三角形题目汇编.docx
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三角形题目汇编
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最新最全精品资料2011年山东省中考数学试题分类汇编之“三角形”题目汇编（含题目、类型、考点、专题、分析、解答、答案）
一.选择题
1.（2011•潍坊）如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：
（1）DE=1；
（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：
4．其中正确的有（ ）
A、0个B、1个
C、2个D、3个
考点：
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：
几何综合题。
分析：
本题需先根据相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线的性质逐个分析，即可得出正确答案．
解答：
解：
（1）∵△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，
∴DE=
=
=1
故本选项正确；
（2）∵△ABC中，DE是它的中位线
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
故本选项正确；
（3）∵△ADE∽△ABC，相似比为1：
2
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：
4．
故本选项正确
故选D．
点评：
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意与三角形的中位线的性质相结合是本题的关键．
2．（2011东营）一副三角板，如图所示叠放在一起．则图中∠α的度敦是（）
A．75°B．60°
C．65°D．55°
考点：
三角形的内角和，邻补角
分析：
因为∠A=
∠F=
所以∠DBF=
.
解法：
解:
∵∠A=
∠F=
∠AMB=∠FME=
∠DBF=
.
点评：
本题考查三角形的内角和，及三角形的外角性质，题目叫简单.
3.（2010•枣庄）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A、30°B、45°
C、60°D、75°
考点：
三角形的外角性质；平行线的性质。
专题：
计算题。
分析：
利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
解答：
解：
如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1=45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α=∠1+30°=75°．
故选D．
点评：
本题利用了两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4.（2011•菏泽）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（
A、6B、3
C、
D、
考点：
翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：
计算题。
分析：
易得∠ABC=60°，∠A=30°．根据折叠的性质∠CBE=∠D=30°．在△BCE和△DCE中运用三角函数求解．
解答：
解：
∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，
∴sinA=BC：
AB=1：
2，
∴∠A=30°，∠CBA=60°．
根据折叠的性质知，∠CBE=∠EBA=
∠CBA=30°，
∴CE=BCtan30°=
，
∴DE=2CE=2
．
故选C．
点评：
本题考查了：
1、折叠的性质：
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
5.（2011•泰安）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）
A、25°B、30°
C、20°D、35°
考点：
平行线的性质；对顶角、邻补角；三角形的外角性质。
专题：
计算题。
分析：
根据平角的定义求出∠ACR，根据平行线的性质得出∠FDC=∠ACR=70°，求出∠AFD，即可得到答案．
解答：
解：
∵∠β=20°，∠ACB=90°，
∴∠ACR=180°﹣90°﹣20°=70°，
∵l∥m，
∠FDC=∠ACR=70°，
∴∠AFD=∠FDC﹣∠A=70°﹣45°=25°，
∴∠a=∠AFD=25°，
故选A．
点评：
本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角、邻补角等知识点的理解和掌握，求出∠AFD的度数是解此题的关键．
6.（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）
A、
B、
C、
D、6
考点：
翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
专题：
探究型。
分析：
先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解答：
解：
∵△CED是△CEB翻折而成，
∴BC=CD，BE=DE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，
∴AE=CE，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3
，
在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3
﹣x，
AE2=AO2+OE2，即（3
﹣x）2=（3
）2+32，解得x=
，
∴AE=EC=3
﹣
=2
．
故选A．
点评：
本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
7.（2011•滨州）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ）
A、1B、5
C、7D、9
考点：
三角形三边关系。
专题：
应用题。
分析：
此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
解答：
解：
根据三角形的三边关系，得：
第三边应＞两边之差，即4﹣3=1，而＜两边之和，即4+3=7，
即1＜第三边＜7，
∴只有5符合条件，
故选B．
点评：
本题主要考查了构成三角形的条件：
两边之和＞第三边，两边之差＜第三边，比较简单．
8.（2011•滨州）如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：
①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ）
A、1B、2
C、3D、4
考点：
三角形中位线定理。
专题：
作图题。
分析：
将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．
解答：
解：
①使得CE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：
∵∠C=60°，
∴AB=
BC，
∴BD≠BC．
②使得BD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：
③使得BD与DE重合，即可构成有一个角为锐角的菱形，如图：
故计划可拼出①②③．
故选C．
点评：
本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质，本题中求证BD≠BC是解题的关键．
9.（2011·济宁）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是
A.15cmB.16cmC.17cmD.16cm或17cm
考点：
等腰三角形的的性质，三角形的三边关系.
分析：
已知等腰三角形的两边，周长，首先要确定底和腰，5cm即可做腰也可作底，因此周长应该两个.
解法：
解：
当5cm做腰时，周长为16cm;当5cm做底时，周长为17cm;
点评：
三角形的三边关系是：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.等腰三角形的要相等.
10.（2011·济宁）如图：
△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是
A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm
考点：
对折，三角形的周长，垂直平分线的性质.
分析：
对折之后AD=DC，AE=EC，则AC=8cm，△ABC的周长为30cm，AB+BC=22cm，△ABD的周长等于AD+AB+BD=AB+BD+DC=AB+BC=22cm.
解法：
解：
∵AD=DC，AE=EC，
∴AC=8cm，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+BC=22cm，
∵△ABD的周长等于AD+AB+BD=AB+BD+DC
∴AB+BC=22cm.
∴△ABD的周长为22cm.
点评：
对折后，图形被折的部分与覆盖的部分是轴对称图形，要注意线段的转化.
11.（2011威海）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等
A．EF∥ABB．BF=CFC．∠A=∠DFED．∠B=∠DEF
考点：
三角形的中位线，全等三角形的判定.
分析：
根据给出的条件，添加上之后，是否能判定定出三角形全等.
解法：
解：
∵D,E是AB,AC的中点，
∴DE∥BC
⑴若添加EF∥AB
则DEFB是平行四边形，
∴△BFD与△EDF全等
⑵若添加BF=CF
则EF也是三角形的中位线.
也能判定DEFB是平行四边形.
∴△BFD与△EDF全等
⑶若添加∠B=∠DEF
∵DE是中位线
∴∠B=∠ADE
∴∠ADE=∠DEF
∴EF∥AB
∴则DEFB是平行四边形，
∴△BFD与△EDF全等
故答案选C
点评：
三角形的中位线的性质，全等三角形的判定要熟练掌握.
12.（2011•临沂）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A、2
B、3
C、4D、4
考点：
矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
分析：
因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
解答：
解：
∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，，
∴AB=4，
∴AC=
=2
．
∴DE=
．
∴四边形BCDE的面积为：
2×
=2
．
故选A．
点评：
本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．
二.填空题.
13.（2011枣庄）．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若
=14cm，则阴影部分的面积是________cm2.
考点：
直角三角形的性质，平行线的性质.等角对等边，三角形的面积公式.
分析：
在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.
解法：
在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.AB=14cm
∴AC=7cm
∵BC∥ED
∴∠AFC=45°
∴AC=CF=7cm.
阴影部分的面积是
=
.
点评：
本题主要考察了直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半的性质，及三角形的面积公式
14.（2011•德州）如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为 3 ．
考点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理。
专题：
几何图形问题。
分析：
根据三角形中位线的性质定理，可以推出DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE，根据平行四边形的判定定理，即可推出有三个平行四边形．
解答：
证明：
∵D，E，F分别为△ABC三边的中点
∴DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE
∴四边形ADEF、DECF、DFEB分别为平行四边形
故答案为3．
点评：
本题主要考察平行四边的判定定理以及三角形中位线定理，关键在于找出相等而且平行的对边．
15.（2011•滨州）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 3
cm ．
考点：
等边三角形的性质；勾股定理。
专题：
应用题。
分析：
根据等边三角形三角都是60°利用三角函数可求得其高．
解答：
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AB=6cm，
∴AD=3
cm．
故答案为：
3
cm．
点评：
本题主要考查学生对等边三角形的性质的理解及运用能力，比较简单．
16.（2011•滨州）在等腰△ABC中，∠C=90°，则tanA= 1 ．
考点：
特殊角的三角函数值；等腰直角三角形。
分析：
根据△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，从而求出角A的正切值．
解答：
解：
∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案为1．
点评：
本题涉及到的知识点有：
等腰直角三角形、特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值．
17.（2011•临沂）如图，▱ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为 6 ．
考点：
平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质。
分析：
平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB=AE，所以BC=2AF，若CF平分∠BCD，可证明AE=AF，从而可求出结果．
解答：
解：
∵若CF平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC，
∴∠BCE=∠EFA，
∵BE∥CD，
∴∠E=∠DCF，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF=AB=3，
∵AB=AE，AF∥BC，
∴BC=2AF=6．
故答案为：
6．
点评：
本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，以等腰三角形的判定和性质．
18.2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为
cm ．
考点：
勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质。
专题：
几何图形问题。
分析：
连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可．
解答：
解：
连接EB，
∵BD垂直平分EF，
∴ED=EB，
设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，
在Rt△AEB中，
AE2+AB2=BE2，
即：
x2+32=（4﹣x）2，
解得：
x=
故答案为：
cm．
点评：
本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程．
三.求解题
19.（2011•临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：
AC=AD；
（2）若∠B=60°，求证：
四边形ABCD是菱形．
考点：
菱形的判定；等腰三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
（1）根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD；
（2）根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．
解答：
证明：
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD；
证明：
（2）∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
点评：
此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．
20.（2011•德州）如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
考点：
全等三角形的判定与性质。
专题：
应用题；证明题。
分析：
（1）根据全等三角形的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE，
（2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，即OA⊥BC．
解答：
（1）证明：
在△ACD与△ABE中，
∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD=AE．
21.（2011•泰安）已知：
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：
△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：
四边形EFDG是菱形．
考点：
相似三角形的判定；菱形的判定。
专题：
证明题；数形结合。
分析：
（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；
（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．
解答：
（1）证明：
∵点E是BC的中点，BC=2AD，
∴EC=BE=
BC=AD，
又∵AD∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥DC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE∽△COF；
（2）证明：
连接DE，
∵DE平行且等于BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，
∴□ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=
BD=
AE，
∴E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF、GE是△CBD的两条中线，
∴EF=
BD=GD，GE=
CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四边形EFDG是菱形．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形与菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
22.（2011•滨州）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：
∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？
并举例验证猜想所得结论．
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．
①作图：
②猜想：
③验证：
考点：
作图—复杂作图。
分析：
（1）①痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，
②利用各角之间的关系得出∠A+∠B=90°；
③可根据△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
（2）①痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可．
②利用各角之间的关系得出∠B=3∠A；
③利用特殊角∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
解答：
解：
（1）①作图：
痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求（2分）
②猜想：
∠A+∠B=90°，（4分）
③验证：
如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．（5分）
（2）答：
①作图：
痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可．
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求（6分）
②猜想：
∠B=3∠A（8分）
③验证：
如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．（9分）．
点评：
此题主要考查了垂直平分线的作法以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理的应用，根据垂直平分线的性质作出图形是解决问题的关键．
（2）互相垂直，
在Rt△ADO与△AEO中，
∵OA=OA，AD=AE，
∴△ADO≌△AEO，
∴∠DAO=∠EAO，
即OA是∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC．
点评：
本题考查了全等三角形的判定方法，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，难度适中．
23.已知：
如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：
AB=DC．
考点：
特殊角的三角函数值；零指数幂；全等三角形的判定与性质。
专题：
计算题；证明题。
分析：
（1）本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）根据全等三角形的判定定理，结合题意即可运用SAS进行全等的判断，然后即可得出结论．
解答：
解：
（1）解：
原式=
=1；
（2）证明：
在△ABC与△DCB中
AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，
∴△ABC≌△DCB．
∴AB=DC．
点评：
本题考查特殊角的三角函数值及全等三角形的判断，属于基础题的综合运用，比较简单，关键还是基本知识的掌握．
24.（2011•泰安）已知：
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：
AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。
专题：
证明题。
分析：
（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
解答：
解：
（1）证明：
∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG，
（2）BE=CM，
证明：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
点评：
本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的
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