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习题
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提示：
以下这些问题将会让你更好地理解如何运用先线性规划模型去解决更广泛的应用问题。
对于每个问题，你都应该建立一个线性规划模型。
同时，你也需要用一种线性规划的软件包去开发模型并得出问题的最终结果。
2哈特曼公司的管理层正试图决定接下来的计划期间内两种产品中每一种的生产数量。
下表提供了可用的劳动力、劳动力的效用和产品的盈利能力信息。
部门
产品
可用的工时
12
A
1.000.35
100
B
0.300.20
36
C
0.200.50
50
每单位产品的利润
30.0015.00
a.为该公司的问题建立线性规划模型:
求解该模型，以决定两种产品的最佳生产量。
b.在计算单位产品的利润时，人工费用并不算在内，因此它被认为在接下来的计划期间内事固定的。
但是，假设某些部门可以加班，你建议哪些部门加班?
你愿意为每个部分每小时支付多少加班费？
c.假设部分ABC各可安排10，6，8小时的加班时间，费用分别是18美元，22.5美元，12美元。
建立一个模型，你建议每个部分各加班多少时间？
如果加班，对利润的总贡献增加多少？
4．Hilltop咖啡公司利用3种咖啡豆制造一种混合咖啡产品。
每种咖啡豆每磅售价及可得磅数如下表所示：
公司以消费者测试来为咖啡定等级，级别范围是0—100。
高级别显示最高品质。
该混合咖啡要到达的质量标准是：
香味的消费等级至少是75，味道的消费者等级至少是80。
每一种咖啡豆的香味和味道等级如下：
咖啡豆
每磅售价
可得磅数
咖啡豆
香味等级
味道等级
1
0.5
500
1
75
86
2
0.7
600
2
85
88
3
0.45
400
3
60
75
假设混合咖啡的香味和味道属性是混合用咖啡豆属性的加权平均值
a.制造1000磅达到质量标准的混合咖啡豆的最低费用是多少？
b.确定该咖啡的香味和味道等级
c.每磅混合咖啡的价格是多少？
d.如果要生产额外的咖啡，每磅的预期费用是多少
6.库兹父子公司制造两种用于重型机械设备的产品。
两种需要经过两个部门的制造过程。
一下是两种产品的生产时间及利润贡献的数据：
产品
单位利润
生产时间
A
B
1
25
6
12
2
20
8
10
下一个生产周期内，公司有900小时可用生产时间分配到两个部门，找出一个生产计划以及劳动力分配方案，使该公司利益最大。
8克拉克镇警察部门安排警察8小时轮班，轮班时间是上午8点，中午12点，下午4点，下午8点，午夜12点以及早上4点。
该部门的认识指南要求的最少值班人数如下：
时间段
最少值班人数
时间段
最少值班人数
上午8点到中午12点
5
下午8点到午夜12点
7
中午12点到下午4点
6
午夜12点到早上4点
4
下午4点到下午8点
10
早上4点到上午8点
6
在8小时工作制下，确定以上时间上班的警察人数，以使得需要的人数最少。
10.海滨财务服务公司的一名投资顾问想要开发一个用于分配投资资金的模型。
公司有以下4种投资选择：
股票，债券，共同基金和现金。
该公司预估了在下一个投资期里以上4种投资的年收益率和相应的风险。
风险是用介于0-1之间的一个指数来衡定的，更高的风险值意味着更大的波动性和不确定性。
由于现金是一种货币市场资金，它的年收益较低，但同时它是无风险的。
我们的目标是确定投资组合中每种选择的资金比例。
以使总投资组合的年回报最大化。
总风险是所有投资选择的风险之和。
比如，一个客户将40%的资金投资于股票，30%投资于债券，20%投资于共同资金，10%投资于现金，那么他的总风险是0.4*0.8+0.3*0.2+0.1*0=0.44。
有一名投资顾问将会与每名投资者商讨期投资目标并决定一个最大风险值。
对于一个谨慎的投资者，最大风险值不超过0.3：
对于一个中度冒险的投资者，最大风险值介于0.3-0.5之间：
对于一个偏爱冒险的投资者，最大风险值在0.5一下。
此外，对于所有的投资客户，海滨财务服务公司还制定了特别的方针，这些方针如图：
投资
年回报率
风险
股票
10
0.8
债券
3
0.2
共同资金
4
0.3
现金
1
0.0
●对股票的投资不超过总资金的75%
●对共同基金的投资不少于对债券的投资
●对现金的投资介于总资金的10%---30%
a.假定某客户的最大风险值是0.4，那么最优投资组合是什么，它的年收益和总风险是多少
b.假定某比较谨慎的客户最大的风险值是0.18，那么最有投资组合是很么，它的年收益和风险值是多少？
c.假定某一个比较爱好冒险的客户最大风险值是0.7，那么最优投资组合是什么？
它的年收益和总风险分别是多少？
d.参照C的结果，该客户是否有兴趣让投资顾问增加对股票允许投资的最大必烈或是减少对现金数量至少为10%比例的约束？
请加以解释。
e.相对于直接用投资资金的数量，即金额来表示决策变量，我们前面用投资比例来表示决策变量有什么优势？
12.亚特兰大海洋食品公司是一家海洋食品的卖家和分销商，它将食品卖给整个东北海岸的饭店和海洋专卖店，ASC在纽约市有一个冷冻储藏设备，它作为主要分销点的所有产品服务。
ASC有一种冷冻的大型黑色的虎皮虾产品，每16---20只就有一磅重。
每个周六ASC都要按照现有的纽约仓储市场价格来购买或是出售虎皮虾。
ASC的目标是以一个尽可能地的价格购进虎皮虾，然后再以尽可能高的价格卖出去。
ASC目前有20000磅虎皮虾的库存，它每周可用的最大存储空间是100000磅。
除此之外，ASC对接下来4周虎皮虾的价格估计如下：
周次
每磅价格
周次
每磅价格
1
6.00
3
6.65
2
6.20
4
5.55
ASC希望建立一个关于接下来4周的最优的购买—储存—销售策略。
每周储存一磅虾的费用是0.15美元，同时为了解决供给和需求不可预见的变化，管理层希望在第四周周末有25000磅的虎皮虾的库存。
为ASC建立一个最优的购买—储存—销售策略，预期这四周的总利润是多少？
14.经典造船公司的生产经理必须确定接下来的4个季度生产多少“经典21模型”。
该公司原有100艘经典21的库存，且4个季度的需求是：
第一季度2000艘，第二季度140000艘，第三季度3000艘，第四季度1500艘。
第1,2季度的库存需要支付每艘2500美元的库存费用，第三四季度的库存需要支付每艘300美元的库存费用。
第一季度的生产费用是每艘10000美元，由于劳务和材料费的增加，这些费用以每季度10%递增。
管理层强调第四季度结束时必须至少有500艘的库存。
a.构建一个线性规划模型，用于确定一种生产计划，使总费用最少，满足每季度的需求，同时符合每季度生产能力和第四季度时的库存要求。
b.求解A中模型，并建立一个表格显示每个季度生产多少、季度末的存货以及所涉及的费用。
c.解释每个与满足季度需求的约束相对应的对偶价格。
在这些价格的基础上，你能给生产经理什么建议
d.解释每个与生产能力约束相对应的对偶价格，在这些价格的基础上，你能给生产经理什么建议。
16芬古森造纸公司生产用于加法器，台式计算器和收银机的聚氨酯，这些卷纸美娟长度为200英尺，宽度可为1.5英寸、2.5英寸、3.5英寸。
生产过程中只能提供200英尺长和10英寸宽的卷纸，所以公司必须剪切卷纸以满足所需的宽度。
7种剪切方案以及每种方案造成的浪费如下表所示：
剪切方案
卷纸宽度
浪费
剪切方案
卷纸宽度
浪费
1.5英寸
2.5英寸
3.5英寸
1.5英寸
2.5英寸
3.5英寸
1
6
0
0
1
5
1
3
0
1
2
0
4
0
0
6
1
2
1
0
3
2
0
2
0
7
4
0
1
0.5
4
0
4
2
0.5
3种产品的最小要求是：
卷纸宽度
1.5
2.5
3.5
单位
1000
2000
4000
a.若公司希望使生产的10英寸宽度卷纸最少，则每一种剪切方案应处理多少这种卷纸？
总共需要多少卷纸？
总共有多少浪费？
b.若公司希望造成的浪费最少，每一种剪切方案应处理多少10英寸宽卷纸？
总共需要多少？
总共有多少浪费？
c.在A和B中看问题的角度有什么不同？
在这个案例里，你偏好于那一种目标？
请加以解释。
什么样的情况下，另一种目标更具有吸引力？
18匹兹堡附近的两个石油公司用卡车向其经销商运输汽油。
公司最近与位于南俄亥俄州的经销商签订了提供汽油的合同。
公司有6000000美元资金可用于扩充其汽油卡车队。
运油卡车有以下几种型号：
卡车型号
容量（加仑）
购买价（美元）
每月运营费包括折旧
超级油车
5000
67000
550
常规油车
2500
55000
425
经济型油车
1000
46000
350
公司估计该地区每月的需求是550000加仑汽油。
由于卡车型号和速度不同，各种型号的卡车的运送次数或者说每月往返次数也不同。
估计超级油车每月可往返15次，常规油车每月20次，经济型油车每月是25次。
在考虑到保养和可用死机的基础上，公司希望为其车队增加新车不超过15辆。
除此之外，公司决定至少为短途、低需求的路线购买3辆经济型油车。
最后，公司不希望购买的超级油车的数量多于总新车数的一半。
a.若公司希望在月运营费用最少的情况下满足汽油需求，每种型号的油车各应购进多少辆？
b.若公司没有要求至少购买3辆经济型油车，也没有限定超级油车的数量不得超过总新车数的一半，则每种型号的卡车应购进多少？
20.福德龙公司生产在污水处理系统中使用的过滤箱。
虽然公司的业务在增长，每个月的需求变化也很大。
所以公司采用了兼职和全职员工的政策。
虽然这种方法有很大的灵活性，但是它增加了公司的费用，并对员工的士气有了很大的影响。
例如，若公司某个月需要增加生产，就必须共雇佣兵训练额外的兼职员工，于是费用增加了，若公司减少生产，劳动力的需求必然减少，于是公司就遭遇了因解雇而增加的费用和低沉的士气。
最好的估计是，若某个月比上月增加生产，则没见产品的费用将增加1.25美元，减少生产则会使每件产品的费用增加1.00美元。
2月份公司生产了1000个过滤箱，却只卖出了7500个。
现有存货2500个。
3,4和5月份的销售量预测分别是12000个，8000个，15000个。
除此之外，公司有能力在任何一个月底有3000个过滤箱的存货。
管理层希望确定3,4,和5月份的生产数量，以使每月因生产增加或减少而发生的总费用最少。
22.三城机械制造公司制造苯乙烯泡棉杯。
碟以及三明治和食物盒。
下次星期的生产计划表生产计划表要求生产80000个小三明治盒，以及65000个食物盒。
在制造者三种盒子时候
，苯乙烯片将被融化的塑料形成最终产品。
这其中要使用3种机器：
M1，M2，M3。
M1能将苯乙烯片处理成宽度最大为12英寸的产品，M2能处理成宽度最大为16英寸的，M3则能处理成宽度最大为20英寸的。
小三明治盒需要宽度为10英寸的苯乙烯片，所以，3种机器都可以生产这种盒子。
大三明治盒需要宽度为12英寸的苯乙烯片，所以3种机器也都可以生产这种盒子。
但是，食物盒需要宽度为16英寸的苯乙烯片，因此M1不能用于生产这种盒子。
3种盒子在生产的过程中都会产生肥料。
这是由于苯乙烯在加热和塑性的过程以及最终产品的装饰中会有缺失。
废料数量的大小是由所生产的产品以及所用机器的类型决定的。
下表显示了每种机器上损失的苯乙烯和产品组成。
废料可再利用。
机器
小三明治
大三明治
食物
M1
20
15
==
M2
24
28
18
M3
32
35
36
生产率也是由所生产的盒子和使用机器的类型决定的。
下表显示了每一种机器和产品组合的生产率。
下周机器生产能力有一定限制。
可用时间是M135小时，M2有35小时，M3有40小时。
机器
小三明治
大三明治
食物
M1
30
25
==
M2
45
40
30
M3
60
52
44
a.与再加工肥料相关的费用一直在增加，所以TCM公司希望在达到下周生产计划要求的同时，使肥料最少，构建一个现行规划模型，用于确定最有的生产假话
b.求解a中的模型以确定生产计划，将会产生多少肥料。
哪些机器会有剩余生产能力？
24莫顿金融公司决定在接下来的4个期间中，用现有资金进行两项投资时每一项所占的百分比，下表显示了每一个期间期间可用的新资金数，以及进行每一项投资时必要的现金支出活着时头则收入。
表格中的数据表示将任一期间可用的资金全部投资全部投资在A或B上时，所花的费用或所得的收入，比如，如果莫顿公司决定将任一期间的资金全部投资在A上，在1阶段公司会花费1000美元，第二阶段花费800美元，第三节要花费200美元，第四阶段则有200美元的收入，但是，要注意的是，如果莫顿公司决定将总资金的80%投资给A时，现金支出或者收入将是所显示值的80%。
期间
可用基金的新投资
投资项目
A
B
1
1500
-1000
-800
2
400
-800
-500
3
500
-200
-300
4
100
200
300
任一期间可用的资金即是该期间新的投资资金、货代基金、每一起见的存款及AＢ两项目投资收入的和。
任一期间可用的资金可以用来偿还贷款或前一期间的利息，用于存储，支付Ａ项目或是Ｂ项目的投资开始。
假设每个阶段的储蓄利率是１０％，每个期间的介入资金利率是１８％。
令“
Ｓ―――Ｔ期间的存款
Ｌ―――Ｔ期间的新贷款资金
这样，在任一期间Ｔ，前一期间的存款收入是：
１.１Ｓ（Ｔ－１），前一期间贷款和利息的费用则是１.１８Ｌ。
在第四期间结束时，向Ａ的语气投资现金值为３２００美元，而向Ｂ的预期投资现金值为２５００美元。
第四期间结束时额外的收入和费用将是第四期间的存款收入减去贷款与利息的和。
Ｘ１―――Ａ项目的投资比例
Ｘ２———Ｂ项目的投资比例
例如，若Ｘ１＝０.５，则在第一期间向Ａ投资５００美元，而剩下的所有现金以及期间结束时Ａ的投资价值将于０.５相乘。
向Ｂ投资也是如此。
该模型中必须包括约束条件，以确保投资百分比不超过１００％
如果在任意期间借入的现金不超过２００美元，确定向Ａ和Ｂ投资的比例，以及各期间的存款和借贷额，以使公司在第四期间结束时现金值的最大化。
案例问题１ 广告战
火烈鸟烤肉饭店是一家位于佛罗里达的面向高消费阶层的一家暗点。
为了帮助计划下一季度的广告宣传计划，该饭店雇佣了ＨＪ广告公司。
饭店的管理层要求ＨＪ推荐如何将广告预算分配在电视、广播和报纸上。
总的广告预算费用是２７９０００美元。
在与火烈鸟烤肉饭店管理层的一次会议上，ＨＪ顾问提供了以下信心提供了以下信息：
关于每种广告媒体在行业内的宣传率、每则广告能达到的新受众数以及各自的广告成本。
广告媒体
每则广告的宣传率
每则广告能达到的新受众数
成本（美元）
电视
９０
４０００
１００００
广播
２５
２０００
３０００
报纸
１０
１０００
１０００
宣传率被视作衡量广告对现有客户和潜在新客户的价值。
它是图像、消息反馈、可视和可闻形象等的函数。
正如预料那样，最贵的广告有最大的宣传率，同时可达到最多的潜在新客户。
在这一点上，ＨＪ顾问指出，关于每种媒体的宣传率和到达率的数据只在最初的几次广告应用中有效。
例如电视，他的９０的宣传率和达到４０００个潜在客户的数据只在头１０次广告中有效，１０次以后，电视广告的效用值会下降。
Ｈｊ顾问指出第１０次以后播出的广告，宣传率降到５５，同时到达的潜在客户数也降到１５００.对于广播媒体，上表中的数据在头１５次广告中是有效的，第１５次之后，宣传率降到２０，能到达的潜在客户数降到１２００.类似的，对于报纸，上表中的数据在头２０次广告中式有效地，第２０次后，宣传率降到５，能到达的潜在客户数降到了８００.
火烈鸟公司管理层接受了最大化各种媒体的总宣传率作为这次广告运动的目标。
由于管理层很在意吸引新的客户，因此希望这次广告活动至少能到达１０００００个新客户。
为了平衡广告宣传活动以及充分利用广告媒体，火烈鸟公司管理团队害采纳了以下方针：
●广播广告的运用次数至少是电视广告的２倍
●电视广告不能运用超过２０次
●电视广告的预算至少为１４００００美元
●广播广告的预算最多不能超过９９０００美元
●报纸广告的预算至少为３０００００美元
ＨＪ同意在这些方针下开展广告活动，冰提出了怎样将２７９０００美元的预算分配在电视、广播和报纸广告中。
管理报告
构建一个模型，确定火烈鸟烤肉饭店的广告预算分配方案，确保你的报告中有以下讨论：
1.推荐一份关于电视、广播和报纸广告应各用多少次以及那个媒体的预算分配。
列出广告的总宣传率并指出总的可以到达的潜在新客户数。
2.如果广告预算增加１００００美元，那么总的宣传率会怎么变化
3.讨论目标函数系数的变化范围。
该变化范围揭示了推荐的解决方案对ＨＪ的宣传率系数有多敏感
4.在审阅了ＨＪ的推荐方案后，火烈鸟饭店的管理层想要知道若广告活动的目标变为最大化的潜在客户，则推荐方案会有什么变化？
在这个目标下勾结案媒体使用计划模型。
5.比较一下问题１和４中的推荐方案，你对于火烈鸟烤肉饭店的广告活动就那个有何建议？
案例问题2Phoenix计算机
Phoenix计算机生产并且直接向客户销售个人电脑。
公司通过电话或公司的网站接受订单。
Phoenix计算机在最近几个月内将推出多种新款手提电脑模型。
管理员意识到公司需要发展专长于信的手提电脑系统的技术支持人员。
一个选择是雇用新的员工并培训3个月，另一个选择是让现在的客户服务专家接受2个月的培训。
Phoenix计算机估计5~9月对手提电脑专家的需求将从零增加到100名，每个月的需求如下：
5月—20，6月—30，7月—85，8月—85，9月—100。
9月以后，Phoenix计算机认为保持100名专家便足以保证服务。
无论是雇用新员工或是让新员工代替参加培训的现有员工，一名新员工的年薪大约是27000美元。
Phoenix计算机认为现有员工参加培训的，年薪大约是36000美元。
3个月的培训费用是每人1500美元，而两个月的培训费用是每人1000美元。
需要注意的是：
培训的持续时间意味着雇用和新的专家不能及时提供服务。
并且现有员工中能够参加培训的人数是有限的。
Phoenix计算机估计近几个月可用的专家数如下：
3月—15；4月—20；5月—0；6月—5；7月—10。
培训中心每个月均可开设新的3个月及2个月的培训班。
但是，每月开始培训的学员总数（新雇佣的和现有的）不得超过25人。
Phoenix计算机需要确定每个月开始3个月训练的新雇员数以及开始2个月训练的现有员工数。
其目标是为了尽可能低的总费用满足5~9月的员工需求。
即：
是固定花费和总训练费用最少。
现在是1月份。
Phoenix计算机要制定一份雇用新员工的计划，并确定在训练中新员工与现有员工如何混合安排。
管理报告
分析Phoenix计算机的问题，准备一份报告来总结你的发现。
确定你的报告包含并分析了下面几项：
1．与雇佣新员工以及将其训练成手提电脑专家相关的固定工资与训练费用。
2．与让现有员工参加训练相关的固定费用与训练费用。
更要注意的是，当该员工参加训练时，必须雇用新手来代替他。
3．对雇用及训练计划提出建议，以使2~8月期间的工资和训练费用最少。
同时回答这个问题：
为新手提电脑模型提供技术支持的总花费是多少？
9月份支出的总费用比1月份高多少？
案例问题3纺织厂生产计划
斯考兹维拉纺织厂生产5种不同的织物。
每种织物可由纺织厂里38台纺织机中的任何一台或多台织成。
销售部门对下个月的需求做出了预测。
需求数据如表4—16所示，表中同时包括每码织物的销售价格、可变成本及购买价格。
工厂全天运营，下个月运营30天。
表4-16斯考兹维拉纺织厂的每月需求、销售价格、可变成本和购买价格
织物
需求（码）
出售价格（美元/码）
可变成本（美元/码）
购买价格（美元/码）
1
16500
0.99
0.66
0.80
2
22000
0.86
0.55
0.70
3
62000
1.10
0.49
0.60
4
7500
1.24
0.51
0.70
5
62000
0.70
0.50
0.70
工厂有两种纺织机：
帝备纺织机和常规纺织机。
帝备纺织机更加多样化，可用于生产5种织物。
常规纺织机只能生产3种织物。
工厂共有38台纺织机，包括8台帝备纺织机和30台常规纺织机。
各种纺织机生产各种织物的生产率如4—17表所示。
从生产一种织物转换生产另一种织物的时间可以忽略。
表4-17斯考兹维拉纺织厂的纺织机生产率
织物
纺织机生产率（码/小时）
帝备纺织机常规纺织机
1
4.63
—
2
4.63
—
3
5.23
5.23
4
5.23
5.23
5
4.17
4.17
注：
织物1和2只能用帝备纺织机生产
斯考兹维拉纺织厂用本厂生产或向另一纺织厂购买的织物满足所有的需求。
也就是说，由于纺织机性能有限制，无法在该纺织厂生产的织物将从另一家纺织厂购买。
每种织物的采购价如表4—16所示。
管理报告
构造一个模型，为斯考兹维拉纺织厂制定一份生产计划，并确定需要向另一纺织厂购买各种织物的数量。
在你的报告中加入对以下问题的讨论和分析：
1．每种织物最终的生产计划和对纺织机的安排。
2．预测总利润。
3．讨论再增加1台纺织机的价值。
（工厂考虑购进第9台帝备纺织机。
你估计新添加的这台纺织机每月能创造多少利润？
）
4．讨论目标函数系数的取值范围。
5．讨论使总费用最小化合利润最大化的两种目标对应的模型的不同。
（目标函数系数的取值范围在这两种模型中的含义有什么不一样？
）
案例问题4劳动力安排
戴维斯仪器公司在佐治亚州的亚特兰大有两家制造厂。
每月的产品需求变化很大，这使戴维斯公司很难排定劳动力计划表。
最近，戴维斯公司开始雇用由劳工无限公司提供的临时工。
该公司专长于为亚特兰大地区的公司提供临时工。
劳工无限公司提供签署3种不同合同的临时工，合同规定的雇用时间长短及费用各不相同。
3种合同汇总如下：
选择
雇用时间
费用（美元）
1
1个月
2000
2
2个月
4800
3
3个月
7500
合同期越长，费用越高。
这是因为找到愿意长时间工作的临时工对劳工无限公司来说更为困难。
在近6个月中，戴维斯公司计划需要的额外员工数如下：
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
所需员工数
10
23
19
26
20
14
每个月戴维斯公司可根据需要雇用到能签署每种合同的临时工。
例如，若戴维斯公司1月份雇用了5名符合第二项选择的员工，劳工无限公司将为戴维斯公司提供5名员工，均在1、2月份工作。
在这种情况下，戴维斯公司将支付5*4800=24000美元。
由于进行中的某些合并谈判，戴维斯公司不希望任何临时工的合同签到6月以后。
戴维斯公司有一个质量控制项目，需要每名临时工在受雇的同时接受培训。
即使以前曾在戴维斯公司工作过，该临时工也要接受
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