高中数学必修2的内容分析与教学思考及案例.docx
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高中数学必修2的内容分析与教学思考及案例
高中数学必修2的内容分析与教学思考及案例
一．内容分析
在本模块中，学生将学习立体几何初步、平面解析几何初步。
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。
人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。
三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。
在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。
学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。
在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
一）新课程标准中本模块的内容标准
1．立体几何初步（约18课时）
（1）空间几何体
①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：
纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。
③通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
④完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
（2）点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行。
定理：
空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：
一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
垂直于同一个平面的两条直线平行。
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
2．平面解析几何初步（约18课时）
（1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
（4）空间直角坐标系
①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
说明与建议
1）．立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力。
本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。
（参见例1）
2）．几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。
教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
（参见例2）
3）．立体几何初步的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修系列2中将用向量方法加以论证。
4）．有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力。
教师可以指导和帮助学生运用立体几何知识选择课题，进行探究。
5）．在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：
首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
这种思想应贯穿平面解析几何教学的始
终，帮助学生不断地体会"数形结合"的思想方法。
参考案例
例1如图是一个奖杯的三视图，请你画出它的直观图，并求出这个奖杯的体积。
例2观察自己的教室，说出观察到的点、线、面之间的位置关系，并说明理由。
二）必修2内容解读与教学思考
1.必修2内容的变化
（1）.几何的内容按三个层次设计
1）必修课程中的几何，主要包括：
立体几何初步、解析几何初步、平面向量，解三角形等.
2）选修系列1、系列2中的几何，主要包括：
圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何.
3）选修系列3、系列4（专题）中的几何．主要包括：
球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等．
（2）.立体几何内容的变化
1）《标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想像与几何直觉的能力、逻辑推理能力等．
2）在处理方式上，与以往点、线、面、体，即从局部到整体展开几何内容的方式不同，《标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程.
3）立体几何内容分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质．进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理.
（3）.解析几何内容的变化
突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义.解析几何的内容也是分层次设计的：
在必修课程中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中．
（4）.削弱的内容
1）立体几何削弱的内容：
逻辑推理能力的要求（如判定定理的证明）；三垂线定理与逆定理及其应用；简单几何体的面积与体积公式的推导等.
2）解析几何削弱的内容：
两条直线的位置关系（删除了两条直线的夹角）等.
（5）.增删的内容
1）立体几何增加的内容：
三视图；简单几何体的面积和体积（球除外）及其应用.
解析几何增加的内容：
直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系.
2）立体几何删除的内容：
多面体欧拉定理的发现.
解析几何删除的内容：
简单的线性规划；曲线与方程；圆的参数方程；圆锥曲线.
2.知识结构
《课程标准》中立体几何内容安排在两个部分学习：
必修中的《数学2》、选修中的《空间向量与立体几何》（系列2）。
这两部分内容和要求是：
《数学2》主要是介绍立体几何初步知识，培养和提高学生的空间想象力及把握图形的能力。
它的基本内容是通过三视图、直观图，让学生认识空间图形，以长方体模型为载体，让学生认识点、线、面的位置关系，并介绍体积公式、表面积公式的简单应用。
在《空间向量与立体几何》中，利用学生已有的平面向量和解析几何知识，以向量为工具进行计算、论证，进一步定量的计算点线面的关系
《课程标准》中对解析几何的学习目标同样安排为两段：
必修中的《数学2》及选修中的《圆锥曲线与方程》。
数学2中“平面解析几何初步”主要是让学生学习直线、圆这两种最常见、最基本的图形，研究确定它们的要素及相应的方程，研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系；同时建立空间直角坐标系，引入空间两点间距离公式。
《圆锥曲线与方程》中，学习椭圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线的有关知识
3.特点
重视几何直观
从整体到局部
从具体到抽象
提供丰富的图形背景
突出解析几何的思想
引入直线斜率的新视角
重视几何直观
把培养学生空间想象力、把握图形的能力作为教材设计的基点。
帮助学生学会用图形描述问题、学会用图形探索解决问题的过程、学会用图形来表示问题的结果。
在立体几何初步中，长方体是揭示空间图形性质的基本载体。
长方体贯穿始终。
解析几何中，突出图形的作用。
利用信息技术探索图形性质
从整体到局部
认识几何图形的两个视角：
局部——整体：
这是传统学习几何的一种思考方法，即由点线面出发，展开对图形性质的研究。
整体——局部：
认识几何图形首先是一个整体的感受，然后再具体认识几何元素之间的关系。
在本教材中，我们特别强调从整体到局部，从空间到平面，从长方体到其中的点、线、面之间的位置关系。
从具体到抽象
认识点、线、面的位置关系经历以下过程：
从具体的长方体（例如教室）中点、线、面之间的位置关系，抽象为空间中点、线、面之间的位置关系。
从用自然语言叙述长方体中点、线、面之间的位置关系，抽象为用数学语言（符号语言）描述一般的点、线、面之间的位置关系。
在探索点、线、面之间位置关系的判定定理和性质定理时，经历以下过程：
先从具体的长方体中探索和认识这些定理，在此基础上抽象成为空间中的一般结果。
提供丰富的图形背景
在教材中，提供了丰富的几何图形和生动的现实图形，通过这些图形加深对数学概念和结论的认识。
突出解析几何的思想
我们的教材在处理解析几何问题中，突出以下过程：
首先要学会建立适当的坐标系，用代数语言描述几何要素，然后把几何问题转化为代数问题。
通过解决代数问题来解决几何问题。
对一个问题，不仅要注意它的代数方程及相应的运算，而且要注意它有什么几何意义，突出图形与直观，不少问题利用几何特征还可以简化运算。
引入直线斜率的新视角
有三种引入直线斜率的方法：
正切三角函数 向量 导数
本教材利用导数的思想，引入直线斜率。
并利用射影定理，解释直线垂直的条件。
这样的方式反映了直线斜率的数学本质。
我们在其他内容中会反复认识直线斜率。
以突出直线斜率是一个重要的数学概念。
4.教学中应注意的问题
立体几何初步：
（1）注意与义务教育阶段课程的衔接
本章的教学内容中的空间几何体的结构、三视图、表面积、体积等都与义务教育阶段的学习的“空间与图形”内容相关，区别在于学习的深度和概括程度上。
前面是对具体的棱柱（如正方体、长方体等）进行研究，对圆柱、圆锥和球的认识比较具体。
本章对它们的研究更加深入，给出了它们的结构特征。
同时，还学习了台体的有关知识，简单组合体涉及柱体、锥体、台体以及球体，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多。
另外，本章还要求学生会在平面上画出空间几何体的直观图.
（2）严谨适度，把握教学要求
立体几何内容的体系结构有重大改革。
过去常从研究点、直线和平面开始，再研究由它们组成的几何体，遵循部分到整体的原则；现在先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。
这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力，降低立体几何学习入门难的门槛，提高学生学习立体几何学习的兴趣。
由于没有点、直线与平面的有关知识，本章的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往教科书有相当大的区别，教师在实际教学中要充分注意到这一点。
了解空间几何体的表面积和体积的计算公式（不要求推导，也不要求记忆公式），能够计算基本几何体及它们的简单组合体的表面积和体积。
（3）重视现代信息技术的应用
在本章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，帮助学生从中抽象出空间图形。
动态演示空间几何体的三视图和直观图，认识立体图形与平面图形的关系，帮助学生建立空间观念，提高空间想象能力和几何直观能力。
学好立体几何需要学生能够多动手画一画、做一做.从不同的角度观察空间图形，体会空间几何体在不同的视角下的结构特征。
因此，在教学中，应尽可能使用信息技术，帮助学生更好地学习，达到较好的教学效果。
解析几何初步：
（1）认真把握教学要求
教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。
（2）关注重要数学思想方法的教学
重要的数学思想方法不怕重复。
《标准》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。
教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，应避免只强调“形”到“数”的方面，而忽视“数”到“形”的方面。
（3）关注学生的动手操作和主动参与
学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。
教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。
（4）关注信息技术的应用
平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用。
借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的直线。
在动态演示中，观察直线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示。
通过对方程的研究，了解直线与直线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添形象的支持。
在探究点的轨迹时，可以借助信息技术，探究轨迹的形状等等。
特别注意：
1）因材施教
对不同的学生有不同要求给教师留下较大的自主处理教材的空间
2）教学中应注意学法指导培养学生把握图形、欣赏图形、空间想象能力培养学生推理能力，要重视几何直观，培养合情推理，“几何是可视逻辑”注意几何学习中所包含的数学文化在解析几何教学中重视几何背景，不仅注意它的代数方程及相应的运算，而且要注意它有什么几何意义，几何证明是几何学习中重要的内容，但不是唯一内容（代数学习中也有证明）处理好整体与局部的关系由特殊——一般，具体——抽象，（教材栏目“实例分析”、“抽象概 括”）推理能力逐步形成与提高对几何问题的认识需几个反复，多角度认识，（“斜率”的处理通常有三种方式：
tan,向量，变化率。
教材是从变化率的角度去处理的，而学生在学习三角函数、向量时还可以进一步加深对其理解）
3）关于立体几何初步教学
重视几何模型的应用（教材中突出了长方体）
在线面关系研究中对判定定理只要求直观感知、操作确认。
三视图是一难点，对于未教过三视图的教师，对于在初中没有学过最简单的三视图的学生，可以设置三视图“欣赏”。
4）关于解析几何初步教学
直线的斜率——渗透导数的思想。
关于圆，直接从图形到方程，由于设有学 习曲线与方程的关系，这里不讨论曲线方程的纯粹性、完备性。
帮助学生经历形与数转化的过程体会数形结合的思想。
空间坐标系对教师是新内容，要控制难度，但要探索空间两点间距离公式。
5）关于作业
教材作业分三类：
即随堂练习，课后作业（a、b），复习题（a、b、c）。
对不同学生提不同要求。
补充的练习、例题，不要“越位”。
二．几个思考
1.高中学习几何学的目的是什么？
（1）几何学主要是研究空间形式的，比如，各种不同的几何体的差异，特点等。
学习几何学的一个基本目标是培养学生把握图形的能力，培养空间想象能力。
几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力。
这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。
搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。
英国著名数学家m.阿蒂亚曾说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。
即，几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。
这表明，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。
因此，培养学生的几何直观能力、把握图形的能力就成为高中学习几何的主要目的。
（2）实现这些目标的途径是：
直观感知，操作确认，思辩论证，度量计算。
在中学阶段，几何仍然是培养学生推理论证能力的重要载体，但是，我们还应该认识到几何更本质的作用。
高中数学课程中，更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力；关注在空间想象能力培养中人的认识规律，概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规律，建议通过“直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算”等学习过程，培养和发展空间想象能力，这对几何课程的学习应该是有帮助的。
例如，在立体几何的学习中，建议从对空间几何体的整体观察入手，认识整体图形，再以长方体为载体，直观认识空间点、线、面的位置关系，抽象出有关概念，用数学语言表述有关性质与判定。
事实上，相关研究表明，个体的认识是先从对整体的认识开始的。
大家知道，在立体几何的学习中，异面直线和异面直线之间的距离是比较难理解的两个概念，如果先讲平行平面，那么，异面直线就是两个平行平面中的两条不平行的直线，而异面直线之间的距离问题，也会因为平行平面间距离的确定性而变得容易理解了。
在生活中，我们在做事的时候也一样，你首先要有一个整体的安排，你才能把握各个方面在其中的作用和地位。
（3）把握图形和空间想象能力不仅仅是几何课程的任务，而是整个数学课程的基本任务，因此，在其他的数学内容学习中，也要强调通过直观，通过图形来认识相关内容的数学本质。
2.为什么“几何思想（把握图形）”是高中数学课程主线之一？
（1）在这次数学课程标准研制过程中，几何是我们花费心思最多的内容之一。
在数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。
几何思想主要体现在把握图形的能力。
把握图形的能力包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。
借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。
（2）几何课程的设计分为两部分，一部分是几何本身；另一部分是运用几何思想、把握图形的能力去思考其他的数学问题。
重视几何内容本身是共识，但是，在学习其他数学内容时，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学，没有引起足够的重视。
最近，我们听了很多课，最令我们感到遗憾的，教师不太喜欢“画图”，讲解析几何也不画图，在思考一些问题时，学生常常容易“漏掉”一些解。
如果教师在解决问题时，引导学生画个图，则就会一目了然。
当代著名数学atya说过‘代数是有序逻辑，几何是直观逻辑。
’这是非常有道理的。
逻辑推理是数学特别关注的，所有数学都应该关注，几何也不例外，但是，我们必须重视培养学生把握图形的能力，包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。
“图”可以帮助思考，把抽象地东西变得直观，把难的变得容易。
（3）在高中数学课程中，几何内容分为立体几何和解析几何。
立体几何分为必修课程中的“立体几何初步”和选修2-1中的“空间向量与立体几何”。
解析几何分为必修课程中的“解析几何初步”和选修1-1和选修2-1中的“圆锥曲线”。
每一部分的定位我们将在必修、选修课程的定位中给予详细的说明。
（4）我们应该把几何思想（把握图形的能力）渗透到高中数学学习的各个方面。
例如，在函数的学习中，一定要突出函数图形的地位。
又如，在思考数学问题的时，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把本质的东西显现出来。
在数学学习时，应该帮助学生养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题习惯。
3.如何理解几何课程的整体设计思想？
几何课程的设计分为两部分。
一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。
另一部分是设计了专门的几何内容。
将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终，是设计几何课程的基本思想。
例如，在函数有关内容的学习中，强调函数图形的作用是贯穿始终的，要求把函数思想的认识、函数性质的理解、函数的应用与函数图形的掌握有机地联系起来。
又如，讨论统计问题时，描述和表示数据是反映统计规律的重要手段，图形和图表是呈现统计规律的基本方式。
高中数学课程，介绍了直方图、扇形土、茎叶图，等等。
实际上，并不限于这些图形，我们还可以选择其它的图形，选择的原则只有一个，根据具体问题，直观地反映统计数据的规律，尽量一目了然。
在讨论线性规划问题时，有两个关键环节，一个是对可行域（目标函数的定义域）的理解，另一个认识目标函数的变化趋势。
平面区域图形非常清晰地表达了可行域（目标函数的定义域）的特征，等高线直观地给出了目标函数的变化趋势。
框图（包括算法框图）虽然是几何研究的对象，但是，它利用最简单的图形直观地反映了完成一项工作的逻辑关系和顺序，这正是几何给我们的一种帮助。
我们可以举出很多这样的实例，它们属于其它的数学领域，但是在研究的过程中，“几何思想”发挥了重要作用。
实际上，越抽象的数学，越需要直观图形的支持。
在高层次的思考中，有人说“抽象思维”和“形象思维”是密不可分的，“形象思维”在数学上的体现就是“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是基本的数学素质。
如果仅仅把几何理解为培养形式推理的载体，这就小看了几何的作用。
几何内容的设计，包括三大部分。
一部分在必修课程中，一部分在选修2课程中，一部分在选修3、4的课程中。
必修课程的几何内容由三块内容组成，立体几何初步，解析几何初步，平面向量。
立体几何初步放在必修部分，其重点是在于培养学生的空间想象能力，定性地把握图形；我们通过三视图、直观图、长方体为载体，去认识基本的图形的点、线、面的基本关系和基本性质；立体几何初步的重点放在定性地理解图形的性质、位置关系，帮助学生建立起空间想象能力、直观能力。
比较严格地论证和定量的分析图形放在选修2中。
在教学中，三视图，直观图是定性认识、把握图形的一个很
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