1985年全国初中数学联赛试题及详解1.docx

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1985年全国初中数学联赛试题及详解1

第二讲二次根式的化简求值

［教学内容］

《动态数学思维》暑期衔接版，八升九第二讲“二次根式的化简求值”.

［教学目标］

知识技能

1.熟练掌握二次根式的运算技巧，能够对复杂的二次根式进行化简求值；

2.理解分母有理化的思想方法；

3.会对二次根式的大小进行比较.

数学思考

体会分母有理化的基本思想方法，能够举一反三，在实例中体会整体思想的妙用.

问题解决

经历二次根式分母有理化以及二次根式比较大小方法的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力，加强练习，提高学生的计算能力.

情感态度

1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；

2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.

[教学重点、难点]

重点：

二次根式分母有理化、二次根式的化简求值以及比较大小.

难点：

二次根式分母有理化.

[教学准备]

动画多媒体语言课件.

第一课时

教学路径

方案说明

导入：

师：

通过上节课的学习，我们已经掌握了二次根式的定义、基本性质以及基本运算法则.同学们首先回忆一下二次根式都具有哪些基本性质?

生自由回想二次根式的性质并回答.

师：

大家知道交警在处理交通事故时时怎么来判断肇事车辆是否超速了呢？

生自由猜测.

师：

我们一起来看一看吧.

启动性问题

（动画模拟两车追尾）

这里放一个卡通警察的人物形象

横幅或公告出示以下内容.

在交通事故的处理中，警察往往用公式v=16来判断该车辆是否超速，其中v表示车速（单位：

千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：

米），f表示摩擦系数.某日，在一段限速为60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后，经过测量，得出一辆车的d=20米，f=1.2，请问该车超速了吗？

小颖：

当d=20，f=1.2时，v=16=32．

∵32＞60，∴该车超速了．

师：

同学们，自己动手算一算吧!

师：

原来交警是根据刹车距离和摩擦力来计算车速的，车祸严重威胁生命安全，因此大家要提醒自己的父母开车时要慢一点，注意安全哦！

回顾：

分母有理化

分母有理化是二次根式化简的一种常用方法,通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.

师：

下面我们就一起来看几道例题.

初步性问题

探究类型之一二次根式的混合运算

例1计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

解析：

题目右侧，如上，一框一框出现，

分四题出

答案：

框住

（1），答案一行一行出现，

解：

（1）原式=去括号

=化成最简二次根式

=；合并同类二次根式

下一步框住

（2），答案一行一行出现，

（2）原式=化简

=；合并同类二次根式

下一步框住（3），答案一行一行出现，

（3）原式=平方差公式

=平方差公式

=

=；

下一步框住（4），答案一行一行出现，

（4）原式=分母有理化

=完全平方和平方差公式

=.

1.教师请学生说一说二次根式加减法的一般步骤.

2.师：

我们学习过的乘法公式对于二次根式的计算同样使用吗？

本题中哪几道题目可以使用哪些公式？

指定学生回答.

师：

（4）中如何处理？

生：

先分母有理化，分子和分母同时乘（），然后再利用完全平方公式计算分子.

师：

自己独立计算一下吧，我要找四个同学上来分别计算着四道题目看谁速度快哦！

3.教师指定4名同学分别上来计算4道题目，前两道可指定学习程度较差的学生，后两道指定学习程度较好的学生上台板演.

4.其他学生指出上面四位学生计算中存在的问题并更正.

5.教师小结.

①二次根式加减混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；②二次根式乘法运算中，乘法公式依然适用；③如果分母中含有二次根式，要先将其分母有理化.

师：

接下来大家一起独自做一下后面的类似性问题1和4.

类似性问题

1.下列计算正确的是（）

A.B.

C.D.

学生独立解答此题并集体核对答案,并指定学生说出其他三个选项错误的地方.

4.计算：

（1）；

（2）.

学生独立完成，指定两名学生上台板演计算过程，其他同学指正.

初步性问题

探究类型之二分母有理化

例2阅读下列解题过程：

；

；

.

则

（1）=,=；

（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子=.

解析：

问题中，小手动画在蓝色下面依次划横线，字体变蓝，

答案：

（1）

（2）中，小手在蓝色下面划横线，字体变蓝色出答案

1.找学生说一说自己发现了什么.

师：

分母有理化的依据是什么？

主要方法是什么？

生：

依据是分数的基本性质，主要方法是运用平方差公式化简计算.

2.学生独立计算，计算结束后集体核对答案.

3.教师拓展：

同学们做得非常好，都的计算对了，那么现在老师要变化一下题目考考你们了：

（此部分内容课件不出示，教师自己补充讲解）

（1）；

（2）.

学生先独立思考，若学生能够独自解决第

（1）个问题，再出示第二个问题，让学生学会举一反三.

4.教师小结：

利用平方差公式进行分母有理化是常用的方法.如：

；.

探究类型之三二次根式的大小比较

例3比较下列各组数的大小．

（1）3与；

平方法.下一步

（2）与；

（3）与.倒数法.

解析：

出箭头部分

答案：

解：

（1）（）2=45，，∵45＞，∴3＞.

（2）（）2=150，（）2=180，∵180＞150，∴＞，∴-＞-.

（3），.

∵＞，∴＞，∴＞.

1.教师找学生说一说比较大小的方法有哪些？

生1：

两个正的比较大小，平方大的就大，平方小的就小.

生2：

两个负的比较大小，平方大的反而小，平方小的反而大.

生3：

还可以用比较倒数的方法来比较，倒数大的数反而小.

生4：

也可以作差比较差的结果与0的大小.

生5：

还可以作商……

……

师：

原来有这多比较大小的方法啊，那你看一看这道题中的三个小题分别适合用什么方法呢？

生：

（1）

（2）用平方法比较好，（3）用倒数法比较好！

师：

赶紧做一做吧.

2.学生独立完成大小比较，教师指定两人上台板演，其他学生注意观察并指正.

3.教师根据学生板演的具体情况讲解此题，并将学生错误的地方指出，更正.

4.师小结：

比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外的因子移到根号内比较,但这时要注意:

（1）负号不能移到根号内；

（2）根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内.

下面我们就来看一道练习题，你能独立完成吗？

类似性问题

2.判断与的大小，正确的答案为（）

A.>B.<

C.=D.无法比较

解析：

倒数法.

；（下一步）

；（下一步）

∵，∴<.

学生独立完成此题，集体核对答案.

第二课时

教学路径

师：

上节课我们主要学习了二次根式的计算、分母有理化以及比较大小等知识，这节课我们重点来学习中考中经常考的一类型题目——化简求值问题.

师：

在七年级我们学习整式以及八年级学习分式的时候我们都遇到过化简求值问题，那么二次根式中的化简求值问题与我们前面学习的有什么不同呢，我们一起来看看吧！

初步性问题

探究类型之四二次根式的化简求值

例4当m=2-,n=时，求的值.

解析：

（题目第一个框住字体边本色）

观察m，n的取值，发现mn=1；下一步

（题目第二个框住字体变色）

观察代数式，发现被开方式含有完全平方项，，下一步

所以==.

答案：

解：

因为m=2-,n=，所以mn=1，n=2+，

所以m+n=4，=====4.

1.找学生读题，并说一说自己的想法.

师：

要直接把m，n的值直接代入计算吗？

生：

不要，那样计算比较复杂，应该先把n进行分母有理化.

师：

分母有理化之后可以直接代入计算了吗？

生：

可以.

师：

是的，到这时候我们可以直接代入计算了，但是你观察下m和n的值有什么特殊的吗？

生：

我发现m+n和mn都是整数.

师：

那么为了计算方便我们应该怎么办？

生：

把m2+n2化成（m+n）2-2mn.

2.学生独立完成此题.

3.找学生总结一下解决此类问题的一般方法.

例5已知5-的整数部分是a,小数部分是b,求a2+（3+）b的值．

解析：

分步出示

完全平方数1491625…

14791625…

4＜7＜9

＜＜

2＜＜3

-2＞＞-3

-3＜-＜-2

5-3＜5-＜5-2

2＜5-＜3

答案：

解：

∵2＜5-＜3，

∴5-的整数部分是2，小数部分是5--2=3-.下一步

∴a2+（3+）b=22+（3+）（3-）=4+9-7=6.

1.教师指定学生读题，并说明自己从题中得到的信息.

师：

你知道5-的范围吗？

2.学生同桌讨论5-的范围，教师指定一个代表说说自己的讨论结果并说明理由.

3.学生独立完成此题，教师指定解答较快学生上台板演.

4.其他学生解答完后，仔细观察黑板板演内容并指正.

5.教师小结：

遇到确定整数部分与小数部分的问题，一般我们看被开方数介于哪两个平方数之间.如，∵＜＜，∴10＜＜11.

探究类型之五利用整体思想化简求值

例6化简求值：

（1）已知a=3+2,b=3-2，求a2b+ab2的值；

（2）已知x=+,y=-，求x2+xy+y2的值.

解析：

（1）第一个框住，

求a+b和ab的值.

下一步第二个框住，

将a2b+ab2因式分解，再整体代入计算；

（下一步）

（2）第一个框住，

求x+y和xy的值.

下一步第二个框住，

将x2+xy+y2因式分解，再整体代入计算；

答案：

解：

（1）a+b=3+2+3-2=6，ab=（3+2）（3-2）=1.

a2b+ab2=ab（a+b）=1×6=6.下一步

（2）x+y=++-=2，xy=（+）（-）=2.

x2+xy+y2=（x+y）2-xy=

（2）2-2=20-2=18.

学生独立完成此题，指定两名学生上台板演并讲解，教师注意随时指正.

师：

接下来我们做两道练习题巩固一下吧！

类似性问题

3.已知x=-1，y=+1，则x2+y2的值为_______．

解析：

x2+y2=（x+y）2-2xy=（-1++1）2-2（-1）（+1）=6.

学生独立完成此题.

5.先化简，再求值：

，其中x=+2.

学生独立完成此题.

延伸拓展

例1.已知x＝，y＝，求的值．

解析：

框住第二个框.

先将原分式化简，下一步

框住第一个框.

求出“x＋y”、“x－y”、“xy”，最后将已知条件代入求值．

答案：

＝＝.下一步

∵　x＝＝＝5＋2，

y＝＝＝5－2．

∴　x＋y＝10，x－y＝4，xy＝52－

（2）2＝1．下一步

∴原式＝＝＝．

例2.若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值．

解析：

框住第1个

要使y有意义则求出x，y的值.

下一步框住第2个

再化简－，代入求值.

答案：

根据题意得：

，即所以x＝，y＝．下一步

-=-＝||－||

下一步

∵x＝，y＝，∴＜．

∴原式＝||－||

＝－

＝2＝2＝.

总结：

1.二次根式运算注意事项：

①二次根式加减混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，

然后合并同类二次根式；

②二次根式乘法运算中，乘法公式依然适用；

③如果分母中含有二次根式，要先将其分母有理化.

2.分母有理化经常运用平方差公式：

如：

；.

3.遇到确定整数部分与小数部分的问题，要先确定被开方数介于哪两个平方数之间.如：

，∵＜＜，∴10＜＜11.

答案：

【类似性问题】

1.D

2.B

3.6

4.

（1）；

（2）

5.解：

原式===.

当x=+2时，原式===.

手册答案

1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.

7.14

8.

9.2

10.

11.解：

∵x>0,y>0,

∴（+2）=（6+5），即x+2=6+5y,x-5y=4.

∴原式===.

12.解：

（1）x==,y==.

∴2x2+2y2-3xy=2（x+y）2-7xy=2［（）+（）］2-7（）（）=32-7=25.

（2）∵x的小数部分为a,y的小数部分为b,

∴a=2-,b=2+-3=-1,

∴（a+b）2+=（2-+-1）2+|2--+1|=1+2-3=2-2.

13.解：

原式=（-1+-+-+…+-）（+1）

=（-1）（+1）

=2013-1

=2012.