（1）将函数单调增（减）转化为导函数恒成立；
（2），由（或）可将恒成立转化为（或）恒成立；
（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。
【考点分类】考点一、分类讨论求解函数单调性；
【例1-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？
并理由．（Ⅰ）函数的定义域为．．
（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（2）当时，令，得．当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数．综上所述，当时，函数的单调递增区间为．当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；
（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．依题意有，解得，所以．（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．依题意有，解得，所以．综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，切线方程为．因为切线过点，则．即．………………①令，则．
（1）当时，在区间上，，单调递增；
在区间上，，单调递减，所以函数的最大值为．故方程无解，即不存在满足①式．因此当时，切线的条数为．
（2）当时,在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以函数的最小值为．取，则．故在上存在唯一零点．取，则．设，，则．当时，恒成立．所以在单调递增，恒成立．所以．故在上存在唯一零点．因此当时，过点P存在两条切线．（3）当时，，显然不存在过点P的切线．综上所述，当时，过点P存在两条切线；
当时，不存在过点P的切线．【例1-2】（2015-2016海淀一模理18）已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）求证：
直线不是曲线的切线.（Ⅰ）函数的定义域为，当变化时，，的变化情况如下表：
递减极小值递增函数在上的极小值为，所以的最小值为（Ⅱ）解：
函数的定义域为，由（Ⅰ）得，，所以所以的单调增区间是，无单调减区间.（Ⅲ）证明：
假设直线是曲线的切线.设切点为，则，即又，则.所以,得，与矛盾所以假设不成立，直线不是曲线的切线【练1-1】（2015-2016西城一模理18）已知函数，且.（Ⅰ）求的值及的单调区间；
（Ⅱ）若关于的方程存在两个不相等的正实数根，证明：
.（Ⅰ）对求导，得，所以，解得.故，.令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：
00↘↗所以函数的单调减区间为，单调增区间为.（Ⅱ）解：
方程，即为，设函数.求导，得．由，解得，或.所以当变化时，与的变化情况如下表所示：
0↘↗所以函数在单调递减，在上单调递增.由，得.又因为，所以.不妨设（其中为的两个正实数根），因为函数在单调递减，且，，所以.同理根据函数在上单调递增，且，可得，所以，即.【练1-2】（2011-2012石景山一模文18）已知函数.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.（Ⅰ）…………1分由已知，解得.…………3分（II）函数的定义域为.
（1）当时,，的单调递增区间为；
……5分
（2）当时.当变化时，的变化情况如下：
-+极小值由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是.…………8分（II）由得，…………9分由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立.即在上恒成立.…………11分令，在上，所以在为减函数.,所以.…………14分【练1-3】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；
（Ⅲ）求函数的单调区间.函数的定义域：
..（Ⅰ）当时，..有，即切点（1,3），.所以曲线在点处切线方程是，即.（Ⅱ）若，..令，得（舍），.－＋↘极小值↗则.所以函数不存在零点.（Ⅲ）.当，即时，－＋↘极小值↗当，即时，的单调增区间是，；
当，即时，＋－＋↗极大值↘极小值↗当，即时，＋＋↗↗＋－＋↗极大值↘极小值↗综上时，的单调增区间是;减区间是.当时，的单调增区间是,;减区间是.当时，的单调增区间是;当时，的单调增区间是，;减区间是.【练1-4】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点．（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围.（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点，∴，．∵，∴解得．∴．（Ⅱ），令，得或；
令，得．∴的单调递增区间为，；
单调递减区间为．…8分（Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为，∵对于，，使得，∴．由（Ⅱ）得：
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，，∴．∵，∴．①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为或，的最大值为或．∵，且，∴或，∴或，即或．又∵，∴．②当时，在上单调递增，上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为．∵，且，∴，∴，即．综上所述：
或．【练1-5】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.（Ⅰ）函数的定义域为,.
（1）当时，,令，解得，则函数的单调递增区间为令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为；
令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.（3）当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为.（4）当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为，；
令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为（Ⅱ）依题意，在区间上.，.令得，或.若，则由得，，函数在（）上单调递增.由得，,函数在（）上单调递减.所以，满足条件；
若，则由得，或；
由得，.函数在（）,上单调递增,在上单调递减.，依题意，即，所以；
若，则.所以在区间上单调递增，，不满足条件；
综上，.【练1-6】（2015-2016房山二模文19）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。
（Ⅰ）,定义域为，令极小值所以的增区间为，减区间为。
（II）因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根设，即无零点。
当时，，显然无零点，符合题意；
当时，令极小值，显然不符合题意；
当时，令极大值，所以时，符合题意综上所述：
【练1-7】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.（Ⅰ）若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为（Ⅱ）函数的定义域为，.
（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；
令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，，单调增区间为，.
（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数；
令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，，函数的单调增区间为.…………9分（Ⅲ）
（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;
（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【练1-8】（2015-2016东城期末理19）已知函数．（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试求的单调区间；
（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．（Ⅰ）当时，，，．方程为． （Ⅱ）， ．当时，对于，恒成立， 所以Þ；
Þ0. 所以单调增区间为，单调减区间为． （Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．令ÞÞ.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为, 所以当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：
00递减极小值递增所以当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．综上，的取值范围为．【练1-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.
（1）当时，，所以，函数在点处的切线方程为即：
（Ⅱ）函数的定义域为：
当时，恒成立，所以，在和上单调递增当时，令，即：
，,所以，单调递增区间为，单调减区间为.（Ⅲ）因为在上恒成立，有在上恒成立。
所以，令，则.令则若，即时，，函数在上单调递增，又所以，在上恒成立；
若，即时，当时，单调递增；
当时，，单调递减所以，在上的最小值为，因为所以不合题意.即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为又因为，所以恒成立综上知，的取值范围是.考点二、已知函数单调求参数范围；
【例2-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数,.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；
（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．（Ⅰ）由在处取得极大值,得,所以（经检验适合题意）（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或当时,,在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:
+0+↗极大值↘极小值↗要使有三个零点,故需,即,解得所以的取值范围是.【例2-2】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，．（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明.（I）函数的定义域为.因为.又因为函数在单调减，所以不等式在上成立.设，则，即即可，解得.所以的取值范围是.（Ⅱ）当时，，.令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表：
10+极小值所以时,函数的最小值为.所以成立.【练2-1】（2015-2016海淀期中文18）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.（Ⅰ）因为，所以曲线经过点，又，所以，所以.当变化时，，的变化情况如下表00极大值极小值所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.（Ⅱ）因为函数在区间上单调递增，所以对成立，只要在上的最小值大于等于0即可.因为函数的对称轴为，当时，在上的最小值为，解，得或，所以此种情形不成立当时，在上的最小值为，解得，所以，综上，实数的取值范围是.【练2-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数
（1）求曲线：
在处的切线的方程；
（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；
（3）当时，
（1）中的直线与曲线：
有且只有一个公共点，求的取值范围。
（1）由已知得，切点坐标为，，，所以切线方程为
（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值令，，有所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。
2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为（3）当时，
（1）中的直线与曲线：
有且只有一个公共点即只有一个根，令，，有只有一个零点，1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0因此恒大于0，所以舍去2、当时，解得，1-0+0-减极小值增极大值减易知，而当时，，所以在只存在一个零点。
3、当时，解得，1-0+减极小值增当时，，所以若只有一个零点，必须有即，综上所述，的取值范围为和【练2-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．函数定义域，．（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则（Ⅱ）当时，,．（ⅰ）令，得．令,得，所以函数在单调递增．令,得，所以函数在单调递减．所以，．所以成立．（ⅱ）由（ⅰ）知，，所以．设所以．令，得．令,得，所以函数在单调递增，令,得，所以函数在单调递减；
所以，，即．所以，即．所以，方程没有实数解．【练2-4】（2015-2016海淀期中理18）已知函数，曲线在点处的切线为．（Ⅰ）若直线的斜率为，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数是区间上的单调函数，求的取值范围．（Ⅰ）因为直线的斜率为所以所以所以令解得所以当和时，当时，所以的单调增区间为和，单调减区间为（Ⅱ）要使在上单调只需或在恒成立
（1）在恒成立等价于，即解得
（2）在恒成立，当时，，即，解得（舍）或（舍）当时，，即，解得综上所述考点三、已知函数不单调求参数范围；
【例3-1】已知函数.当时，若在区间上不单调，求的取值范围.解法一：
∵令，解得，因为在区间上不单调，所以区间上存在极值点，所以，或即，或所以或∴.解法二:
∵因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点.令，解得，区间长为，∴在区间上不可能有个零点.所以即：
∵，∴，又∵，∴.【例3-2】已知函数，若在区间上不单调，求的取值范围考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；
【例4-1】设函数，.若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围.解法一：
设，依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立.注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可由，即，得，由，即，得，所以，所以实数的取值范围是.解法二：
，依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立.又因为，所以.设，所以小于函数在区间的最大值.又因为，由解得；
由解得.所以函数在区间上递增，在区间上递减.所以函数在，或处取得最大值.又，，所以，所以实数的取值范围是.【例4-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
【练4-1】已知函数，．函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．【答案当时，令，解得则在上单调递增区间，满足题意.当时当，即时，，在上单调递减（舍）当，即，且时令，解得：
，当时，则在上单调递增区间，满足题意当时，要使在上存在单调递增区间，则，即，解得所以综上所述得：
的取值范围为：
解法二：
在上存在单调递增区间等价于在存在区间使成立，即存在使成立设当时，，则所以，的取值范围为：
考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；
【例5-1】（2012-2013西城一模文18）已知函数，，其中．（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．（Ⅰ）的定义域为，且．………………2分①当时，，故在上单调递增．从而没有极大值，也没有极小值．………4分②当时，令，得．和的情况如下：
↘↗故的单调减区间为；
单调增区间为．从而的极小值为；
没有极大值．…………6分（Ⅱ）解：
的定义域为，且．…………8分③当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．………………9分④当时，，在上单调递减．当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．……………11分当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．综上，的取值范围是．…………13分【例5-2】已知函数，，其中．若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．的定义域为，当，在单调递减，当时，在单调递减，单调递增,的定义域为，且．当时，显然，从而在上单调递增．此时在上单调递增，符合题意．当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．当时，令，得．和的情况如下表：
↘↗当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．综上，的取值范围是．导数专题二、极值问题【知识点】一、函数的极值定义函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作；
如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
可导函数的极值点必定是它的驻点。
但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如,点是它的驻点，却不是它的极值点。
极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。
极值问题主要建立在分类讨论的基础上，二、求函数的极值点和极值注意事项：
1.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。
若没有另一个，要说明没有。
2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。
3.如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。
4.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。
三、求函数极值的三个基本步骤第一步、求导数；
第二步、求方程的所有实数根；
第三步、考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；
如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值．【考点分类】考点一、分类讨论求函数极值（点）；
【例1-1】（2015-2016海淀一模文19）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的零点和极值；
（Ⅲ）若对任意，都有成立，求实数的最小值.（Ⅰ）设切线斜率为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即。
（Ⅱ）令，解得。
当时，；
时，，所以函数零点有且只有一个，为1.令，即解得。
当时，；
当时，，所以函数在处取得极小值，无极大值。
（Ⅲ）由（II）知，当时，；
时，，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。
且。
，，所以只需。
所以。
所以的最小值为1。
【例1-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）求函数的极值点.考点二、已知函数极值（点）情况求参数范围；
【例2-1】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.（Ⅰ）若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为（Ⅱ）函数的定义域为，.
（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；
令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，，单调增区间为，.
（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数；
令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，，函数的单调增区间为.…………9分（Ⅲ）
（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;
（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【例2-2】（2015-2016东城期末理19）已知函数．（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试求的单调区间；
（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．（Ⅰ）当时，，，．方程为． （Ⅱ）， ．当时，对于，恒成立， 所以Þ；
Þ0. 所以单调增区间为，单调减区间为． （Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．令ÞÞ.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为, 所以当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：
00递减极小值递增所以当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．综上，的取值范围为．【练2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
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