34 实际问题与一元一次方程讲义 学生版.docx
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34实际问题与一元一次方程讲义学生版
3.4实际问题与一元一次方程
学习要求
1、会列一元一次方程解决简单的实际问题．
2、能对所研究的问题抽象出基本的数量关系，通过列一元一次方程解实际问题，培养分析问题和解决问题的能力．
知识点一：
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
例题．现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．
变式．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：
我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：
如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？
房客多少人？
知识点二：
商品利润问题
例题1．一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍可获利售价为24元，问这件商品的进价是多少元？
例题2．某微商一次购进了一种时令水果250千克，开始两天他以每千克高于进价40%的价格卖出180千克．第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出．最后他卖该种水果获得618元的利润，计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元？
变式1．小明在商店里看中了一件夹克衫，店家说：
“我这儿所有商品都是在进价上加50%的利润再标价的，这件夹克衫我给你按标价打8折，你就付168元，我可只赚了你8元钱啊！
”聪明的小明经过思考后觉得店家的说法不可信，请你通过计算，说明店家是否诚信？
变式2．甲、乙两种商品单价之和为100元，因季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原单价之和提高了2%，求甲、乙两种商品的单价．
知识点三：
比赛中的得分问题
例题．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
16
12
4
28
B
16
10
6
26
C
16
8
8
24
D
16
0
16
16
其中一队的胜场总积分能否等于负场总积分？
请说明理由．
变式1．在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛．竞赛规则是：
每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分．
（1）如果二班代表队最后得分142分，那么二班代表队回答对了多少道题？
（2）一班代表队的最后得分能为145分吗？
请简要说明理由？
变式2．在一年一次的安全知识考试中，其中有10道多项选择题，每题分值相同，每题必答．下面不完整的表格记录了四位同学的得分情况．
学生姓名
答对全部选项的题数
答对部分选项且未选错误项的题数
有错误选项的题数
得分
伍伍
10
0
0
50
佳佳
9
0
1
44
刚刚
6
2
2
32
英英
1
35
（1）分析表格数据，直接填空：
答对一道全部选项的题，得 分，答出一道部分选项正确且未选错误项的题，得 分，选出一道有错误选项的题，得 分；
（2）英英同学有1题答对部分选项且未选错误项，总得分为35分，求英英答对全部选项的题数．
知识点四：
分段计费问题
例题．延庆区某中学七年级
（1）
（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图：
其中
（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元．
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？
（3）如果七年级
（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？
变式1．列方程解应用题
今年某网上购物商城在“双11岁物节“期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款 180 元．
（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？
（请利用一元一次方程解答）
（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？
为什么？
变式2．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量
不超过12吨的部分
超过12吨的部分且
不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准
2元/吨
2.5元/吨
3元/吨
（1）某用户四月份用水量为16吨，需交水费为多少元？
（2）某用户五月份交水费50元，所用水量为多少吨？
（3）某用户六月份用水量为a吨，需要交水费为多少元？
拓展点一：
直接设元与间接设元
例题．水浒中学要把420元奖学金分给22名获一、二等奖的学生，一等奖每人50元，二等奖每人10元．求获得一、二等奖的人数分别是多少？
变式1．现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．
变式2．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：
“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：
“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．
拓展点二：
数字问题
例题．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数．
变式．一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．
解：
设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为 ，这个两位数是 ，根据题意得：
（请完成后面的解答过程）
拓展点三：
调配问题
例题.某社团原分成两个小组活动，第一组18人，第二组15人，新学期又有12名新成员加入，如何分配这12名新成员能使一组人数成为二组人数的1.5倍？
变式.学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区，这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？
拓展点四：
工作效率问题
例题1．一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲、乙先合做3小时候，因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，求乙还需要多少小时才能完成？
例题2．整理一批数据，由一人做需80h完成，现在计划先由一些做2h，再增加5人做8h，可以完成这项工作的
，问怎样安排参与整理数据的具体人数？
变式1．一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
变式2．一段公路，甲工程队单独修建需30天，乙工程队单独修建需20天．现甲、乙两队合作3天后，余下的由乙队单独完成，问乙队还需几天能完成？
拓展点五：
行程问题
例题1．昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．
例题2．甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行110公里．
（1）两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距800公里？
（2）两车同时开出，同向而行，出发时快车在慢车的后面，多少小时后两车相距40公里？
例题3．甲乙两地之间相距30km，A同学从甲地骑自行车去乙地，B同学从乙地骑自行车去甲地，两人同时出发，相向而行，经过2小时相遇；相遇后，A同学就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有4km．求：
A、B骑车的速度各是多少？
变式1．海南环岛高速公路（含东线和西线）全长约600千米，一辆小汽车和一辆客车同时从海口出发，小汽车沿东线高速环岛，客车沿西线高速环岛，经过3小时后两车相遇，若小汽车比客车每小时多行驶40千米，求两车的速度．
变式2．昆楚高速公路全长170千米，甲、乙两车同时从昆明、楚雄两地高速路收费站相向匀速开出，经过50分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶10千米．求甲、乙两车的速度．
变式3．小亮和小颖清明节带着吠吠（一条小狗）到郊外旅行，小颖先出发，步行速度为6千米/时，小亮后出发，速度为8千米/时，小颖出发1小时后，小亮才出发，同时小亮让吠吠在两人之间不断地来回进行联络，吠吠的速度为12千米/时．
（1）小亮出发后，经过多长时间可以追上小颖？
（2）吠吠出发后追上小颖时，距离小亮由多远？
（3）小颖出发多少小时时，小亮和小颖两人相距1千米？
拓展点六：
销售中的盈亏问题
例题1．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的
，该老板到底给顾客优惠了吗？
说出你的理由．
例题2．苏宁电器商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若苏宁电器商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
变式1．某玩具工厂出售一种玩具，其成本价每件28元，如果直接由厂家门市部销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为32元．
（1）求在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？
（2）若每个月销售量达到1000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？
变式2．某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：
如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：
尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：
将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
变式3．某种绿色食品，若直接销售，每吨可获利润0.1万元；若粗加工后销售，每吨可获利润0.4万元；若精加工后销售，每吨可获利润0.7万元．某公司现有这种绿色产品140吨，该公司的生产能力是：
如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受各种条件限制，公司必须在15天内将这批绿色产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：
方案一：
全部进行粗加工；
方案二：
尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：
将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？
最多可获利润多少元？
拓展点七：
存（贷）款利率问题
例题.某公司申请了甲、乙两种不同利率的贷款共300万元，每年需付32万元的利息，已知甲种贷款的年利率为10%，乙种贷款的年利率为12%，求这种贷款各申请多少万元？
变式．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
拓展点八：
球队比赛得分的拓展
例题.某区“园丁标”篮球赛前四队积分表如下：
队名
比赛均次
胜
负
积分
一中
7
7
0
14
二中
7
6
1
13
三中
7
5
2
12
四中
7
4
3
11
（1）观察积分表，你能获得哪些信息？
（2）观察积分表，请你用式子将积分与胜、负场数之间的数量关系表示出来；
（3）在这次比赛中，一个队胜场总积分能不能等于它的负场总积分？
拓展点九：
方案设计问题的拓展
例题．某校计划添置20张办公桌和一批椅子（椅子不少于20把），现从A、B两家家具公司了解到：
同一款式的产品价格相同，办公桌每张210元，椅子每把70元．
A公司的优惠政策为：
每买一张办公桌赠送一把椅子；
B公司的优惠政策为：
办公桌和椅子都实行八折优惠．
（1）若到A公司买办公桌的同时买m把椅子，则应付多少钱？
（2）若规定只能选择一家公司购买桌椅，什么情况下到任意一家公司购买付款一样多？
（3）如果添置的20张办公桌和30把椅子，可到一家公司购买或A、B公司分开购买，请你设计一种购买方案，使所付款额最少，最少付款额是多少？
（可不说明理由）
变式1．为发展校园足球运动，巫溪县某五所初中决定联合购买一批耐克足球运动装备，市场调查发现：
甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：
每购买十套队服，送一个足球：
乙商场优惠方案是：
若购买队服超过90套，则购买足球打八折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）若五校联合购买100套队服和m个足球（其中m＞30），请用含m的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用，假如你是本次购买任务的负责人，要采购100套队服和60个足球，你认为到哪家商场购买比较合算？
变式2．2016年中国移动推出“自由派”资费套餐，其计费方式有两种如下表：
月租费/元
区内主叫全国时长/分钟
超套主叫费/（元/分钟）
被叫
方式一
9
50
0.2
免费
方式二
19
130
0.15
免费
请根据表格解决下列问题：
（1）如果甲平均每月的通话时长为80分钟，乙平均每月的通话时长为200分钟，请你通过计算说明：
甲、乙分别选择哪种计费方式省钱；
（2）设某人一个月内用移动电话主叫时长为t分钟（t是正整数）．请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择这种资费套餐的计费方式．
拓展点十：
图形中的方程问题
例题．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．
变式1．用正方形使纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用））．
A方法：
剪6个侧面；
B方法：
剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
变式2．如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：
A所示方法剪4个侧面：
B所示方法剪6个底面．现有112张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）请用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问A方法、B方法各裁剪几张？
能做多少个盒子？
拓展点十一：
信息阅读问题
例题．
（1）当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？
（2）当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
（3）小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？
变式1．丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题，内容如下：
“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”问：
大数学家丢番图活了多少岁？
用白话翻译过来就是说：
丢番图的一生，幼年占了
，青少年占了
，又过了
才结婚，5年之后生子，子先其父4年而死，寿命是他父亲的一半．丢番图活了多少岁？
变式2．某商场出售A、B两种商品，并开展优惠促销活动，方案有如下两种：
活动一
A
B
标价（单位：
元）
90
100
每件商品返利
按标价的30%
按标价的15%
例：
买一件A商品，只需付款90（1﹣30%）元
活动二
若所购商品超过100件（不同商品可累计），则按标价的20%返利．
（同一种商品不可同时参与两种活动）
（1）某客户购买A商品30件，B商品90件，选用何种活动划算？
（2）若某客户购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问客户该如何选择才能获得最大优惠？
请说明理由．
变式3．将若干枚棋子平均分成三堆（每堆至少2枚），分别放在左边、中间、右边，并按如下顺序进行操作：
第1次：
从右边一堆中拿出2枚棋子放入中间一堆；
第2次：
从左边一堆中拿出1枚棋子放入中间一堆；
第3次：
从中间一堆中拿出几枚棋子放入右边一堆，并使右边一堆的棋子数为最初的2倍．
（1）操作结束后，若右边一堆比左边一堆多15枚棋子，问共有多少枚棋子？
（2）小明认为：
无论最初的棋子数为多少，按上述方法完成操作后，中间一堆总是剩下1枚棋子，你同意他的看法吗？
请说明理由．
易错点一：
未考虑实际情况而出错
例题.一架飞机最多能在空中连续飞行4小时，若飞出速度为600千米/时，飞回速度为900千米/时，求这架飞机最多飞多少千米就该返回．
易错点二：
考虑不周易漏解
例题.一条公路上有相距18km的A、B两个村庄，从A村出发的一辆汽车的速度为54km/h，从B村出发的一辆汽车的速度为36km/h．
（1）两车同时相向而行，经过几小时后两车相距45km？
（2）两车同时同向而行，经过几小时后两车相距45km？
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