行程问题归纳.docx
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行程问题归纳
行程问题归纳
1、为什么说行程问题可以说是难度最大的奥数专题？
类型多：
行程分类细，变化多，工程抓住工作效率和比例关系，而行程每个类型重点不一，因此没有一个关键点可以抓
题目难：
理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学，动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力
跨度大：
从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度，需要不断的复习巩固来加深理解、夯实基础
2、那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？
要诀一：
大部分题目有规律可依，要诀是"学透"基本公式
要诀二：
无规律的题目有"攻略"，一画（画图法）二抓（比例法、方程法）
3、行程模块中包含哪些知识点，有何解题技巧例题讲解
行程问题包含多人行程、二次相遇、多次相遇、火车过桥、流水行船、环形跑道、钟面行程、走走停停、接送问题、发车问题、电梯行程等
更新目录：
多人行程的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
二次相遇的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
追及问题的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
火车过桥的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
流水行船的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
环形跑道的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
钟面行程的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
走走停停的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
接送问题的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
发车问题的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
电梯行程的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
猎狗追兔的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
平均速度的要点及解题技巧
例题及答案
（一）例题及答案
（二）
奥数行程：
多人行程的要点及解题技巧
行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：
这三个量是：
路程（s）、速度（v）、时间（t）
三个关系：
1.简单行程：
路程=速度×时间
2.相遇问题：
路程和=速度和×时间
3.追击问题：
路程差=速度差×时间
牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。
如“多人行程问题”，实际最常见的是“三人行程”
例：
有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。
甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。
在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。
问：
这个花圃的周长是多少米？
分析：
这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇：
在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）
第一个追击：
这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）
第二个相遇：
在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。
总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。
只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！
奥数行程：
多人行程例题及答案
（一）
多人行程---这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。
例1.甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小时到达西村后立刻返回。
在距西村30公里处和乙相聚，问：
丙行了多长时间和甲相遇？
答案一：
设乙每小时行x公里，则甲为x+12，丙为x-15+12=x-3
3.5*12=（x+12）*2
x=9甲为21公里，丙为6公里，
21*3.5*2/（21+6）=5.44小时
丙行了5.44小时和甲相遇
答案二：
在距西村30公里处和乙相聚，则甲比乙多走60公里，
而甲骑自行车每小时比乙快12公里，
所以，甲乙相聚时所用时间是60/12=5小时，
所以甲从西村到和乙相聚用了5-3.5=1.5小时，
所以，甲速是：
30/1.5=20公里/小时，
所以，丙速是：
20-15=5公里/小时，
东村到西村的距离是：
20*3.5=70公里，
所以，甲丙相遇时间是：
（2*70）/（20+5）=5.6小时
例2.难度：
高难度
甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。
有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。
求丙车的速度。
【解答】
解题思路：
（多人相遇问题要转化成两两之间的问题，咱们的相遇和追击公式也是研究的两者。
另外ST图也是很关键）
第一步：
当甲经过6小时与卡车相遇时，乙也走了6小时，甲比乙多走了660-486=72千米；（这也是现在乙车与卡车的距离）
第二步：
接上一步，乙与卡车接着走1小时相遇，所以卡车的速度为72-481=24
第三步：
综上整体看问题可以求出全程为：
（60+24）6=504或（48+24）7=504
第四步：
收官之战：
5048-24=39（千米）
注意事项：
画图时，要标上时间，并且多人要同时标，以防思路错乱！
例3.难度：
高难度
李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。
0.5小时后，营地老师闻讯前来迎接，每小时比李华多走1.2千米，又经过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。
结果3人同时在途中某地相遇。
问：
张明每小时行驶多少千米？
【解答】
老师出发时和李华相距20.4-4×0.5=18.4千米，再过18.4÷（4+4+1.2）=2小时相遇，相遇地点距学校2×4+2=10千米，张明行驶的时间为0.5小时，因此张明的速度为10÷0.5=20千米/时。
奥数行程：
多人行程例题及答案
（二）
行程问题是小学奥数中难度系数比较高的一个模块，在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程问题的身影。
多人行程---这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。
例1.AB两地相距30千米，甲乙丙三人同时从A到B，而且要求同时到达。
现在有两辆自行车，但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。
已知骑自行车的平均速度为每小时20千米，甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙每小时4千米，那么三人需要多少小时可以同时到达？
【解答】因为乙丙步行速度相等，所以他们两人步行路程和骑车路程应该是相等的。
对于甲因为他步行速度快一些，所以骑车路程少一点，步行路程多一些。
现在考虑甲和乙丙步行路程的距离。
甲多步行1千米要用1/5小时，乙多骑车1千米用1/20小时，甲多用1/5-1/20=3/20小时。
甲步行1千米比乙少用1/4-1/5=1/20小时。
，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：
1/20/（3/20=1/3.
这样设乙丙步行路程为3份，甲步行4份。
如下图安排：
这样甲骑车行骑车的3/5，步行2/5.
所以时间为：
30*3/5/20+30*2/5/5=3.3小时。
例2.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。
甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。
在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。
问：
这个花圃的周长是多少米？
【解答】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇：
在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）
第一个追击：
这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）
第二个相遇：
在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。
总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。
只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！
奥数行程：
二次相遇的要点及解题技巧
一、概念：
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。
二、特点：
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
三、类型：
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：
求路程，求相遇时间，求速度。
四、三者的基本关系及公式：
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
奥数行程：
二次相遇例题及答案
（一）
答题思路点拨：
甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。
一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
例1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。
请问A、B两地相距多少千米？
A.120B.100C.90D.80
【解答】A。
解析：
设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。
例2.两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，在离A城44千米处相遇。
两城市相距（）千米
A.200B.150C.120D.100
【解答】D。
解析：
第一次相遇时两车共走一个全程，第二次相遇时两车共走了两个全程，从A城出发的汽车在第二次相遇时走了52×2=104千米，从B城出发的汽车走了52+44=94千米，故两城间距离为（104+96）÷2=100千米。
绕圈问题：
例3.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（）
A．24分钟B．26分钟C．28分钟D．30分钟
【解答】C。
解析：
甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。
也就是说，两人16分钟走一圈。
从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走半圈，即从A到B是半圈，甲从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14×2=28分钟。
也是一个倍数关系。
奥数行程：
二次相遇例题及答案
（二）
例1.两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经过4小时后相遇。
甲乙两地相距多少千米（
适于五年级程度）
【解答】两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。
一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。
两车行驶路程之和，就是两地距离。
56×4=224（千米）
63×4=252（千米）
224+252=476（千米）
综合算式：
56×4+63×4
=224+252
=476（千米）
答：
甲乙两地相距476千米。
例2.两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。
5小时后，两列火车相距多少千米（
适于五年级程度）
解：
此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。
480-（40+42）×5
=480-82×5
=480-410
=70（千米）
答：
5小时后两列火车相距70千米。
例3.两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。
两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。
求甲、乙两地间的距离。
（适于五年级程度）
解：
两车相遇时，两车的路程差是20千米。
出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。
由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。
（60+55）×[20÷（60-55）]
=115×[20÷5]
=460（千米）
答：
甲、乙两地间的距离为460千米。
奥数行程：
追及问题的要点及解题技巧
一、多人相遇追及问题的概念及公式
多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕""这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：
多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解。
二、多次相遇追及问题的解题思路
所有行程问题都是围绕""这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
多次相遇与全程的关系
1.两地相向出发：
第1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
…………，………………；
第N次相遇，共走2N-1个全程；
注意：
除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2.同地同向出发：
第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
…………，………………；
第N次相遇，共走2N个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差
奥数行程：
追及问题例题及答案
（一）
例1.一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。
每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？
A.10B.8C.6D.4
【解答】
我们知道这个题目出现了2个情况，就是
（1）汽车与骑自行车的人的追击问题，
（2）汽车与行人的追击问题
追击问题中的一个显著的公式就是路程差＝速度差×时间
我们知道这里的2个追击情况的路程差都是汽车的间隔发车距离。
是相等的。
因为我们要求的是关于时间所以可以将汽车的间隔距离看作单位1.
那么根据追击公式
（1）（V汽车－V步行）=1/10
（2）（V汽车－3V步行）=1/20
（1）×3－
（2）=2V汽车＝3/10-1/20很快速的就能解得V汽车＝1/8答案显而易见是8
例2.小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。
扶梯方向向上，小芳则从二楼到一楼。
已知小明的速度是小芳的2倍。
小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。
如果我们把一个箱子放在一楼的第一个阶梯上问多长时间可以到达二楼？
【解答】跟上面一题一样。
这个题目也是2个行程问题的比较
（1）小明跟扶梯之间是方向相同
（1）（V小明＋V扶梯）=1/2
（2）小芳跟扶梯的方向相反
（2）（V小芳－V扶梯）=1/8
（1）-2×
（2）=3V扶梯＝1/4可见扶梯速度是1/12答案就显而易见了。
总结：
在多个行程问题模型存在的时候。
我们利用其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。
可以很轻松的一步求得结果！
奥数行程：
追及问题例题及答案
（二）
例1.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。
然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。
问这时是几点几分？
【解答】先画出示意图图37-1如下（图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二次追上小明的地方）。
从图37-1上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点到B点，行完（8-4=）4千米；爸爸先从A点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12千米。
可见，爸爸的速度是小明的（12÷4=）3倍。
从而，行完同样多的路程（比如从家到A点），小明所用的时间就是爸爸的3倍。
由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。
这样可以算出，小明从家到A所用的时间为
8÷（3-1）×3=12（分）
8÷（3-1）×3×X2=24（分）
例2.A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：
当甲到达B地时，乙追上甲几次？
【解答】由上图容易看出：
在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100-80=20（分钟）内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180÷20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80×（1+9）=800（分钟），乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟，所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟.
奥数行程：
火车过桥的要点及解题技巧
一、什么是过桥问题？
火车过桥问题是行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。
基本数量关系是火车速度×时间=车长+桥长
二、关于火车过桥问题的三种题型：
（1）基本题型：
这类问题需要注意两点：
火车车长记入总路程；重点是车尾：
火车与人擦肩而过，即车尾离人而去。
如：
火车通过一条长1140米的桥梁用了50秒，火车穿过1980米的隧道用了80秒，求这列火车的速度和车长。
（过桥问题）
一列火车通过800米的桥需55秒，通过500米的隧道需40秒。
问该列车与另一列长384、每秒钟行18米的列车迎面错车需要多少秒钟（
火车相遇）
（2）错车或者超车：
看哪辆车经过，路程和或差就是哪辆车的车长
如：
快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车的2倍，如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？
（3）综合题：
用车长求出速度；虽然不知道总路程，但是可以求出某两个时刻间两人或车之间的路程关系
如：
铁路旁有一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北走的农民，12秒后离开这个农民。
问军人与农民何时相遇？
奥数行程：
火车过桥的例题及答案
（一）
例1.一列火车长150米，每秒钟行19米。
全车通过长800米的大桥，需要多少时间？
【解答】列车过桥，就是从车头上桥到车尾离桥止。
车尾经过的距离=车长+桥长，车尾行驶这段路程所用的时间用车长与桥长和除以车速。
解：
（800+150）÷19=50（秒）
答：
全车通过长800米的大桥，需要50秒。
例2.一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。
这条隧道长多少米？
【解答】先求出车长与隧道长的和，然后求出隧道长。
火车从车头进洞到车尾离洞，共走车长+隧道长。
这段路程是以每秒8米的速度行了40秒。
解：
（1）火车40秒所行路程：
8×40=320（米）
（2）隧道长度：
320-200=120（米）
答：
这条隧道长120米。
例3.一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？
【解答】本题是求火车车头与小华相遇时到车尾与小华相遇时经过的时间。
依题意，必须要知道火车车头与小华相遇时，车尾与小华的距离、火车与小华的速度和。
解：
（1）火车与小华的速度和：
15+2=17（米/秒）
（2）相距距离就是一个火车车长：
119米
（3）经过时间：
119÷17=7（秒）
答：
经过7秒钟后火车从小华身边通过。
奥数行程：
火车过桥的例题及答案
（二）
例1.某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的铁桥用23秒，该列车与另一列长320米，速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要（）秒。
【解答】火车过桥问题
公式：
（车长+桥长）/火车车速=火车过桥时间
速度为每小时行64.8千米的火车，每秒的速度为18米/秒，
某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的铁桥用23秒，则该火车车速为：
（250-210）/（25-23）=20米/秒
路程差除以时间差等于火车车速.
该火车车长为：
20*25-250=250（米）
或20*23-210=250（米）
所以该列车与另一列长320米，速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要的时间为
（320+250）/（18+20）=15（秒）
例2.一列火车长160m，匀速行驶，首先用26s的时间通过甲隧道（即从车头进入口到车尾离开口为止），行驶了100km后又用16s的时间通过乙隧道，到达了某车站，总行程100.352km。
求甲、乙隧道的长？
【解答】设甲隧道的长度为xm
那么乙隧道的长度是（100.352-100）（单位是千米！
）*1000-x＝（352-x）
那么
（x+160）/26=（352-x+160）/16
解出x＝256
那么乙隧道的长度是352-256=96
火车过桥问题的基本公式
（火车的长度+桥的长度）/时间＝速度
例3.甲、乙两人分别沿铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒，已知两人的步行速度都是3.6千米/小时，这列火车有多长？
【解答】从题意得知，甲与火车是一个相遇问题，两者行驶路程的和是火车的长.乙与火车是一个追及问题，两者行驶路程的差是火车的长，因此，先设这列火车的速度为χ米/秒，两人的步行速度3.6千米/小时＝1米/秒，所以根据甲与火车相遇计算火车的长为（15χ＋1×15）米，根据乙与火车追及计算火车的长为（17χ-1×17）米，两种
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