数值分析第五章学习小结.docx
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数值分析第五章学习小结
第五章学习小结
姓名：
张亚杰班级：
机械1505班学号：
S2*******
一、本章学习体会
本章的内容与实际关联很大，可以解决很多工程实际问题。
1、主要有两方面内容：
插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是用简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最小最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值比较难需要花一定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小。
3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。
二、知识构图：
因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：
插值、正
交多项式和逼近。
1、插值：
2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下方式：
一、正交多项式
1、正交多项式的概念与性质
若在区间（a,b）上非负的函数t（x）满足
b
（1）对一切整数n^O,Jaxnp（x）dx存在；
（2）对区间（a,b）上非负连续函数f（x），若
b
xn「（x）dx二0
a
则在（a,b）上f（x）三0,那么，就称t（x）为区间（a,b）上的权函数常见的权函数有
：
（x），_1：
x：
1
7T7
：
（x）=1—x2,—1^x叮
：
（x）=e」,0_x：
：
：
：
x2
：
（x）=e
：
x:
:
2、两个函数的内积
定义：
给定f（x）,g（x）・Cl.a,b1,?
（x）是（a,b）上的权函数，称
b
（f,g）=JP（x）f（x）g（x）dx
a
为函数f（x）与g（x）在［a,b］上的内积。
内积的性质：
（1）对称性：
f,g二g,f；
（2）数乘性：
kf,g=（f,kg）二k（f,g）；
（3）可加性：
frf2,g二f1,g'f2,g；
（4）非负性：
若在［a,b］上f（x）=O，则（f,f）0
3、函数的正交
（1）两个函数的正交与正交函数系
若内积
b
（f,g）=a'（x）f（x）g（x）dx=O
则称f（x）与g（x）在区间［a,b］上带权；-（x）正交若函数系•
=0（X）,1（x）J||,n（x）^|/满足
b「0,心j
件严j）=JP（x）%®jdx=«'c.
aia＞。
i=j
则称■k（xV是la，bI上带权'（x）的正交函数系。
特别的，如果-'k（x）是最高
次项系数不为零的k次多项式，则称'k（x）/是la,b】上带权,（X）的正交多项式。
正交函数系一定线性无关。
4、几种常用的正交多项式
（1）legendre多项式
Lo（x）=1
t1dn
Ln（x）R［（x2-1）n］,n=1,2」l（
L2n!
dx
Legendre多项式的性质
Legendre多项式系｛—（x）｝是区间［-1，1］上带权「（x）=1的正交多项式系
Ln（x）的最高次项系数为
n为奇数时Ln（x）为奇函数,Ln（-X）=（-1）nLn（X）
n为偶数时Ln（x）为偶函数。
递推关系
当n-1时
（2）chebyshev多项式
设n为非负整数,称Tn（x）二cos（narccosx）,-1乞x叮为chebyshev多项式。
chebyshev多项式的性质：
Tn（x）是x的n次多项式，并且当n_1时，「（x）的最高次项系数为a^2nJ
1
Chebyshev多项式系｛Tn（x）｝是区间［-1，1］上带权;?
（x）2的正交多项
』1-x
式系。
（3）
Laguerre多项式
Laguerre多项式的性质：
（1）Un（x）是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为an=（-1）n
（2）Laguerre多项式系｛Un（x）｝是在区间［0,：
：
）上带权e」的正交多项式系。
（4）Hermite多项式
2d*（J）
称Hn（x）=（-1）它，n=0,1,|1|为Hermite多项式
dx
Hermite多项式的性质：
Hn（x）是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为an=2n
x2
Hermite多项式系｛H*（x）｝是在区间（-：
：
，*：
）上带权e的正交多项式系
0,mn
Hm（X）Hn（X）dX二n-
2n!
7兀，m=n
、函数的最佳平方逼近
1、最佳平方逼近的概念
设Hn为某一函数类
定义：
设f（X）壬c[a,b],若存在®（X）Ehn使|ft2=miplf-円|2，则称
*（x）为f（X）在函数类Hn中的最佳平方逼近函数。
2b2
f一订..[f（X）-*（x）]珥x）dx（f-*,f-*）二mp（f-,f一）
Hn的表示：
设；0（X）,l（x）,2（x）/,：
n（x），
Hn=span{■o（x）,[（x）,2（X）「，n（x）}
nn
、*（x）八c*\（x），「（x）八Ck\（X）
kzQk=S
2、最佳平方逼近的条件
设f（x）C[a,b]，:
（x）Hn，是子空间Hn中，对于f（x）的最佳平方逼近
元素的充分必要条件是：
（f-「*,「）=0,j=0,1,…，n
3、最佳平方逼近元素是唯一的
4、最佳平方逼近元素的求法
n
p*（x）•c；「k（x），求系数ck，利用条件：
k=0
n
f-*,j=（fckk（x）,「j）=0,j=0,1,2,...n
k=0
n
法方程（正规方程）：
v&（「k,「j）=（f,「j）,j=0,1,2j
k=0
（0,；：
j）c0（「j）d（n「jHj）
j=0,1,2,,n
矽0,%）c0十…浮0）c；=（f,%）*（%,®i）c0+（®i,®i）c；+…十（叫,鸣）6=（f,码）
化®）c0+件，％）c*卄+（%,%）C；=（f,%）
设o（x）,;i（x）,2（x）^',S（x）为［a,b］上带权「（x）正交函数系，则
5、最佳平方逼近误差
n
一，均方误差：
：
「，：
「=（f,f）-vc；（「k,f）
k士
三、正交函数系在最佳平方逼近中的应用
设o（x）,i（x）,：
2（x），…,\（x），为［a,b］上带权'（x）正交函数系，则
1、Legendre多项式的应用
b
（f,g）二af（x）g（x）dx，
⑴设f（x）•C〔T,11求f（x）在［-1,1］上的n次最佳平方逼近多项式Pn（x）
Hn二span{1,x,x2,,xn}取Hn二span{L°,^「，Ln}，
c*_（仁LQk（Lk,Lk）
Qmhn
1
JLm（x）Ln（x）dx=」2
m=n
・2n+1
（2）f（x）Cl-a,b1
做变换•宁,t「1］
2、Chebyshev多项式的应用
误差估计
设f（x）在区间［-1,1］上存在且有界，那么由式
亠二ajTj（x）,-1一x一1和系数公式
2j经
］卑M/dx,j=0,1,2，…，n。
所确定的多项式，当nT^时，在兀屮'1—x2
［-1，1］上一致收敛于函数f（x）。
O0
Chebyshev级数色a"（x）,-1_x_1
2
3、三角函数系的应用
三角函数系｛1,cosx,sinx,,cosnx,sinnx｝，在［0,2二］上为正交函数
2n
（f,g）=0f（x）g（x）dx
（sinkx,sinjx）
|0,2j
（coskx,cosjx）二2二，k=j=0，
二，k=j=0
（coskx,sinjx）=0,k=j
2n
设f（x）是以2兀为周期的函数，定义内积（f,g）={f（x）g（x）dx，
在空间Dn=span{1,cosx,sinx,,cosnx,sinnx}，中寻求对于f（x）的最佳平方逼近元素
a0；
Sn（x）（akcoskxbksinkx）
2k^0
12二
f（x）coskxdx,k=0,1,2,,n
f（x）sinkxdx,k=1,2,,n
当f（x）C（-：
：
：
：
）且以2二为周期时岂二（akcoskxbksinkx）二f（x）
2k」
四、曲线拟合
曲线拟合的概念：
已知数据点：
（Xj,yj,i=0,1,2,…，m,寻找一个函数y=「（x）,使其在某种准
则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的好。
常用的四个准则：
用四种方法可以分别得到在四种准则下的四条最佳拟合曲线，使其误差平方和最小的方法称为最小二乘准则。
1、曲线拟合
（1）曲线（数据）拟合的最小二乘法：
给定一组数据=0,1,2,…,m，在某一函数类D中找函数y=:
（x），使:
mm
'[:
*（xj-yi]2=mip【:
（xJ-yi]2
称*（x）为上述数据的最小二乘拟合曲线
（2）拟合曲线的求法
n
**
取D=span{毋°（x）,q>i（x）,…理n（x）},n<：
m找®（x）=迟jj（x）亡D
j」
mm
使送[叭xj—f（xj]2送[叫x）—f（x）r
i=0屮i=0
mnmn
即求多元函数的极小值：
v[7cj：
:
j（x）-f（x）]2二minvI5：
:
j（xj-f（xj]2i=9j=0Cii=0j=9
mn
2
F（C°,Ci,,Cn）八['Cj[（Xi）-f（Xi）]
i=0j=0
2F
■：
Ck
mn
=2、「Cj「j（x）-f（Xi）]k（xj
i=0j=0
mnm
2二二q「j（xj匚（x）-2、f（xj「k（xj=0
i=0j=0
i=0
nm
、Cj-
m
[（Xi）「k（Xi）八f（Xi）l（x）=0
j=0i=0i=0
m
2"j=（：
j（X0）「j（Xi）,—,「j（Xm））T,j=0,1,.n，（Gj"k）八「j（Xi）L（Xi）
i=0
m
y=（y°,y1,…，ym）T，（y,「Q八fgKxJ
i=0
n
法方程：
'•Cj3k「：
」j）=（y"k）,k=0,1,2,…,nj£
（①1*0）（①1,①1）…（①1®n）
aaa
*
G
a
3n,①0）（①n,①1）…（①n®nL
I
炉0,%）（①0,①1）…（①0,①n）l乙1
「（y,①0）1
|（y,①J
L（y^n）.
令：
人“叫‘匕,…，^],。
=[C°,C1,…，Cn]T
法方程变为：
ATAc二ATy
m
⑴曲线（数据）拟合的最小二乘法：
」||：
八［：
「（Xi）—yi］2二min
7
mm
（2）拟合曲线的求法'［「（X」一f（x）］2二mip'［（xj一f（Xj）］2
n
:
（x）八Cjj（x）,ATAc二ATy
j=o
m
（3）误差平方和［「*（Xi）-f（xJ］2
iz0
⑷基函数的选取（以多项式作为拟合函数类）
（a）选择幕函数xj,j=0,1,2/,n作为基函数.
（b）构造在点集｛xj=0,1,2/,m｝上的正交多项式系｛：
:
j（x）,j=0,1,2,…,n｝
（c）取Chebyshev多项式作为基函数T“（x）=cos（narccosx）
（d）取三角函数为基函数
三、思考题
1、为什么高次多项式插值不能令人满意？
分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？
答：
因为对任意的插值节点，当n时，插值多项式Ln（x）不一定收敛于
f（x）。
由于高次插值存在龙格现象，它没有实用价值，而分段低次插值，特别是三次样条插值，具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑度，理论上和应用上都有重要的意义。
2、用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不
同？
答：
切比雪夫多项式Tn（x）在区间［T,1］上有n个零点，恰好是单位圆周上的等距分布点的横坐标，这些点的横坐标在接近区间［一1,1］的端点处是密集的。
利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化
由于高次插值出现龙格现象，拉格朗日插值一般不收敛，因此不适用，若用切比雪夫多项式零点插值即可避免龙格现象，保证整个区间收敛。
四、测验题
根据北航课后习题第八题改编。
给定数表
x
1
1.5
2
2.5
3
f（x）
21
23
22
21
20
解：
差商表如下：
x
f（x）
一阶差商
二阶差商
二阶差商
四阶差商
1
21
1.5
23
4
2
22
-2
-6
2.5
23
2
4
20
3
3
20
-6
-8
-24
46
3
故四次Newton插值多项式为：
2046
P4（x）=214（x-1）-6（x-1）（x-1.5）（x-1）（x-1.5）（x-2）（x-1）（x-1.5）（x-2）（x-2.5）
33
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