高中数学选修12人教版 练习综合练习含答案.docx

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高中数学选修12人教版练习综合练习含答案

选修1－2　学业质量标准自测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数

＝

（　B　）

A．1＋i　　　　　　　　B．1－i

C．iD．－i

[解析]　

＝

＝

＝1－i.

2．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的

（　A　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　本题考查了充要条件的判断．

当a＝3时，A＝{2,3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a＝1或a＝3，故为充分不必要条件．

3．下列命题的否命题为“邻补角互补”的是

（　C　）

A．邻补角不互补

B．互补的两个角是邻补角

C．不是邻补角的两个角不互补

D．不互补的两个角不是邻补角

[解析]　“邻补角”的否定是“不是邻补角”，“互补”的否定是“不互补”，故选C．

4．（2016·江西抚州高二检测）为了帮家里减轻负担，高二学生小明利用暑假时间打零工赚学费，他统计了其中五天的工作时间x（小时）与报酬y（元）的数据，分别是（2,30）、（4,40）、（5，m）、（6,50）、（8,70），他用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，则其中m为

（　D　）

A．45B．50

C．55D．60

[解析]　由题意知

＝

＝5，又∵点（

，

）在回归直线

＝6.5x＋17.5上，

∴

＝6.5×5＋17.5＝50，

∴50＝

，

∴m＝60，故选D．

5．用反证法证明命题“

＋

是无理数”时，下列假设正确的是

（　D　）

A．假设

是有理数

B．假设

是有理数

C．假设

或

是有理数

D．假设

＋

是有理数

[解析]　“

＋

是无理数”的否定是“

＋

不是无理数”，故选D．

6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是

（　D　）

A．f（x）＝x2B．f（x）＝

C．f（x）＝lnx＋2x－6D．f（x）＝sinx

[解析]　第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f（x）＝sinx为奇函数，且存在零点，故选D．

7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为

（　D　）

p（K2>k）

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

p（K2>k）

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83

A．25%B．75%

C．2.5%D．97.5%

[解析]　查表可得K2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x和y有关系”．

8．如图是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是

（　A　）

A．类比B．综合法

C．反证法D．分析法

[解析]　据推理的相关知识及结构图知，类比不是证明方法．故选A．

9．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于

（　C　）

A．45°B．60°

C．90°D．120°

[解析]　如图由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，

|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，

且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2（∠2＋∠4）＝180°，即∠2＋∠4＝90°，

故∠A1FB1＝90°.

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（

，0），直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－

，则此双曲线的方程是

（　D　）

A．

－

＝1B．

－

＝1

C．

－

＝1D．

－

＝1

[解析]　由题知c＝

，设双曲线方程为

－

＝1（t>0）

由

消去y得，

（7－2t）x2＋2tx－8t＋t2＝0.

由题意知

＝－

，

∴x1＋x2＝

＝－

，∴t＝2，

∴双曲线方程为

－

＝1.

11．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是

（　B　）

A．12，－15B．5，－15

C．5，－4D．－4，－15

[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6（x2－x－2）＝6（x－2）·（x＋1），令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，

∴x＝－1舍去．

列表如下：

x

0

（0,2）

2

（2,3）

3

f′（x）

－

0

＋

f（x）

5

极小值－15

－4

由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B．

12．已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则

（　D　）

A．f

（2）

（2）≤e2f（0）

C．f

（2）＝e2f（0）D．f

（2）>e2f（0）

[分析]　所给四个选项实质是比较f

（2）与e2f（0）的大小，即比较

与

的大小，故构造函数F（x）＝

解决．

[解析]　设F（x）＝

，则f′（x）＝

>0，

∴F（x）在R上为增函数，故F

（2）>F（0），

∴

>

，即f

（2）>e2f（0）．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）

13．已知命题p：

∃x∈R，使sinx＝

，则¬p＝　∀x∈R，使sinx≠

　.

[解析]　全称命题的否定是特称命题．

14．（2016·福建宁德市高二检测）已知复数z满足z（1＋i）＝1（i为虚数单位），则z＝　

－

i　.

[解析]　z＝

＝

＝

－

i.

15．观察下列等式

　　　　　　1＝1

　　　　　2＋3＋4＝9

　　　　3＋4＋5＋6＋7＝25

　　　4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

　　　　　　　　……

照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__.

[解析]　第1个等式有1项，从1开始；

第2个等式有3项，从2开始；

第3个等式有5项，从3开始；

第4个等式有7项，从4开始．

每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.

16．已知点A（x1，ax1）、B（x2，ax2）是函数y＝ax（a>1）的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间的函数图象的上方，因此有结论

>a

成立．运用类比的思想方法可知，若点A（x1，sinx1）、B（x2，sinx2）是函数y＝sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同的两点，则类似地有　

　成立.

[解析]　依据函数y＝sinx（x∈（0，π））的图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，所以有

.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

（1）计算（

）2＋

；

（2）复数z＝x＋yi（x、y∈R）满足z＋2i

＝3＋i，求复数z的对应点Z所在的象限．

[解析]　

（1）原式＝

＋

＝i＋

＝

＋

i.

（2）由z＋2i

＝3＋i得

（x＋2y）＋（y＋2x）i＝3＋i，

∴

，

解得x＝－

，y＝

，

∴z＝－

＋

i，

∴复数z对应点Z的坐标为（－

，

），即在第二象限．

18．（本题满分12分）已知命题p：

方程

＋

＝1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题q：

方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根，又p∨q为真，¬q为真，求实数m的取值范围.

[解析]　p：

，∴m>2.

故p：

m>2.

q：

△＝16（m－2）2－16<0，

即m2－4m＋3<0，

∴1

故q：

1

又∵p∨q为真，¬q为真，

∴p真q假，

即

，

∴m≥3.

19．（本题满分12分）（2016·广东河源市高二检测）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎开放”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：

年龄

[5,15）

[15,25）

[25,35）

[35,45）

[45,55）

[55,65）

频数

5

10

15

10

5

5

支持“生育二胎”

4

5

12

8

2

1

由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.

年龄不低于45岁

年龄低于45岁

合计

支持

不支持

合计

参考数据：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

[解析]　列联表如下：

年龄不低于45岁

年龄低于45岁

合计

支持

3

29

32

不支持

7

11

18

合计

10

40

50

由公式得K2＝

＝

≈6.272<6.635.

故没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．

20．（本题满分12分）已知a、b、c是全不相等的正实数，求证：

＋

＋

>3.

[解析]　解法一：

（分析法）

要证

＋

＋

>3，

只需证明

＋

－1＋

＋

－1＋

＋

－1>3，

即证

＋

＋

＋

＋

＋

>6.

而事实上，由a、b、c是全不相等的正实数，

得

＋

>2，

＋

>2，

＋

>2.

从而

＋

＋

＋

＋

＋

>6.

故

＋

＋

>3得证．

解法二：

（综合法）

∵a、b、c全不相等，

∴

与

，

与

，

与

全不相等．

∴

＋

>2，

＋

>2，

＋

>2.

三式相加得

＋

＋

＋

＋

＋

>6，

∴（

＋

－1）＋（

＋

－1）＋（

＋

－1）>3，

即

＋

＋

>3.

21．（本题满分12分）（2017·全国Ⅲ文，20）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0,1）．当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？

说明理由．

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

[解析]　

（1）解：

不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：

设A（x1,0），B（x2,0），

则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2.

又点C的坐标为（0,1），

故AC的斜率与BC的斜率之积为

·

＝－

，

所以不能出现AC⊥BC的情况．

（2）证明：

BC的中点坐标为（

，

），可得BC的中垂线方程为y－

＝x2（x2－

）．

由

（1）可得x1＋x2＝－m，

所以AB的中垂线