因式分解培优题.docx
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因式分解培优题
因式分解专题培优
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分
解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
因式分解的一般方法及考虑顺序：
1、基本方法：
提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．
2、常用方法与技巧：
换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．
3、考虑顺序：
（1）提公因式法；
（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．
一、运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）a2－b2=（a+b）（a－b）；
（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）；
（4）a3－b3=（a－b）（a2+ab+b2）．
下面再补充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3－3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）；
（7）an－bn=（a－b）（an－1+an－2b+an－3b2+⋯+abn－2+bn－1），其中n为正整数；
（8）an－bn=（a+b）（an－1－an－2b+an－3b2－⋯+abn－2－bn－1），其中n为偶数；
（9）an+bn=（a+b）（an－1－an－2b+an－3b2－⋯－abn－2+bn－1），其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例题1分解因式：
（1）－2x5n－1yn+4x3n－1yn+2－2xn－1yn+4；
（2）x3－8y3－z3－6xyz；
（3）a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；
（4）a7－a5b2+a2b5－b7．
例题2分解因式：
a3+b3+c3－3abc．
例题3分解因式：
x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．
对应练习题分解因式：
105
（2）x+x－2
（3）x42x2y24xy34x3yy2（4x23y2）
4
（4）（x5+x4+x3+x2+x+1）2－x5
（5）9（a-b）2+12（a2-b2）+4（a+b）2
（6）（a-b）2-4（a-b-1）
7）（x+y）3+2xy（1－x－y）－1
二、分组分解法
（一）分组后能直接提公因式
例题1分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.
例题2分解因式：
2ax10ay5bybx
对应练习题分解因式：
1、a2
abacbc
2、xyxy1
（二）分组后能直接运用公式
例题3
分解因式：
x2y2ax
ay
例题4
分解因式：
a22abb2
2c
对应练习题分解因式：
3、x2x9y23y
1）x3
2xy
2xy
3y
3）x2
6xy
9y2
16a28a1
综合练习题分解因式：
22
2）axbxbxaxab
22
4）a26ab12b9b24a
5）a42a3a29
2222
6）4ax4aybxby
7）
2
x
2xy
xz
2yzy
9）
y（y
2）
（m
1）（m1）
22
8）a22ab22b2ab1
10）（ac）（ac）b（b2a）
11）a2（bc）b2（ac）c2（ab）2abc
432234
12）a2ab3ab2abb.
22
13）（axby）（aybx）
333333333
14）xyz（xyz）yzzxxy
422
15）x42ax2xa2a
16）x33x2（a2）x2a
17）（x1）3（x3）34（3x5）
三、十字相乘法
1、十字相乘法
（一）二次项系数为1的二次三项式
2
直接利用公式——x2（pq）xpq（xp）（xq）进行分解.
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和
例题1分解因式：
x25x6
例题2分解因式：
x27x6
对应练习题分解因式：
2
（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：
a28ab128b2分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解
8b+（－16b）=－8b
对应练习题分解因式：
对应练习题分解因式：
1）8x67x31
综合练习题分解因式：
22
2）12x211xy15y2
2
4）（ab）4a4b3
22
6）m24mn4n23m6n2
7）x24xy4y22x4y3
2
8）5（ab）2
222
23（a2b2）10（ab）2
9）4x24xy6x3yy210
22
10）12（xy）211（x2
22
y2）2（xy）2
思考：
分解因式：
abcx2（a2b2c2）xabc
2、双十字相乘法
定义：
双十字相乘法用于对Ax2
Bxy
Cy2DxEyF
型多项式的分解因式.
条件：
（1）Aa1a2，
（2）a1c2a2c1即：
a1
2a2f
Cc1c2，
B，c1f2c1
Ff1f2c2f1E，a1f
a1c2
a2c1
B，
c1f2
c2
f1E
，a1f2a2f1
D
则Ax2
Bxy
Cy2
Dx
Ey
F
（a1x
c1yf1）（a2x
c2yf2）
例题7
分解因式：
（1）
2x
3xy
10y2
x9y2
（2）
2x
xy
6y2
x13y6
解：
（1）
2x
3xy1
0y2
x
9y2
c2
2
a2
应用双十字相乘法：
x
2xy
∴原式=（x5y
2
（2）xxy应用双十字相乘法：
x
5xy
2）（x
6y2
x
5y
2y1
3xy，5y4y9y，x2xx2y1）
x13y6
x32yy32
x3y2
3y
3xy2xyxy，4y9y13y，2x3xx∴原式=（x2y3）（x3y2）
对应练习题分解因式：
222
2）6x27xy3y2xz7yz2z2
3、十字相乘法进阶
例题8分解因式：
y（y1）（x21）x（2y22y1）
四、主元法
例题分解因式：
x23xy10y2x9y2
对应练习题分解因式：
22
（2）xxy2yx7y6
22
（1）xxy6yx13y6
22
（3）6x27xy3y2x7y2
22
（4）a2ab6b25a35b
并用一个新的字母替
B.
五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例题1分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）－12．
例题2分解因式：
（x24x8）23x（x24x8）2x2
例题3分解因式：
（x1）（x1）（x3）（x5）9分析：
型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘
例题4分解因式：
（x27x6）（x2x6）56.
例题5分解因式：
（x2+3x+2）（4x2+8x+3）－90．
例题6分解因式：
4（3x2x1）（x22x3）（4x2x4）2
提示:
可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4A
例题7分解因式：
x628x327
例题8分解因式：
（ab）4（ab）4（a2b2）2
例题9分解因式：
（y1）4（y3）4272
例题9对应练习分解因式：
a444（a4）4
例题10分解因式：
（x2+xy+y2）2－4xy（x2+y2）．
分析：
本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用
换元法分解因式．
例题11分解因式：
2x4x36x2x2
分析：
此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.
例题11对应练习分解因式：
6x4+7x3－36x2－7x+6．
例题11对应练习分解因式：
x44x3x24x1
对应练习题分解因式：
1）x4+7x3+14x+7x+1
2）
x4
2x3
x2
12（x
x2）
3）
2005x2
（2005
21）x
2005
4）
（x
1）（x
2）（x
3）（x
6）x2
5）
（x
1）（x
3）（x
5）（x7）
15
6）
（a
1）（a
2）（a3）（a4）
24
7）
（2a
5）（a
2
29）（2a7）91
8）
（x+3）（x2－1）（x+5）
－20
9）
（a2
1）2
（a2
222
5）24（a23）2
10）（2x2－3x+1）2－22x2+33x－1
11）（a2bc）3（ab）3（bc）3
1
12）
2
（xy1）2
xy（xy1）（xy3）2（xy12）
六、添项、拆项、配方法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例题1分解因式：
x3－9x+8．
例题2分解因式：
（1）x9+x6+x3－3；
（2）（m－1）（n2－1）+4mn；
（3）（x+1）4+（x2－1）2+（x－1）4；
对应练习题分解因式：
（1）x33x24
（3）x47x21
（5）x4y4（xy）4
（7）x3+3x2－4（9）x3+9x2+26x+24
（11）x4＋x2＋1；
（13）a5＋a＋1
（4）a3b－ab3+a2+b2+1．
七、待定系数法
例题1分解因式：
x2xy6y2x13y6
分析：
原式的前3项x2xy6y2可以分为（x3y）（x2y），则原多项式必定可分为
例题2
（x3ym）（x2yn）
对应练习题分解因式：
（1）6x27xy3y2x
7y2
（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20
（3）x23xy10y2x
9y2
（4）x23xy2y25x7y6
5y6能分解因式，并分解此多项式
1和x2，求ab的值.
1）当m为何值时，多项式x2y2mx
32
（3）已知：
x22xy式.
（4）k为何值时，x2式.
2）如果x3ax2bx8有两个因式为x
3y26x14yp能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因
2
2xyky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项
八、余式定理（试根法）
1、fx的意义：
已知多项式fx，若把x用c带入所得到的值，即称为fx在x=c的
多项式值，用fc表示.
2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：
设多项式fx除以gx所得的商式为qx，
余式为rx，则：
fx=gx×qx+rx
b
3、余式定理：
多项式f（x）除以xb之余式为f（b）；多项式f（x）除以axb之余式f（b）.
a
例如：
当f（x）=x2+x+2除以（x–1）时，则余数=f
（1）=12+1+2=4.
21121
当f（x）9x26x7除以（3x1）时，则余数=f（3）9（3）26（3）78.
333
4、因式定理：
设a,bR，a0，f（x）为关于x的多项式，则xb为f（x）的因式
b
f（b）0；axb为f（x）的因式f（b）0.
a
整系数一次因式检验法：
设f（x）＝cnxncn1xn1c1xc0为整系数多项式，若ax–b为f（x）之因式（其中a,b
为整数,a0,且a,b互质），则
（1）acn,bc0
（2）（a–b）f
（1）,（ab）f
（1）
例题1设f（x）3x32x219x6，试问下列何者是f（x）的因式？
（1）2x–1，
（2）x–2，（3）3x–1，（4）4x＋1，（5）x–1，（6）3x–4
例题2把下列多项式分解因式：
3
（1）x35x4
32
（2）x4xx6
（3）
3x3
5x2
4x2
4）
4x
9x3
25x2
27x
10
5）
4
53
12
1
1
x
x
x
x
6
2
2
3
课后作业分解因式：
（1）x4＋4
（2）4x3－31x＋15
（3）3x3－7x＋10
（4）x3－41x＋30
（5）x3＋4x2－9
（6）x3＋5x2－18
（7）x3＋6x2＋11x＋6
（8）x3－3x2＋3x＋7
（9）x3－11x2＋31x－21
（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y3（1412）x3－9ax2＋27a2x－26a3
15）
4（x
5）（x6）（x10）（
2
x12）3x2
16）
（x2
6x8）（x214x
48）12
17）
（x2
x4）28x（x2
x4）15x2
18）
2（x2
6x1）25（x2
6x1）（x21）2（x21）
19）
x4＋x
2y2＋y4
20）
x4－2
3x2y2＋y4
21）
a3＋b
3＋3（a2＋b2）＋3（a＋
b）＋2
22）
a3
b312ab64
23）
a3b
ab3a2b21.
24）
（a
b）2（ab1）1
25）
x4
2（a2b2）x2（a2
b2）2
26）
（ay
bx）3（axby）3
（a3b3）（x3y3）
27）
x6
19x3y3216y6
28）
x2y－
y2z＋z2x－x2z＋y2x＋
z2y－2xyz
29）
3x5
10x48x33x2
10x8
因式分解的应用
1、证明：
四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.
2、2n－1和2n+1表示两个连续的奇数（n是整数），证明这两个连续奇数的平方差能被8
除．
3、已知2481可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.
4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.
7913
5、求证：
81279能被45整除.
6
6、求证：
146+1能被197整除．
7、设4x－y为3的倍数，求证：
4x2+7xy－2y2能被9整除．
22
8、已知xxy2y=7，求整数x、y的值．
9、求方程6xy4x9y70的整数解.
10、求方程xy－x－y＋1=3的整数解．
11、求方程4x2－4xy－3y2=5的整数解．
12、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a=，b=.
13、计算下列各题：
（1）23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；
32
19953－219952－1993
（2）32．
19953＋19952－1996
111111
14、求积（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）
132435469810099101
整数部分？
15、解方程：
（x2＋4x）2－2（x2＋4x）－15=0
16、已知ac＋bd=0，则ab（c2＋d2）＋cd（a2＋b2）的值等于17、已知a－b=3,a－c=326,求（c—b）［（a－b）2+（a－c）（a－b）+（a－c）2］的值．
284
18、已知xx10，求xx1的值．
20、已知三角形的三边
a、b、c满足等式a3b3c3
3abc，证明这个三角形是等边三
角形．
3）（xy）23（xy）10
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